, wenn G = ∅ oder R \ G h¨ ochstens abz¨ ahlbar ist. Wir bezeichnen R , versehen mit der ko-abz¨ ahlbaren Topologie, mit X und wir bezeichnen R , versehen mit der diskreten Topologie, mit Y . Die Abbildung f : X → Y sei gegeben durch f (x) = x.

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 12.10.2018 Pr¨ asenz¨ ubungsblatt 1

Pr¨ asenz¨ ubungen zu Funktionalanalysis I

1. Eine Menge G ⊆ R ist offen in der ko-abz¨ ahlbaren Topologie τ

, wenn G = ∅ oder R \ G h¨ ochstens abz¨ ahlbar ist. Wir bezeichnen R , versehen mit der ko-abz¨ ahlbaren Topologie, mit X und wir bezeichnen R , versehen mit der diskreten Topologie, mit Y . Die Abbildung f : X → Y sei gegeben durch f (x) = x.

(a) Zeigen Sie, dass τ

in der Tat eine Topologie ist.

(b) Zeigen Sie, dass eine Folge (x

)

genau dann in der ko-abz¨ ahlbaren Topologie gegen x konvergiert, wenn fast alle Folgenglieder gleich x sind.

(c) Zeigen Sie, dass f unstetig ist.

(d) Zeigen Sie lim

f (x

) = f (lim

x

) f¨ ur jede konvergente Folge (x

)

in X.

2. Es sei I eine Indexmenge. F¨ ur jedes i ∈ I sei X

ein lokalkonvexer Raum. Das Produkt

X := Y

i∈I

X

trage die Produkttopologie. Zeigen Sie, dass X lokalkonvex ist.

3. Es sei

ϕ := n

(x

)

∈ K

x

= 0 f¨ ur fast alle n o der Raum der endlichen Folgen.

Ferner sei

A := n

(a

)

∈ R

a

> 0 f¨ ur alle n o . F¨ ur a = (a

)

∈ A und (x

)

∈ ϕ definieren wir

p

((x

)

) :=

∞

X

n=1

a

|x

|.

Zeigen Sie, dass ϕ zu einem lokalkonvexen Raum wird, wenn man als Nullumge- bungsbasis die Menge

U :=

p

([0, 1[) a ∈ A w¨ ahlt.

Die Pr¨ asenz¨ ubungen werden nicht korrigiert.

Besprechung: 17. Oktober