Geraden & Ebenen

(1)

Geraden & Ebenen

• Skalarprodukt & Vektorprodukt

• Verschiedene Formen der Ebenengleichungen

• Umformungen von Ebenengleichungen

• Lage & Abstand bei - Punkt / Gerade - Gerade / Gerade - Punkt / Ebene - Gerade / Ebene - Ebene / Ebene

• Winkel zwischen - Geraden - Ebenen

• Spiegelungen

• Lösung geometrischer Probleme mit Vektoren

• Übungsaufgaben

(2)

Skalar- und Vektorprodukt

Skalarprodukt

(

âââ¹²³

)

^⋅

(

^b^b^b¹²³

)

⁼ ^a¹^⋅b¹ ^+a²^⋅b² ⁺ ^a³^⋅b³

_⃗_a _{⋅ ⃗}_b ₌ ∣a⃗∣⋅

∣

b^⃗

∣

⋅ cos(φ)

Satz:

⃗a⋅ ⃗b = 0 ↔ a orthogonal zu⃗ b⃗ (⃗a und b bilden einen rechten Winkel,⃗ ⃗a ⊥ ⃗b)

Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt)

(

âââ¹²³

)

^x

(

^b^b^b¹²³

)

⁼

(

âââ²³¹^⋅^⋅^⋅^b^b^b³¹² ⁻⁻⁻ âââ³¹²^⋅^⋅^⋅^b^b^b²³¹

)

a x⃗ ⃗b = ∣⃗a∣⋅

∣

^⃗_b

∣

_⋅ _sin(φ)

Satz:

⃗a x ⃗b ist orthogonal zu ⃗a und orthogonal zu b.⃗

Anmerkung:

∣

⃗a x ⃗b

∣

entspricht dem Flächeninhalt des von a⃗ und b^⃗ aufgespannten

Parallelogramms.

(3)

Verschiedene Formen der Ebenen-Darstellung

Parametergleichung

E: ⃗x = ⃗p + r⋅⃗u + s⋅ ⃗v

Koordinatengleichung

^{E: ax}1+bx₂+cx₃ = d

E =

{ (

^x^x^x¹²3

)

^∈ ^ℝ³

^|

^ax¹⁺^bx²⁺^cx³⁼ ^d

^}

Normalengleichung

E: (⃗x− ⃗p)⋅ ⃗n = 0

Satz:

Wenn ^ax1+bx₂+cx₃=d die Koordinatengleichung eine Ebene ist, dann ist

(

^a^b^c

)

^ein

Normalenvektor der Ebene.

(4)

Umformungen von Ebenengleichungen Übersicht

(1) Normalengleichung → Koordinatengleichung Normalengleichung ausmultiplizieren

E:

( ⁽

^x^x^x¹²³

⁾

⁻

⁽

²¹³

⁾ )

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

⁼ ⁰

(

^x^x^x¹²³

)

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

⁼

⁽

²¹³

⁾

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

E: 3x₁−x₂+4x₃ = 6−1+12 = 17

(2) Koordinatengleichung → Normalengleichung

E: 4x₁+10x₂+6x₃ = 24

Da die Koeffizienten einer Koordinatengleichung einen Normalenvektor bilden, ist hier

(

¹⁰⁴

)

ein Normalenvektor.

(5)

Einen Stützvektor gewinnt man, in dem man einen Vektor

(

^x^x^x¹²3

)

wählt, der die Koordinatengleichung erfüllt.

Wählen wir z.B. ^x2 = 0 und ^x3= 0 , dann ist mit ^x1 = 6 die Koordinatengleichung erfüllt.

Damit ergibt sich als Normalengleichung:

E:

( ⁽

^x^x^x¹²³

⁾

⁻

⁽

⁶⁰⁰

⁾ )

^⋅

⁽

¹⁰⁴⁶

⁾

⁼⁰

(3) Parametergleichung

→

Normalengleichung

Gegeben: ^E:

(

^x^x^x¹²³

)

⁼

⁽

¹¹¹

⁾

⁺ ^s⋅

⁽

⁻¹²²

⁾

⁺ ^t⋅

⁽

¹²³

⁾

Ein Normalenvektor

(

ⁿⁿⁿ¹²3

)

muss auf den beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen; daher:

−n₁+2n₂+2n₃=0

ⁿ1+2n₂+3n₃=0

⁴ⁿ2+5n₃=0

ⁿ2=−5 4n₃

Jeder Vektor der Form

(

⁻⁻¹²⁵⁴^t^⋅t^⋅t

)

ist Normalenvektor. Daher gilt folgende Normalenform:

E:

( ⁽

^x^x^x¹²³

⁾

⁻

⁽

¹¹¹

⁾ )

^⋅

(

⁻⁻¹²⁵⁴¹

)

⁼ ⁰

Oder bestimme orthogonalen Vektor zu den Richtungsvektoren mit dem Vektorprodukt.

(4) Normalengleichung

→

Parametergleichung

Idee: Bestimmung von 2 Richtungsvektoren, die auf dem Normalenvektor senkrecht stehen.

E:

( ⁽

^x^x^x¹²³

⁾

⁻

⁽

²¹³

⁾ )

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

⁼ ⁰

3u₁−u₂+4u₃=0 ist erfüllt mit ^u3=0 und ^u2=3u₁ und

(6)

3v₁−v₂+4v₃=0 mit ^v1=0 und ^v2=4v₃

Mit den Richtungsvektoren u⃗ und ⃗v erhalten wir:

E:

(

^x^x^x¹²³

)

⁼

⁽

²¹³

⁾

⁺ ^s⋅

⁽

¹³⁰

⁾

⁺ ^t⋅

⁽

⁰⁴¹

⁾

(5) Koordinatengleichung

→

Parametergleichung Gegeben: ^{E: 3x}1−x₂+4x₃=0 .

Die Koeffizienten bilden den Normalenvektor ⁿ^⃗ ⁼

(

⁻¹³4

)

Wir bestimmen zu n^⃗ zwei orthogonale Vektoren ^⃗u und ^⃗v :

3u₁−u₂+4u₃=0 ist erfüllt mit ^u3=0 und ^u2=3u₁ und

3v₁−v₂+4v₃=0 mit ^v1=0 und ^v2=4v₃ .

Für den Stützvektor p⃗ wählen wir z.B. : ^p1=1 , ^p2=3 und ^p3=0 . Wir erhalten damit:

E:

(

^x^x^x¹²³

)

⁼

⁽

⁰¹⁴

⁾

⁺ ^s^⋅

⁽

¹³⁰

⁾

⁺ ^t⋅

⁽

⁰⁴¹

⁾

(6) Parametergleichung

→

Koordinatengleichung

Bestimme orthogonalen Vektor zu den Richtungsvektoren mittels des Vektorprodukts und wähle geeigneten Stützvektor.

(7)

Hessesche Normalform einer Ebene

Die Hessesche Normalform (Abk. HNF) einer Ebene ist ähnlich der Normalform und wird hauptsächlich benutzt, um den Abstand zu einer Ebene zu bestimmen.

Hessesche Normalform

E: ⃗x ⋅ ⃗n₀ = d

wobei ⁿ0 ein Normalenvektor der Länge 1 ist.

Sei n₁⋅x₁+n₂⋅x₂+n₃⋅x₃ = d eine Koordinatengleichung einer Ebene, dann ist

n₁⋅x₁+n₂⋅x₂⋅+n₃⋅x₃− d

√

ⁿ1

2+n₂²+n₃² = 0 die HNF der Ebene und

d(P ;E) =

∣

ⁿ¹^⋅^p¹^+p

_√

^p²1^⋅^x²^⋅+p³^⋅x³⁻ ^d

2+p₂²+p₃²

∣

der Abstand des Punktes P(p₁∣p₂∣p₃) von der Ebene.

(8)

Lage & Abstand Punkt / Gerade

Ob ein Punkt auf einer Gerade liegt, prüft man durch Einsetzen.

Das folgende Bespiel zeigt, wie man den Abstand Punkt / Gerade berechnen kann.

Gegeben seien eine Gerade g und ein Punkt P:

^{g :} ^x^⃗ ⁼

(

¹²¹

)

⁺ ^r^⋅

(

¹¹³

)

^, ^P(²^∣³^∣⁵⁾

u⃗ Vorgehen:

(1) Stelle eine Normalengleichung der "Hilfsebene" E auf, die den Normalenvektor u^⃗ besitzt, und durch den Punkt P geht.

(2) Stelle Koordinatengleichung von E her.

(3) Berechne den Schnittpunkt S von E und g.

(4) Berechne den Abstand von P und S.

zu (1) u. (2):

E:

(

^⃗^x ⁻

⁽

²³⁵

⁾ )

^⋅

⁽

¹¹³

⁾

^↔

^x¹ ⁺ ^x² ⁺ ^3x³ ⁼ ²⁰

zu (3): (1 + r) + (2 + r) + 3 (1 + 3r) = 20

→

^r ⁼ ¹⁴₁₁

,

^S ⁼

(

²⁵¹¹

∣

³⁶11

∣

⁵³11

)

(9)

zu (4): ^PS^⃗ ⁼

(

²⁵¹¹³⁶¹¹⁵³¹¹

)

⁻

⁽

²³⁵

⁾

⁼

(

⁻²¹¹¹¹¹¹³³

)

^, ^d ⁼

^√

⁽¹¹³ ⁾² ^{+ (}¹¹³ ⁾² ^{+ (}⁻²¹¹⁾² ^≈ ^0,43

Lage & Abstand Gerade / Gerade

Gegeben seien 2 Geraden g: ⃗x = ⃗OP + s⋅ ⃗u und h: ⃗x = ⃗OQ + t⋅ ⃗v . Prüfe, ob u⃗ und ⃗v Vielfache voneinander sind. Wenn ja, dann sind die Geraden parallell oder identisch. Prüfung auf Identität erfolgt z.B. in dem man prüft, ob P auf h liegt.

Fall 1: Die Geraden sind identisch.

Die prüft man z.B. durch Einsetzen P in h.

Fall 2: Die Geraden sind parallel.

Man bestimme den Abstand von P zu h (s. xxx).

Fall 3: Die Geraden schneiden sich.

Dazu prüfen, ob die Gleichung ^⃗OP + s⋅ ⃗u = ⃗OQ + t⋅⃗v eine Lösung (s,t) hat.

Fall 4: (wenn die Fall 1-3 nicht zutrifft) Die Geraden sind windschief.

Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist definiert als die kleinste Entfernung zweier Punkte auf den beiden Geraden.

Lösungsvariante 1: Punkte mit kleinstem Abstand bestimmen

Man erhält die Lösung aus den Bedingungen, dass ^⃗AB orthogonal zu u⃗ und ⃗v ist:

Man bestimmt diese Punkte A und B aus den Bedingungen,

dass ^⃗AB orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Geraden ist:

^⃗AB⋅ ⃗u = 0 und ^⃗AB⋅ ⃗v = 0

∣

^⃗AB

∣

ist dann der Abstand der beiden Geraden.

(10)

Beispiel:

g: x⃗ =

(

⁻¹⁰¹

)

^+s⋅

(

⁻¹¹⁰

)

^h: ^⃗^x ⁼

(

⁻⁸⁹⁶

)

^+t^⋅

(

⁻³²²

)

Seien A_s(s^∣−1−s^∣1) und B_t(9+2t^∣−8−3t^∣6+2t) . Dann ist

⃗A_sB_t =

(

^−s+2t^s−3t−7^2t⁺⁹⁺⁵

)

und die Orthogonalitätsbedingungen zu u⃗ und ⃗v liefern:

(

^−s+2t+9^s−3t−7^2t+5

)

^⋅

(

⁻¹¹⁰

)

⁼ ⁰ ^und

(

^−s+2t^s−3t−7^2t⁺⁹⁺⁵

)

^⋅

(

⁻³²²

)

⁼ ⁰ ^.

Daraus folgt das LGS: −2s + 5t = −16 −5s + 17t = −49 mit der Lösung s = 3 und t = -2 und man erhält:

A₃(3^∣−4^∣1) , B₋₂(5^∣−2^∣2) , d(g ;h) =

∣

^⃗^A3B₋₂

∣

⁼

√

⁽⁵⁻³⁾²^{+(−2−(−4))}²⁺⁽²⁻¹⁾² ⁼ ³

Lösungsvariante 2: Hilfsebene verwenden

Man führt eine Hilfsebene E ein, die von den Richtungsvektoren der Geraden aufgespannt wird, und als Stützvektor den Stützvektor der Gerade h hat (damit liegt h in E). der Abstand von g zu h ist

dann gleich dem Abstand von g zu E, und läßt sich z.B. mit dem Abstand von P zu E berechnen.

(11)

Beispiel:

Gegeben seien g: x⃗ =

(

⁻¹⁰1

)

^+s⋅

(

⁻¹¹0

)

^und ^h: ^⃗^x ⁼

(

⁻⁸⁹6

)

^+s⋅

(

⁻³²2

)

^.

Dann läßt sich die Hilfsebene darstellen als ^E: ^⃗^x ⁼

(

⁻⁸⁹⁶

)

⁺ ^s⋅

(

⁻¹¹⁰

)

⁺ ^t⋅

(

⁻³²²

)

Berechnen eines Normalenvektors:

(

⁻¹¹⁰

)

^x

(

⁻³²²

)

⁼

(

^(−1)⋅¹⋅(−3) − (−1)⋅⁰^⋅²² ⁻⁻ ⁰¹^⋅(−3)^⋅² 2

)

⁼

(

⁻²⁻²⁻¹

)

Normalengleichung: ^E:

( ⁽

^x^x^x¹²³

⁾

⁻

⁽

⁻⁸⁹⁶

⁾ )

^⋅

⁽

⁻²⁻²⁻¹

⁾

Koordinatengleichung: E: −2x₁−2x₂−x₃=−8 ;

HNF: E: −2x₁−2x₂−x₃+8

3 = 0

Abstand: d(g ;h)=d(P; E)=−2p₁−2p₂−p₃+8

3 = (−2)⋅0+−2⋅1−1+8

3 = 9

3 = 3

(12)

Lage & Abstand Punkt / Ebene

Lage & Abstand Gerade / Ebene

s. die zweite Lösungsvariante bei Gerade / Gerade.

Lage & Abstand Ebene / Ebene

(13)

Winkel zwischen Geraden und Ebenen

(14)

Spiegelungen

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Es seien die gleichen Voraussetzungen gegeben wie unter "Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmen".

(1) Stelle eine Normalengleichung der "Hilfsebene" E auf, die denNormalenvektor u^⃗ besitzt, und durch den Punkt P geht.

(4) Der Ortsvektor von P' ergibt sich als Summe von ^⃗OS + ⃗PS .

zu (4):

⃗OP ' = ⃗OS + ⃗PS =

(

²⁵¹¹³⁶¹¹⁵³¹¹

)

⁺

(

⁻²¹¹¹¹¹¹³³

)

⁼

(

²⁸¹¹³⁹¹¹⁵¹¹¹

)

, ^{P '} ⁼

(

²⁸11

∣

³⁹11

∣

⁵¹11

)

(15)

Lage einer Geraden zu einer Ebene

Beispiel: Seien g : x=⃗

(

⁰⁴¹

)

⁺ ^r^⋅

(

⁻²¹¹

)

^{E: 4x}¹^−2x²^+2x³⁼²

Ist die Gerade g zur Ebene E parallel?

Wir prüfen, ob der Richtungsvektor von g orthogonal zum einem Normalenvektor von E ist:

(

⁻²¹¹

)

^⋅

(

⁻²⁴²

)

^{= −8}⁻²⁺² ^≠ ⁰

Da die Vektoren nicht orthogonal sind, verläuft die Gerade nicht parallel zur Ebene sondern schneidet sie.

(16)

Lage zweier Ebenen zueinander

Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, sind parallel oder gar identisch.

Ob zwei Ebenen parallel sind, läßt sich - wie in folgendem Bespiel - einfach anhand von Koordintenformen entscheiden.

Beispiel:

Sind die Ebenen E₁: 3x₁−6x₂+9x₃ =10 und E₂: −x₁+2x₂−3x₃=−4 parallel?

Ja, sie sind parallel, weil sie parallele Normalenvektoren besitzen; sie sind nicht identisch, wie man z.B. durch Einsetzen von x₂ = 0 und x₃ = 0 sieht.

Falls die Ebenen durch Parametergleichungen gegeben sind, führe man diese in Koordinatengleichungen über.

Abstand paralleler Ebenen

Der Abstand paralleler Ebenen läßt sich - wie im folgenden Beipiel - einfach mittels der HNF (Hessesche Normalform) entscheiden.

Die Ebenen E₁: 3x₁−6x₂+9x₃ =10 und E₂: −x₁+2x₂−3x₃=−4 sind (s.o.) parallel.

Mit der HNF für E2 erhält man für Abstände von E2 : (*) a =

∣

^(−1)⋅x¹⁺ ^2⋅^x

_√

14²^{⋅+ (−3)⋅x}³⁺ ⁴

∣

^.

Der Punkt P(¹⁰₃ ∣0∣0) liegt auf E1 . Setzt man P in (*) ein, erhält man: a ≈

∣

^0,663,74

∣

^≈ ^0,18

(17)

Winkel zwischen Geraden und Ebenen

Spiegelungen

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden

Es seien die gleichen Voraussetzungen gegeben wie unter "Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmen".

(1) Stelle eine Normalengleichung der "Hilfsebene" E auf, die denNormalenvektor u^⃗ besitzt, und durch den Punkt P geht.

(4) Der Ortsvektor von P' ergibt sich als Summe von ^⃗OS + ⃗PS .

zu (4):

⃗OP ' = ⃗OS + ⃗PS =

(

²⁵¹¹³⁶¹¹⁵³¹¹

)

⁺

(

⁻²¹¹¹¹¹¹³³

)

⁼

(

²⁸¹¹³⁹¹¹⁵¹¹¹

)

, ^{P '} ⁼

(

²⁸11

∣

³⁹11

∣

⁵¹11

)

(18)

Übungsaufgaben

(1) Welche Lage haben die beiden folgenden Geraden zueinander?

g₁: ⃗x =

(

¹¹¹

)

⁺ ^s⋅

(

⁻³⁻¹²

)

^g²^: ^⃗^x ⁼

(

⁻¹³⁰

)

⁺ ^t⋅

(

⁻¹²¹

)

Lösung:

Falls die Geraden sich schneiden, müsste gelten:

1−3s = −1+2t

↔

−3s − 2t = −2 _(I)

1+2s = 3− t

↔

2s + t = 2 ^(II)

1− s = t

↔

−s − t = −1 ^(III)

Addition der Gleichungen (II) und (III) liefert s = 1 ; setzt man dies in (II) ein ergibt sich t = 0.

Damit ist die Gleichung (I) jedoch nicht erfüllt.

Die Geraden schneiden sich daher nicht.

Da die Richtungsvektoren auch nicht Vielfache voneinander sind, sind verlaufen die Geraden auch nicht parallel.

Die Geraden sind somit windschief zueinander.

(2) Gegeben sind die Ebene ^E:−2x1+x₂−2x₃−15=0 und die Gerade ^{g :} ^x^⃗ ⁼

(

⁻¹⁶²²

)

⁺ ^t ^⋅

(

¹⁴¹

)

^.

a) Zeige, dass g zu E parallel ist.

b) Bestimme den Abstand von g zu E.

Lösung:

a) ⁿ^⃗ ⁼

(

⁻²⁻²¹

)

ist ein Normelenvektor von E; er ist orthogonal zum Richtungsvektor ^⃗^u=

(

¹⁴¹

)

^{von g,}

da n^⃗ ⋅ ⃗u = (−2) ⋅ 1 + 1⋅4 + (−2) ⋅1 = 0 Daher ist g parallel zu E.

b) Da g und E parallel sind, kann man den ihren Abstand als Abstand des Stützpunktes P (2|-16|2) von g zu E bestimmen. Die HNF von E lautet

E: −2x₁+x₂−2x₃+15

3 = 0 .

→

^{d(g ;E) =} ^{d(P;E) =} ∣−4−16−4+15∣

3 = ∣−9∣

3 = 3 .

(19)

(3) Eine Ebene sei gegeben durch die Punkte A (1 | 3 | 2), B(-2 | -2 | -1) und C (0 | 0 | 2).

Bestimme jeweils eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung.

(4) Gegeben sei die Ebene ^{E :} ^⃗^x ⁼

(

²¹²

)

⁺ ^r^⋅

(

⁰¹¹²

)

⁺ ^s^⋅

(

⁻¹⁰¹²

)

^.

Bestimme dazu 2 parallele Ebenen im Abstand 3.

Lösung:

Man erhöht bzw. erniedrigt die x3-Koordinate des Stützvektors um 3.

(5) Gegeben sei eine 3-seitige Pyramide durch die Punkte A ( | | ), B ( | | ), C ( | | ), S ( | | ).

Berechne das Volumen der Pyramide.

Geraden & Ebenen

Geraden & Ebenen

(

)

(

)

∣

∣

(

)

(

)

(

)

∣

∣

∣

∣

{ (

)

|

}

(

)

( (

)

(

) )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( (

)

(

) )

(

)

→

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( (

)

(

) )

(

)

→

( (

)

(

) )

(

)

(

)

(

)

(

)

^|

^}

( ⁽

⁾

⁽

⁾ )

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

( ⁽

⁾

⁽

⁾ )

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

( ⁽

⁾

⁽

⁾ )

( ⁽

⁾

⁽

⁾ )

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

⁽

⁾

_√

⁽

⁾ )

⁽

⁾

^↔

⁽

⁾

^√