Ubungen zu Einf¨ ¨ uhrung in die Topologie

Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universit¨ at

D¨ usseldorf

Prof. Dr. W. Singhof

WS 2011/2012 20. Januar 2012 Blatt 13

Ubungen zu Einf¨ ¨ uhrung in die Topologie

50. (12 Punkte)

(a) Ist G eine Gruppe, so sei

F (G) := Hom(G, Q )

die Menge aller Homomorphismen von G in die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Erl¨ autern Sie, wie man F (G) als Q -Vektorraum betrachten kann.

(b) Ist ϕ : G → H ein Gruppenhomomorphismus, so erh¨ alt man durch ϕ

(f ) := f ◦ ϕ eine Q -lineare Abbildung

ϕ

: F (H) → F (G).

Damit wird F zu einem kontravarianten Funktor von der Kategorie der Grup- pen in die Kategorie der Q -Vektorr¨ aume.

(c) Sei Z

:= Z × . . . × Z mit n Faktoren. Bestimmen Sie dim

F ( Z

) und folgern Sie, dass Z

und Z

f¨ ur n 6= m nicht isomorph sind.

(d) Sei p

: G → G

die kanonische Projektion. Zeigen Sie, dass p

: F (G

) → F (G) ein Isomorphismus ist.

51. (10 Punkte) Seien G und H Gruppen. Zeigen Sie, dass (G ∗ H)

∼ = G

× H

.

52. (8 Punkte) Zeigen Sie, dass P

( R ) hom¨ oomorph zu S

ist.

53. (10 Punkte) Seien g, k ∈ N und seien p

, . . . , p

verschiedene Punkte in M

. Berech- nen Sie π

(M

\ {p

, . . . , p

}).

Abgabe: Freitag, den 27. Januar 2012, 10:30 Uhr