00. Einiges zum Vektorraum R

00. Einiges zum Vektorraum R ⁿ

In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV ”Einf¨uhrung in die mathematischen Methoden” erw¨ahnten Konzepte ¨uber Vektoren (im R² und R³) im Rahmen des n-dimensionalen Raumes Rⁿ diskutiert. Dies erfordert z.T. eine etwas abstraktere Betrachtungsweise und ist damit eine gute ¨Uberleitung zur Diskussion allgemeiner Vektorr¨aume.

F¨ur jede nat¨urliche Zahl n∈ N bilden wir die Menge Rⁿ dergeordneten n-Tupel reeller Zahlen

Rⁿ = {x = (x₁, x₂, . . . , x_n) : x_i ∈ R f¨ur i = 1, . . . , n}

Dabei heißen zwei derartige n-Tupel (x1, x2, . . . , xn) und (y1, y2, . . . , yn) gleich, wenn

x₁ = y₁ , x₂ = y₂ , . . . , x_n = y_n

Im Falle n = 1 erhalten wir nichts anderes als die Menge R = R¹ , die wir uns geometrisch als Gerade mit einem Nullpunkt und einem Maßstab vorstellen k¨onnen (reelle Zahlengerade).

Den Fall n= 2 , also den R² , k¨onnen wir als Ebene veranschaulichen, wo jeder Punkt durch ein Zahlenpaar repr¨asentiert ist. Dies erm¨oglicht es u.a., geometrische Sachverhalte mittels analytischer Methoden zu untersuchen (analytische Geometrie).

Der R³ kommt bei der Untersuchung des dreidimensionalen Raumes zum Tragen. Durch Festlegen eines Koordinatensystems kann jeder Punkt des Raumes durch 3 Zahlen beschrieben werden.

F¨ur n > 3 gibt es f¨ur den Rⁿ zwar keine einleuchtende geometrische Interpretation mehr, er ist nichtsdestoweniger f¨ur die Beschreibung ver- schiedenster Sachverhalte unabdingbar. Beispielsweise sind die L¨osungen eines linearen homogenen Gleichungssystems von n Gleichungen in n Unbekannten als Vektoren des Rⁿ beschreibbar.

Im Rⁿ sind nun 2 zentrale Operationen definiert, i.e. wir k¨onnen 2 Elemente des Rⁿ in geeigneter Weise ”addieren”, und wir k¨onnen ein Element des Rⁿ in geeigneter Weise mit einem Skalar (in diesem Fall mit einer reellen Zahl) ”multiplizieren”.

Seien v = (x1, x2, . . . , xn) , w = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rⁿ und λ ∈ R

v +w = (x₁, x₂, . . . , x_n) + (y₁, y₂, . . . , y_n) = (x₁ + y₁, x₂ +y₂, . . . , x_n +y_n) (Addition von zwei Vektoren)

λ·v = λv = (λx₁, λx₂, . . . , λx_n)

(Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar)

Beachten wir die beiden geometrischen Interpretationsm¨oglichkeiten von Zahlentupel (als Koordinaten von Punkten bzw. ”Pfeile”), dann k¨onnen wir diese Operationen folgendermaßen veranschaulichen.

Aus den oben definierten Operationen lassen sich unmittelbar folgende Rechenregeln ableiten.

Seien v, w, u ∈ Rⁿ und λ, µ ∈ R .

(a) v +w = w +v (Kommutativit¨at)

(b) (v+ w) +u = v+ (w+u) (Assoziativit¨at)

(c) Der Nullvektor 0 = (0,0, . . . ,0) hat die Eigenschaft, dass v + 0 = v ∀ v ∈ Rⁿ gilt.

(d) Zu v hat der Vektor −v = (−x₁,−x₂, . . . ,−x_n) die Eigenschaft, dass v + (−v) = 0 gilt.

(e) (λ+ µ)v = λv +µv , λ(v +w) =λv +λw (λµ)v = λ(µv) , 1·v = 1v = v

Bemerkungen. Die jeweilige Bedeutung der Symbole ”+” und ”0”

sollte aus dem Zusammenhang hervorgehen und keine Verwirrung stiften.

Der Vektor v + (−w) wird zumeist in der Form v −w geschrieben und heißt Differenzvektor bzw. die Differenz von v und w .

Folgende weitere Bezeichnungsweisen haben sich als sinnvoll erwiesen.

Seien A, B ⊆ Rⁿ und λ ∈ R

A+B = {v ∈ Rⁿ : ∃ w ∈ A , ∃ u ∈ B mit v = w +u} λA = {v ∈ Rⁿ : ∃ w ∈ A mit v = λw}

A+B ist also die Menge aller Elemente des Rⁿ , die sich als Summe eines Elementes aus A und eines Elementes aus B darstellen lassen. Im Falle A = {w} schreibt man auch w +B .

Definition. Eine Teilmenge A ⊆ Rⁿ heißt Gerade (im Rⁿ), wenn es zwei Vektoren v, w ∈ Rⁿ mit w ̸= 0 gibt, sodass

A = v +Rw = {v+ λw : λ ∈ R}

v stellt offenbar den Ortsvektor eines Punktes der Geraden dar und w die Richtung der Geraden. (Richtungsvektor).

Obige Darstellung heißt auchParameterdarstellung (mit Parameter λ).

F¨ur eine gegebene Gerade sind die Vektoren v und w nat¨urlich nicht eindeutig bestimmt.

Gilt etwa A = v +Rw und setzen wir etwa v^′ = v +w und w^′ = 2w , dann gilt A = v^′ +Rw^′ .

Beweis. Setzen wir A^′ = v^′ +Rw^′ , dann ist zu zeigen dass A= A^′ . Sei u ∈ A . Dann existiert ein λ ∈ R mit u = v +λw .

u = v +λw = v+w + (λ−1)w = v+w + ^λ−₂¹ ·2w = v^′ +µw^′ wobei µ = ^λ−₂¹ . Also ist u ∈ A^′ .

Ist umgekehrt u ∈ A^′ , dann ∃ µ ∈ R mit u = v^′ +µw^′ . u = v^′ +µw^′ = v+ w+ 2µw = v + (2µ+ 1)w = v +λw wobei λ = 2µ+ 1 . Also ist u∈ A und insgesamt A= A^′ .

Gilt umgekehrt f¨ur eine Gerade A = v + Rw = v^′ + Rw^′ , dann sind v^′, v^′ +w^′ ∈ A .

v^′ = v +λ₁w , v^′+ w^′ = v +λ₂w .

Folglich ist v^′−v = λ₁w ein Richtungsvektor und w^′ = (v^′ +w^′)−v^′ = (λ2 −λ1)w = λw .

Bemerkung. Zu v₁ ̸= v₂ ∈ Rⁿ gibt es genau eine Gerade, welche durch v1 und v2 geht.

Beweis. Eine derartige Gerade existiert, wenn man v = v₁ , w = v₂−v₁ und A = v+Rw setzt. Der Nachweis, dass die Gerade eindeutig bestimmt ist, sei dem Leser ¨uberlassen.

Bemerkung. Im R² kann eine Gerade in der parameterfreien Form ax+by = c dargestellt werden. (siehe fr¨uher)

Eine wichtige Eigenschaft des Rⁿ ist, dass ein Skalarprodukt definiert werden kann, wo zwei Vektoren ein Skalar (also eine Zahl) zugeordnet wird.

Seien v = (x₁, . . . , x_n) , w = (y₁, . . . , y_n) ∈ Rⁿ . Dann heißt

⟨v, w⟩ = x₁y₁ +x₂y₂ +. . .+x_ny_n das Skalarprodukt von v und w .

Durch einfaches Ausrechnen ergeben sich die Eigenschaften

• ⟨v+u, w⟩ = ⟨v, w⟩+⟨u, w⟩ , ⟨λv, w⟩ = λ⟨v, w⟩

• ⟨v, w+ u⟩ = ⟨v, w⟩+⟨v, u⟩ , ⟨v, λw⟩ = λ⟨v, w⟩

• ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩

• ⟨v, v⟩ = x²₁ +. . .+x²_n ≥ 0 , ⟨v, v⟩ = 0 ⇔ v = 0

Mit Hilfe des Skalarproduktes kann nun wiederum die L¨ange bzw. die Norm bzw. der Betrag eines Vektors v ∈ Rⁿ definiert werden, n¨amlich mittels

∥v∥ = |v| = √

⟨v, v⟩ = √

x²₁ +. . .+x²_n

Also gilt ∥v∥² = ⟨v, v⟩ . Weiters gilt offenbar dass ∥v∥ = 0 ⇔ v = 0 und ∥λv∥ = |λ|∥v∥ , also insbesondere ∥ −v∥ = ∥v∥ .

Vektoren mit Norm (bzw. L¨ange) 1 heißen Einheitsvektoren.

Der einfache Beweis der folgenden Aussagen sei dem Leser ¨uberlassen.

(i) ∥v +w∥² = ∥v∥² + ∥w∥² + 2⟨v, w⟩ (Satz von Pythagoras)

(ii) ∥v +w∥² +∥v −w∥² = 2∥v∥² + 2∥w∥² (Parallelogrammgleichung)

Von zentraler Bedeutung ist

Satz. (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

|⟨v, w⟩| ≤ ∥v∥∥w∥

Beweis. F¨ur w = 0 sind beide Seiten gleich Null, also ist die Ungleichung erf¨ullt. Sei also im folgenden w ̸= 0 .

Wir setzen λ = ⟨w, w⟩ und µ = −⟨v, w⟩ . Dann ist

0 ≤ ⟨λv +µw, λv +µw⟩ = λ²⟨v, v⟩ + 2λµ⟨v, w⟩+µ²⟨w, w⟩ =

= λ·(⟨v, v⟩⟨w, w⟩ −2⟨v, w⟩² +⟨v, w⟩²) = λ·(⟨v, v⟩⟨w, w⟩ − ⟨v, w⟩²) Wegen λ > 0 ist dann ⟨v, w⟩² ≤ ⟨v, v⟩⟨w, w⟩ . Wurzelziehen ergibt schließlich die Behauptung.

Bemerkung. F¨ur w ̸= 0 gilt |⟨v, w⟩| = ∥v∥∥w∥ genau dann, wenn

∃ ρ ∈ R mit v = ρw .

Folgerung. ∥v +w∥ ≤ ∥v∥+∥w∥ (Dreiecksungleichung) Beweis. ∥v +w∥² = ⟨v+w, v +w⟩ = ⟨v, v⟩ + 2⟨v, w⟩+⟨w, w⟩ ≤

≤ ∥v∥² + 2|⟨v, w⟩|+ ∥w∥² ≤ ∥v∥² + 2∥v∥∥w∥+∥w∥² = (∥v∥+∥w∥)² Wurzelziehen ergibt die Behauptung.

Mittels der Norm kann in einem n¨achsten Schritt der Abstand zwischen zwei Vektoren definiert werden, n¨amlich mittels

d(v, w) =∥v −w∥

F¨ur v = (x₁, . . . , x_n) , w = (y₁, . . . , y_n) gilt also d(v, w) =√

(x1 −y1)² +. . .+ (xn−yn)²

Aus den Eigenschaften der Norm folgt dann unmittelbar d(v, w) ≥0 , d(v, w) = 0 ⇔ v = w , d(v, w) =d(w, v) d(v₁, v₃) ≤ d(v₁, v₂) +d(v₂, v₃) (Dreiecksungleichung)

Das Vorhandensein eines Skalarproduktes in einem Vektorraum erm¨oglicht es, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu definieren, und in weiterer Folge davon zu sprechen, dass zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) aufeinander stehen.

Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt, falls v, w ̸= 0 , dass

−1 ≤ _∥^⟨_v^v,w_∥∥w^⟩_∥ ≤1 .

Wir setzen cosθ = _∥^⟨_v^v,w_∥∥w^⟩_∥ und bezeichnen θ als den Winkel zwischen v und w . Er ist durch die Zusatzforderung θ ∈ [0, π] eindeutig bestimmt.

Bemerkung. Diese Definition ist so beschaffen, dass sie im R² mit der

¨

ublichen Defintion des Winkels ¨ubereinstimmt.

Bemerkung. Man kann nun auch den Winkel zwischen zwei Geraden des Rⁿ , welche einen gemeinsamen Punkt haben, definieren. Dies soll der Winkel zwischen den Richtungsvektoren sein. Allerdings werden hier genau genommen zwei Winkel geliefert, deren Summe jedoch π ist.

Eindeutigkeit kann man erzielen, wenn man f¨ur die Richtungsvektoren

⟨v, w⟩ ≥ 0 fordert, wodurch der Winkel im Bereich [0,^π₂] ist.

Definition. Zwei Vektoren v, w ∈ Rⁿ heißenorthogonal, v ⊥ w , wenn

⟨v, w⟩ = 0 .

Der Nullvektor ist offenbar zu jedem Vektor orthogonal. Sind v, w ̸= 0 orthogonal, dann ist der Winkel zwischen v und w gleich ^π₂ .

Ist A ⊂ Rⁿ eine Gerade, so heißt s ∈ Rⁿ orthogonal zu A (oder

Normalenvektor von A), wenn ∀ v₁, v₂ ∈ A gilt

⟨s, v1 −v2⟩ = 0 i.e. s ⊥(v1 −v2)

Dies bedeutet, dass s orthogonal auf jeden Richtungsvektor der Geraden steht.

Bemerkung. Ist A = {(x, y) ∈ R² : ax+ by = c} eine Gerade im R² , dann ist s = (a, b) orthogonal zu A .

Beweis. Seien v₁ = (x₁, y₁) , v₂ = (x₂, y₂) ∈ A . Dann ist

⟨s, v₁ −v₂⟩ = ⟨s, v₁⟩ − ⟨s, v₂⟩ = (ax₁ + by₁)−(ax₂ +by₂) = c−c = 0

Mit Hilfe zu einer Geraden orthogonaler Vektoren kann auch derk¨urzeste Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmt werden.

Ohne Beweis sei erw¨ahnt : Sind v, v₁ verschiedene Punkte einer Geraden A ⊆Rⁿ und ist u ∈ Rⁿ , dann ist mit w = v1−v der k¨urzeste Abstand von u zu A gegeben durch

∥v − ^⟨v_⟨⁻_w,w^u,w_⟩^⟩w−u∥

Speziell im R² ergibt sich f¨ur die Gerade ax+by = c und u = (x₀, y₀) als k¨urzester Abstand

|ax√0+by0−c| a²+b²

Definition. Eine Teilmenge A ⊆ Rⁿ heißt Ebene, wenn es v, w₁, w₂ ∈ Rⁿ gibt, sodass w₁, w₂ linear unabh¨angig sind und

A = v+Rw₁+Rw₂ = {u ∈ Rⁿ : ∃ λ₁, λ₂ ∈ R mit u = v+λ₁w₁+λ₂w₂} Dabei heißen w₁, w₂ linear unabh¨angig, wenn weder w₁ = µw₂ noch w₂ = µw₁ gilt.

Obige Darstellung heißt eine Parameterdarstellung der Ebene.

Bemerkung. Eine Ebene ist also festgelegt durch einen Punkt und zwei linear unabh¨angige Richtungen. Wie schon im Falle einer Geraden kann

ein und dieselbe Ebene auch durch einen anderen Punkt sowie andere Rich- tungen bestimmt sein.

Bemerkung. Im R³ kann, wie fr¨uher erw¨ahnt, durch Elimination der Parameter die parameterfreie Darstellung der Form ax₁ + bx₂ + cx₃ = d gewonnen werden.

Dies bedeutet offenbar wiederum, dass die Ebene aus all jenen Punkten (x₁, x₂, x₃) besteht, deren Skalarprodukt mit dem festen Vektor (a, b, c) den konstanten Wert d hat.

Definition. Ist A ⊆ Rⁿ eine Ebene, so heißt s ∈ Rⁿ orthogonal zu A (bzw. ein Normalenvektor von A), wenn ∀ v₁, v₂ ∈ A gilt

⟨s, v₁ −v₂⟩ = 0 d.h. s ⊥ (v₁ −v₂) Zur ¨Ubung beweise man folgende Aussagen:

(a) Ein Normalenvektor einer Ebene steht auf jeden Richtungsvektor der Ebene orthogonal.

(b) Gegeben sei die Ebene ax₁ + bx₂ + cx₃ = d im R³ . Dann ist s = (a, b, c) ein Normalenvektor.

(c) Ist A = v + Rw₁ + Rw₂ eine Parameterdarstellung einer Ebene im R³ , dann ist s = w₁ ×w₂ ein Normalenvektor.

Bemerkung. Ist ax₁ + bx₂ + cx₃ = d eine Ebene im R³ und u = (u1, u2, u3) ∈ R³ , dann berechnet sich der Abstand des Punktes u zur Ebene durch

|au₁√+bu₂+cu₃−d| a²+b²+c²

Das Vektorprodukt im R³ wurde bereits an fr¨uherer Stelle definiert.

Zu v = (x₁, x₂, x₃) , w = (y₁, y₂, y₃) ist

v ×w = (x₂y₃ −x₃y₂, x₃y₁ −x₁y₃, x₁y₂ −x₂y₁) ∈ R³

Die wichtigsten Eigenschaften, welche sich durch elementares Ausrechnen

ergeben, seien hier nochmals angef¨uhrt.

• (v +u)×w = v×w+ u×w v×(w+ u) =v ×w +v ×u (λv)×w = λ(v ×w) =v ×(λw)

• ⟨v×w, v⟩ = ⟨v ×w, w⟩ = 0

• ∥v ×w∥² = ∥v∥²∥w∥² − ⟨v, w⟩² und folglich

∥v ×w∥ = ∥v∥∥w∥sinθ , θ . . . Winkel zwischen v und w

• v ×w = −(w ×v) und folglich v ×v = 0

Definition. Das Spatprodukt von drei Vektoren u, v, w ∈ R³ ist die Zahl ⟨u, v ×w⟩ .

Geometrisch ist der Betrag des Spatproduktes das Volumen des von den Vektoren v, w, u aufgespannten Spates

S = {λu+µv+νw : 0 ≤ λ, µ, ν ≤1}

Die Berechnung des Spatproduktes ist einfach mit Hilfe der Determinan- tenrechnung, weil

⟨u, v×w⟩ =

u1 v1 w1

u2 v2 w2

u₃ v₃ w₃ .