Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun
D¨usseldorf, den 28.05.2018 Blatt 7
Ubungen zu Einf¨ ¨ uhrung in die Funktionalanalysis
1. (10P) Es seiE ein normierter Raum, es seiM ⊆E und es seiCder Abschluss der konvexen H¨ulle von M.
Zeigen Sie, dassC konvex ist.
2. (10P) Es seiEein reflexiver Banachraum und es sei∅ 6=C⊂Eeine abgeschlossene, konvexe Teilmenge. Zeigen Sie, dass es zu jedemx0 ∈E einc∈C gibt, so dass
kx0−ck= inf
y∈Ckx0−yk.
3. F¨ur jedesn∈Nseian∈Rgew¨ahlt. Ferner seivn∈`1bestimmt durchvn= (vnj)j∈N
mit
vjn:=
(an, j≤n,
0, j > n.
(a) (5P) Geben Sie eine Folge (an)n∈N an, f¨ur welche die Folge (vn)n∈N im `1 divergiert und im`2 gegen 0 konvergiert.
(b) (5P) Nutzen Sie die ¨Uberlegungen aus Teil (a), um zu zeigen, dass die Inklu- sion `1 ,→`2 nicht offen ist.
4. (10P) Es seiP =R[X] derR-Vektorraum aller Polynome aufR, versehen mit einer beliebigen Norm. Verwenden Sie den Baireschen Kategoriensatz, um zu zeigen, dass P kein Banachraum ist.
Abgabe:Mo, 04.06.2018, 12:20 Besprechung:12. Juni
