Inhaltsverzeichnis Punkten, Geraden und Ebenen Lagebeziehungen, Abstände, Schnittpunkte, Winkel

Lagebeziehungen, Abstände, Schnittpunkte, Winkel

bei / zwischen

Punkten, Geraden und Ebenen

Inhaltsverzeichnis

1 Allgemeines...2

2 Punkte...3

2.1 Schreibweise...3

2.2 Abstand zweier Punkte...3

2.3 Lagebeziehung Punkt / Gerade...3

2.4 Abstand eines Punktes zu einer Geraden ...4

2.5 Spiegelung eines Punktes an einer Geraden...6

2.6 Lagebeziehung Punkt / Ebene ...7

2.7 Abstand eines Punktes zu einer Ebene...7

2.8 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene ...8

3 Geraden...9

3.1 Lage zweier Geraden zueinander...9

3.2 Abstand zweier Geraden...10

3.3 Winkel zwischen zwei Geraden ...12

3.4 Lage einer Geraden zu einer Ebene ...13

3.5 Abstand einer Geraden zu einer Ebene...14

3.6 Winkel zwischen Gerade und Ebene...14

4 Ebenen ...15

4.1 Lage zweier Ebenen zueinander ...15

4.2 Abstand zweier Ebenen...15

4.3 Winkel zwischen zwei Ebenen...16

1

Allgemeines

Punkte, Geraden und Ebenen im ℝ³ können in unterschiedlichen Beziehungen zueinander stehen, z.B.

können zwei Geraden sich schneiden oder nicht.

Es werden in diesem Skript mögliche Beziehungen u. zugehörige Rechenwege dargestellt.

Nur bestimmte Kombinationen von Objekten und Beziehungen sind sinnvoll. Das Inhaltsverzeichnis gibt einen Überblick über die sinnvollen Kombinationen.

2

Punkte

2.1 Schreibweise

P(p₁∣^p2∣^p3) mit p_1,p_2,p₃ ∈ ℝ 2.2 Abstand zweier Punkte

P(p₁∣p₂∣p₃)

u.

:

d(P ; Q) =

√

A(1∣2∣1) , B(1^∣−3^∣0)

d(A ; B)=

√

√

2.3 Lagebeziehung Punkt / Gerade

Sei g : x⃗ = ⃗p +r⋅⃗u die Gleichung der Geraden.

Dann liegt der Punkt Q(q₁∣q₂∣q₃) auf g (Schreibweise Q∈g ) , wenn es ein r∈ℝ gibt, so dass

(

)

Beispiel:

Seien ^{g : ⃗x=}

(

)

(

)

Dann gilt A∈g , aber B∉g

2.4 Abstand eines Punktes zu einer Geraden

Der Abstand eines Punktes von einer Ebene ist die Länge des Lots des Punktes auf die Gerade.

Wie man auf unterschiedliche Weisen den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen kann, zeigt nachfolgende

Aufgabe

Gegeben die Gerade g : ⃗x =

(

)

(

)

Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g.

Lösungsweg Nr. 1

Idee: Der Vektor ⃗n muss orthogonal zu dem Richtungs- vektor von g sein.

Es ist ^{⃗n = ⃗x − ⃗OP=}

(

)

(

)

(

)

(

)

0 = ⃗n⋅⃗u = (r−1)+(r−1)+3⋅(3r−4)=11r−14 → ^r = 14 11 Einsetzen in Geradegleichung liefert:

⃗OF=

(

)

(

)

(

)

⁽

^∣

^∣

⁾

(

)

(

)

d =

√

^√

Lösungsweg Nr. 2

Anmerkung: Es werden hier etwas andere Bezeichnungen vewendet, da der Lösungsweg aus einem anderen Skript kopiert wurde.

Idee:

(1) Stelle eine Normalengleichung der "Hilfsebene" E auf, die den Normalenvektor u^⃗ besitzt, und durch den Punkt P geht.

(2) Stelle Koordinatengleichung von E her.

(3) Berechne den Schnittpunkt S von E und g.

(4) Berechne den Abstand von P und S.

zu (1) u. (2):

E:

(

⁽

⁾ )

⁽

^{) ↔}

zu (3): (1 + r) + (2 + r) + 3 (1 + 3r) = 20 → ^{r = 14}

11 , ^{S =}

(

∣

∣

)

Weiter wie bei Lösungsweg Nr.1.

Lösungsweg Nr. 3

Idee: Wir suchen die kürzeste Verbindung von P zu g

f(r) = (d(r))² = (1+r−2)²+(2+r−3)²+(1+3r−5)²=(r−1)²+(r−1)²+(3r−4)²

=r²−2r+1+r²−2r+1+9r²−24r+16=11r²−28r+18

f '(x) = 22 r−28 = 0 für ^r=14 11 f ' '(x) = 22 → Minimum bei r=14

11

Dann geht es weiter wie bei Lösungsweg Nr. 1 .

2.5 Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Es seien die gleichen Voraussetzungen gegeben wie unter "Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmen".

(1) Stelle eine Normalengleichung der "Hilfsebene" E auf, die denNormalenvektor u^⃗ besitzt, und durch den Punkt P geht.

(2) Stelle Koordinatengleichung von E her.

(3) Berechne den Schnittpunkt S von E und g.

(4) Der Ortsvektor von P' ergibt sich als Summe von ^⃗OS + ⃗PS .

zu (4):

⃗OP ' = ⃗OS + ⃗PS =

(

)

(

)

(

)

(

∣

∣

)

2.6 Lagebeziehung Punkt / Ebene

Ein Punkt liegt genau dann in einer Ebene, wenn seine Koordinaten die Ebengleichnung erfüllen.

2.7 Abstand eines Punktes zu einer Ebene

a) Explizite Berechnung

Vorgehen:

Bestimme Normalenvektor n⃗ zur Ebene E.

Stelle die Gleichnung der Geraden g auf, die durch P geht und den Richtungsvektor n⃗ hat.

Berechne den Schnittpunkt F von g mit E.

Berechne den Abstand d(P;F) von P und F.

b) Berechnung ausgehend von HNF (Hessesche Normalform):

Sei ^{n1⋅x1+n2⋅x2+n3⋅x3−d}

√

2+n₂²+n₃² = 0 die HNF. Dann gilt:

d(P ; E) =

∣

∣

√

2+n₂²+n₃²

2.8 Spiegelung eines Punktes an einer Ebene

3

Geraden

3.1 Lage zweier Geraden zueinander

Es seien 2 Geradengleichungen gegeben g : x⃗ = ⃗p+r⋅⃗u und h : ⃗x = ⃗q+s⋅⃗v .

Dann sind folgende Fälle möglich:

(a) Die Geraden sind identisch (b) Die Geraden sind parallel (c) Die Geraden schneiden sich (d) Die Geraden sind windschief

(a) liegt z.B. vor, wenn der Punkt P(p₁∣p₂∣p₃) auf h liegt und die Richtungsvektoren u⃗ und ⃗v Vielfache von einander sind.

(b) liegt z.B. vor, wenn P nicht auf h liegt und die Richtungsvektoren Vielfache von einander sind.

Wenn (a) und (b) nicht gelten, entscheidet man, ob (c) oder (d) vorliegt, in dem man prüft, ob es Werte für r und s gibt, so dass gilt:

⃗p+r⋅⃗u= ⃗q+s⋅⃗v bzw. für die Koordinaten:

p₁+r⋅u₁ = q₁+s⋅v₁ p₂+r⋅u₂ = q₂+s⋅v₂ p₃+r⋅u₃ = q₃+s⋅v₃

Beispiel

Welche Lage haben die beiden folgenden Geraden zueinander?

g₁: ⃗x =

(

)

(

)

(

)

(

)

Lösung

Falls die Geraden sich schneiden, müsste gelten:

1−3s = −1+2t

↔

1+2s = 3− t

↔

1− s = t

↔

Addition der Gleichungen (II) und (III) liefert s = 1 ; setzt man dies in (II) ein ergibt sich t = 0.

Damit ist die Gleichung (I) jedoch nicht erfüllt.

Die Geraden schneiden sich daher nicht.

Da die Richtungsvektoren auch nicht Vielfache voneinander sind, sind verlaufen die Geraden auch nicht parallel.

Die Geraden sind somit windschief zueinander.

3.2 Abstand zweier Geraden

Macht nur Sinn, wenn die Geraden winschief sind.

Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist definiert als die kleinste Entfernung zweier Punkte auf den beiden Geraden.

Lösungsvariante 1: Punkte mit kleinstem Abstand bestimmen

Man erhält die Lösung aus den Bedingungen, dass ^⃗AB orthogonal zu u⃗ und ⃗v ist:

Man bestimmt diese Punkte A und B aus den Bedingungen,

dass ^⃗AB orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Geraden ist:

^⃗AB⋅ ⃗u = 0 und ^⃗AB⋅ ⃗v = 0

∣

∣

Beispiel:

g: x⃗ =

(

)

(

)

(

)

(

)

Seien ^As(s^∣−1−s^∣1) und ^B_t^{(9+2t∣−8−3t∣6+2t)} . Dann ist

⃗A_sB_t =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Daraus folgt das LGS: −2s + 5t = −16 −5s + 17t = −49 mit der Lösung s = 3 und t = -2 und man erhält:

A₃(3^∣−4^∣1) , B₋₂(5^∣−2^∣2) , d(g ;h) =

∣

∣

√

Lösungsvariante 2: Hilfsebene verwenden

Man führt eine Hilfsebene E ein, die von den Richtungsvektoren der Geraden aufgespannt wird, und als Stützvektor den Stützvektor der Gerade h hat (damit liegt h in E). der Abstand von g zu h ist

dann gleich dem Abstand von g zu E, und läßt sich z.B. mit dem Abstand von P zu E berechnen.

Beispiel

Gegeben seien g: x⃗ =

(

)

(

)

(

)

(

)

Dann läßt sich die Hilfsebene darstellen als ^{E: ⃗x =}

(

)

(

)

(

)

Berechnen eines Normalenvektors:

(

)

(

)

(

)

⁽

⁾

Normalengleichung: ^E:

( ⁽

⁾

⁽

⁾ )

⁽

⁾

Koordinatengleichung: E: −2x₁−2x₂−x₃=−8 ;

HNF: E: −2x₁−2x₂−x₃+8

3 = 0

Abstand: d(g ;h)=d(P ;E)=

∣

∣

3 = ∣(−2)⋅0+−2⋅1−1+8∣

3 = 9

3 = 3

3.3 Winkel zwischen zwei Geraden

Macht nur Sinn, wenn die Geraden sich schneiden.

Der Winkel φ zwischen den Geraden ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren u⃗ und ⃗v und läßt sich mit dem Skalarprodukt berechnen:

cos(φ) = u⃗⋅ ⃗v

∣u⃗∣⋅∣⃗v∣

3.4 Lage einer Geraden zu einer Ebene Es sind folgende Fälle möglich:

(a) Die Gerade liegt in der Ebene (b) Geraden und Ebene sind parallel

(c) Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt

(a) ist der Fall, wenn zwei beliebig gewählte Punkte der Geraden in der Ebene liegen.

(b) ist der Fall, wenn ein Richtungsvektor der Geraden orthogonal zu einem Normalenvektor der Ebene ist.

Den Schnittpunkt bei (c) ermittelt man, in dem man Geraden- und Ebenen-Gleichung gleich setzt und das entstehende Gleichungssystem löst.

Beispiel

Seien g : x=⃗

(

)

(

)

Ist die Gerade g zur Ebene E parallel?

Wir prüfen, ob der Richtungsvektor von g orthogonal zum einem Normalenvektor von E ist:

(

)

(

)

Da die Vektoren nicht orthogonal sind, verläuft die Gerade nicht parallel zur Ebene sondern schneidet sie.

Den Schnittpunkt von g und E erhält man durch Lösen der Gleichung 4⋅r⋅(−2)−2(4+r)+2(1+r)=2

Aufgabe

Gegeben sind die Ebene ^E:−2x1+x₂−2x₃−15=0 und die Gerade ^{g : x⃗ =}

(

)

(

)

Zeige, dass g zu E parallel ist.

Lösung

^{n⃗ =}

(

)

(

)

da n^⃗ ⋅ ⃗u = (−2) ⋅ 1 + 1⋅ 4 + (−2) ⋅1 = 0 Daher ist g parallel zu E.

3.5 Abstand einer Geraden zu einer Ebene

Dies macht nur Sinne, wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft.

Der Abstand läßt sich ermitteln, in dem man einen beliebigen Punkt der Gerade wählt (z.B. den Endpunkt des Stützvektors) und dessen Abstand zur Ebene bestimmt.

Aufgabe

Gegeben sind die Ebene ^E:−2x1+x₂−2x₃−15=0

und die zur Ebene parallele Gerade ^{g : ⃗x =}

(

)

(

)

Bestimme den Abstand von g zu E.

Lösung

Da g und E parallel sind, kann man den ihren Abstand als Abstand des Stützpunktes P (2|-16|2) von g zu E bestimmen. Die HNF von E lautet

E: −2x₁+x₂−2x₃+15

3 = 0 .

→

3 = ∣−9∣

3 = 3 .

3.6 Winkel zwischen Gerade und Ebene

Dies macht nur Sinne, wenn die Gerade die Ebene in einem Punkt schneidet.

Unter dem Schnittwinkel φ zwischen einer Geraden g und einer Ebene E versteht man den nicht stumpfen Winkel zwischen der Geraden und ihrer senkrechten Projektion ^g_t in der Ebene.

Es gilt sin(φ)=∣u⃗⋅ ⃗n∣

∣⃗u∣⋅∣n^⃗∣

4 Ebenen

4.1 Lage zweier Ebenen zueinander

Wenn zwei Ebenen-Gleichungen gegeben sind, dann sind folgende Fälle möglich:

(a) Die beiden Ebenen sind identisch (b) Die beiden Ebenen sind parallel

(c) Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden

(a) kann man z.B. nachweisen, in dem man zeigt, dass 3 beliebig gewählte Punkte der einen Ebene auch in der anderen Ebene liegen.

(b) kann man z.B. nachweisen, in dem man zeigt, dass zwei Normalenvektoren der Ebenen Vielfache voneinander sind.

Die Gleichung der Schnittgeraden im Fall (c) erhält man, in dem man die Ebenengleichungen in geeigneter Weise gleichsetzt und das entstehende Gleichungssystem löst.

Beispiel

Sind die Ebenen E₁: 3x₁−6x₂+9x₃ =10 und E₂: −x₁+2x₂−3x₃=−4 parallel?

Ja, sie sind parallel, weil sie parallele Normalenvektoren besitzen; sie sind nicht identisch, wie man z.B. durch Einsetzen von x₂ = 0 und x₃ = 0 sieht.

Falls die Ebenen durch Parametergleichungen gegeben sind, führe man diese in Koordinatengleichungen über.

4.2 Abstand zweier Ebenen

Macht nur Sinn, wenn die Ebenen parallel sind.

Beispiel

Der Abstand paralleler Ebenen läßt sich - wie im folgenden Beipiel - einfach mittels der HNF (Hessesche Normalform) entscheiden.

Die Ebenen E₁: 3x₁−6x₂+9x₃ =10 und E₂: −x₁+2x₂−3x₃=−4 sind (s.o.) parallel.

Mit der HNF für E2 erhält man für Abstände von E2 : (*) a =

∣

_√

∣

Der Punkt P(¹⁰₃ ∣0∣0) liegt auf E1 . Setzt man P in (*) ein, erhält man: a ≈

∣

∣

Aufgabe

Gegeben sei die Ebene ^{E : ⃗x =}

(

)

(

)

(

)

Bestimme dazu 2 parallele Ebenen im Abstand 3.

Lösung:

Man erhöht bzw. erniedrigt die x3-Koordinate des Stützvektors um 3.

4.3 Winkel zwischen zwei Ebenen

Macht nur Sinn, wenn die Ebene sich in einer Geraden schneiden.

Der Winkel zwischen den Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen zwei Normalenvektoren zwischen den Ebenen.