Geraden & Ebenen

Übungsblatt

Geraden & Ebenen

Beispiel: Normalengleichung → Koordinatengleichung Normalengleichung ausmultiplizieren

E:

( ⁽

^xxx123

⁾

⁻

⁽

²¹³

⁾ )

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

^{= 0}

(

^xxx123

)

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

⁼

⁽

²¹³

⁾

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

E: 3x₁−x₂+4x₃= 6−1+12 = 17

Beispiel: Koordinatengleichung → Normalengleichung

E: 4x₁+10x₂+6x₃ = 24

Da die Koeffizienten einer Koordinatengleichung einen Normalenvektor bilden, ist hier

(

¹⁰⁴6

)

ein Normalenvektor.

Einen Stützvektor gewinnt man, in dem man einen Vektor

(

^xxx123

)

wählt, der die Koordinatengleichung erfüllt.

Wählen wir z.B. ^x2= 0 und ^x3= 0 , dann ist mit ^x1 = 6 die Koordinatengleichung erfüllt.

Damit ergibt sich als Normalengleichung:

E:

( ⁽

^xxx123

⁾

⁻

⁽

⁶⁰⁰

⁾ )

^⋅

⁽

¹⁰⁴⁶

⁾

⁼⁰

Beispiel: Parametergleichung

→

Normalengleichung

Gegeben: ^E:

(

^xxx123

)

⁼

⁽

¹¹¹

⁾

^{+ s⋅}

⁽

⁻¹²²

⁾

^{+ t⋅}

⁽

¹²³

⁾

Ein Normalenvektor

(

ⁿⁿⁿ¹²3

)

muss auf den beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen; daher:

−n₁+2n₂+2n₃=0

ⁿ1+2n₂+3n₃=0

⁴ⁿ2+5n₃=0

ⁿ2=−5 4n₃

Jeder Vektor der Form

(

^{−−1254t⋅t⋅t}

)

ist Normalenvektor. Daher gilt folgende Normalenform:

E:

( ⁽

^xxx123

⁾

⁻

⁽

¹¹¹

⁾ )

^⋅

(

^−−12541

)

^{= 0}

Oder bestimme orthogonalen Vektor zu den Richtungsvektoren mit dem Vektorprodukt.

Beispiel: Normalengleichung

→

Parametergleichung

Idee: Bestimmung von 2 Richtungsvektoren, die auf dem Normalenvektor senkrecht stehen.

E:

( ⁽

^xxx123

⁾

⁻

⁽

²¹³

⁾ )

^⋅

⁽

⁻¹³⁴

⁾

^{= 0}

3u₁−u₂+4u₃=0 ist erfüllt mit ^u3=0 und ^u2=3u₁ und 3v₁−v₂+4v₃=0 mit ^v1=0 und ^v2=4v₃

Mit den Richtungsvektoren ⃗u und ⃗v erhalten wir:

E:

(

^xxx123

)

⁼

⁽

²¹³

⁾

^{+ s⋅}

⁽

¹³⁰

⁾

^{+ t⋅}

⁽

⁰⁴¹

⁾

Beispiel: Koordinatengleichung

→

Parametergleichung Gegeben: ^{E: 3x}1−x₂+4x₃=0 .

Die Koeffizienten bilden den Normalenvektor ^{n⃗ =}

(

⁻¹³4

)

Wir bestimmen zu n⃗ zwei orthogonale Vektoren u⃗ und ⃗v :

3u₁−u₂+4u₃=0 ist erfüllt mit ^u3=0 und ^u2=3u₁ und

3v₁−v₂+4v₃=0 mit ^v1=0 und ^v2=4v₃ .

Für den Stützvektor p⃗ wählen wir z.B. : ^p₁⁼¹ , ^p2=3 und ^p₃⁼⁰ .

Wir erhalten damit:

E:

(

^xxx123

)

⁼

⁽

⁰¹⁴

⁾

^{+ s⋅}

⁽

¹³⁰

⁾

^{+ t⋅}

⁽

⁰⁴¹

⁾

Vorgehen: Parametergleichung

→

Koordinatengleichung

Bestimme orthogonalen Vektor zu den Richtungsvektoren mittels des Vektorprodukts und wähle geeigneten Stützvektor.

Oder Bestimmung des o.g. orthonalen Vektors mit Vektorprodukt (Kreuzprodukt).

Aufgabe: Lage / Abstand zweier Ebenen Gegeben sind die Ebenen E und F mit

E : ⃗x=

(

¹¹⁰

)

^+r⋅

(

¹⁰²

)

^+s⋅

(

⁻¹¹⁰

)

^{, F :}

(

^{x⃗ −}

⁽

⁻²²¹

⁾ )

^⋅

⁽

⁻¹²²

⁾

^{= 0}

Zeige, dass die Ebene parallel sind.

Bestimme den Abstand der Ebenen.

Lösung:

Wir zeigen die Parallelität der Ebenen, in dem wir nachweisen, dass der Normalenvektor von F zu beiden Richtungsvektoren von E orthogonal ist:

(

¹⁰2

)

^⋅

(

−1²²

)

^{=1⋅2+0⋅2+2⋅(−1)=0}

(

⁻¹¹0

)

^⋅

(

−1²²

)

^{=(−1)⋅2+1⋅2+0⋅(−1)=0}

Zur Bestimmung des Abstandes bestimmen wir zunächst eine Koordinatengleichung von F, dann daraus die Hessesche Normalform (HNF) von F und damit schließlich den Abstand eines beliebigen Punktes von E zu F.

Eine Koordinatengleichung von F erhalten wir durch "Ausmultiplizieren" der gegebenen Normalengleichung von F:

F : 2⋅x₁+2⋅x₂−x₃ = 2⋅2+1⋅2+(−2)⋅(−1) = 8 HNF von F: ^{2⋅x1+2⋅x2−x3−8}

√

^{22+12+22 =}

2⋅x₁+2⋅x₂−x₃−8

3 = 0

Als Punkt auf E wählen wir P(1 | 1| 0).

d(E ; F) = d(P ; F)= ∣2⋅1+1−2⋅0−8∣

3 = 4

3

Aufgabe: Lage / Abstand von Ebene und Geraden I

Gegeben sind die Ebene E:−2x₁+x₂−2x₃−15=0 und die Gerade g: ⃗x =

(

⁻¹⁶²²

)

^{+ t ⋅}

(

¹⁴¹

)

^.

a) Zeige, dass g zu E parallel ist.

b) Bestimme den Abstand von g zu E.

Lösung a)

n⃗ =

(

⁻²⁻²¹

)

ist ein Normelenvektor von E; er ist orthogonal zum Richtungsvektor u=⃗

(

¹⁴¹

)

^{von g,}

da n^⃗ ⋅ ⃗u = (−2) ⋅1 + 1 ⋅ 4 + (−2) ⋅1 = 0 Daher ist g parallel zu E.

Lösung b)

Da g und E parallel sind, kann man den ihren Abstand als Abstand des Stützpunktes P (2 | -16 | 2) von g zu E bestimmen. Die HNF von E lautet

E: −2x₁+x₂−2x₃+15

3 = 0 .

→

d(g;E) = d(P; E) = ∣−4−16−4+15∣

3 = ∣−9∣

3 = 3 .

Lage / Abstand von Ebene und Geraden II

Gegeben sind die Ebene E : x₁+x₂ = 4 und die Gerade ^{g : x⃗=}

(

¹³3

)

^+r⋅

(

⁻¹¹0

)

^.

a) Veranschauliche die Ebene in einem Koordinatesystem.

b) Untersuche die gegenseitige Lage von E und g.

c) Bestimme den Abstand des Ursprungs von der Ebene E.

Lösung a)

Lösung b)

(

¹¹⁰

)

ist ein Normalenvektor von E und ist orthogonal zum Richtungsvektor

(

⁻¹¹⁰

)

^.

Weil außerdem der Stützvektor

(

¹³3

)

die Ebenengleichung erfüllt, liegt die Gerade in der Ebene.

Lösung c)

Eine Hessesche Normalform (HNF) der Ebene lautet E : x₁+x₂−4

√

^{2 = 0}

Damit ergibt sich ^{d(E ; O) =} ∣−4∣

√

^{2 = 2⋅}

√

²

Aufgabe: Lage zweier Geraden zueinander

Welche Lage haben die beiden folgenden Geraden zueinander?

g₁: x⃗ =

(

¹¹¹

)

^{+ s⋅}

(

⁻³⁻¹²

)

^{g2: x⃗ =}

(

⁻¹³⁰

)

^{+ t⋅}

(

⁻¹²¹

)

Lösung:

Falls die Geraden sich schneiden, müsste gelten:

1−3s = −1+2t

↔

−3s − 2t = −2 (I)

1+2s = 3− t

↔

2s + t = 2 ^(II)

1− s = t

↔

−s − t = −1 ^(III)

Addition der Gleichungen (II) und (III) liefert s = 1 ; setzt man dies in (II) ein ergibt sich t = 0.

Damit ist die Gleichung (I) jedoch nicht erfüllt.

Die Geraden schneiden sich daher nicht.

Da die Richtungsvektoren auch nicht Vielfache voneinander sind, sind verlaufen die Geraden auch nicht parallel.

Die Geraden sind somit windschief zueinander.

Aufgabe: Bestimmung einer Ebene durch 3 Punkte

Eine Ebene sei gegeben durch die Punkte A (1 | 3 | 2), B(-2 | -2 | -1) und C (0 | 0 | 2).

Bestimme jeweils eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengleichung.

Lösungsweg

Stelle Parametergleichung mit Stützvektor ^⃗OA und Richtungsvektoren ^⃗AB und ⃗AC auf;

Leite daraus Koordinatengleichung und Normalengleichung her.

Aufgabe: Bestimmung paralleler Ebenen

Gegeben sei die Ebene ^{E : x⃗ =}

(

²¹²

)

^{+ r⋅}

(

⁰¹¹²

)

^{+ s⋅}

(

⁻¹⁰¹²

)

^.

Bestimme dazu 2 parallele Ebenen im Abstand 3.

Lösung:

Man erhöht bzw. erniedrigt die x3-Koordinate des Stützvektors um 3.

Prüfung ob 4 Punkte in einer Ebene liegen

Gegeben sind die Punkte A(2 | 4 | 1), B(0 | 2 | -1), C(4 | -2 | 1) und D(-1 | 9 |0).

Prüfe, ob die Punkte in einer Ebene liegen.

Lösung

Eine Parametergleichung der Ebene, die durch A, B und C gegeben ist lautet

⃗x=⃗OA+s⋅⃗AB+t⋅⃗AC =

(

²¹⁴

)

^+s⋅

(

⁻²⁻²⁻²

)

^+t⋅

(

⁻⁶²⁰

)

Punktprobe mit D liefert das LGS

-1 = 2 - 2s + 2t I -2s + 2t = -3 9 = 4 - 2s - 6t bzw. II -2s - 6t = 5 0 = 1 - 2s

III -2s = -1

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt ^s=1₂

und

t=−1

.

Diese Werte erfüllen auch die Gleichung I.

Alle 4 Punkte liegen somit in einer Ebene.

Aufgabe: Lage zweier Ebenen / Schnittgerade

Gegeben seine zwei Ebenen durch die Parametergleichungen

E₁: ⃗x =

(

¹³²

)

^{+ r⋅}

(

⁻²¹⁰

)

^{+ s⋅}

(

³¹⁴

)

^{und E2: x⃗ =}

(

⁻¹⁵²

)

^+u⋅

(

¹¹²

)

^{+ v⋅}

(

⁻²¹³

)

Schneiden sich die Ebenen? Wenn ja, bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden.

Lösung

Falls die Ebenen sich schneiden, muss es Werte für r, s, u und v geben, so dass gilt:

(

¹³²

)

^{+ r⋅}

(

⁻²¹⁰

)

^{+ s⋅}

(

³¹⁴

)

⁼

(

⁻¹⁵²

)

^{+ u⋅}

(

¹¹²

)

^{+ v⋅}

(

⁻²¹³

)

d.h. für die einzelnen Koordinaten 1 + r + 3 s = -1 + u - 2 v

3 - 2 r + s = 5 + u + v 2 + 4 s = 2 + 2 u + 3 v

Man erhält also ein LGS (lineares Gleichungssystem) mit 3 Zeilen und 4 Variablen und bearbeitet dieses mit dem Gauß-Verfahren:

I r + 3 s - u + 2 v = - 2

II -2 r + s - u - v = 2 | IIa = II + 2 • I III 4 s - 2 u - 3 v = 0

I r + 3 s - u + 2 v = - 2 IIa 7s -3u + 3v = -2

III 4 s - 2 u - 3 v = 0 IIIb = III • 7 - 4 • IIa

I r + 3 s - u + 2 v = - 2 IIa 7s - 3u + 3v = -2 IIIb -2u - 33v = +8 Aus IIIb erhält man u = -16,5 v - 4.

Würde man dies in IIa und I einsetzen erhielte man s und r in Abhängigkeit von v.

D.h. das LGS ist lösbar; daher schneiden sich die Ebenen (in einer Schnittgeraden).

Anmerkung: Die Umformung bzw. Lösung des LGS kann eventuell auch mit dem GTR erfolgen.

Um eine Gleichung der Schnittgeraden zu gewinnen, setzt man "u = -16,5v - 4" in die Parametergleichung für E₂ ein und erhält

(

⁻¹⁵²

)

^{+ u⋅}

(

¹¹²

)

^{+ v⋅}

(

⁻²¹³

)

⁼

(

⁻¹⁵²

)

+ (−16,5 v−4) ⋅

(

¹¹²

)

^{+ v⋅}

(

⁻²¹³

)

⁼

(

⁻¹⁵²

)

⁻

(

⁻⁴⁻⁴⁻⁸

)

^{+ v⋅}

(

^{−16,5−−16,5+−33 +213}

)

⁼

(

⁻⁵⁻⁶¹

)

^+v⋅

(

^{−18,5−15,5−30}

)

Eine Gleichung der Schnittgeraden lautet somit g : x⃗=

(

⁻⁵⁻⁶¹

)

^{+ v⋅}

(

^{−18,5−15,5−30}

)

^.

Anmerkung: Das Verfahren läßt sich analog anwenden, wenn man prüfen will, ob eine Gerade eine Ebene schneidet. Das LGS enthält dann weniger Parameter und sollte in der Regel einfacher zu lösen sein (als im obigen Beispiel).

Aufgabe: Parametergleichung Ebene → Koordinatengleichung ohne Verwendung Normalenvektor / 1. Aufgabe

Allgemeine Vorüberlegung: Es gibt 2 mögliche Fälle:

(A) Die gegebene Ebene geht nicht durch den Ursprung (0 | 0 | 0):

Dann gibt es eine Koordinatengleichung der Form a⋅x₁+b⋅x₂+c⋅x₃=1

(Die 1 auf der rechten Seite ist keine Einschränkung, denn stünde dort d≠0 , könnte man durch Division der Gleichung durch d die 1 auf der rechten Seite der Gleichung herstellen.)

(B) Die gegebene Ebene geht durch den Ursprung:

Dann gibt es eine Koordinatengleichung der Form a⋅x₁+b⋅x₂+c⋅x₃=0

Da man einer Parametergleichung in der Regel nicht direkt ansieht, ob die Ebene durch den Ursprung geht oder nicht, sollte man zunächst den Ansatz (A) machen, und falls dieser nicht zum Erfolg führt den Ansatz (B).

Gegeben sei E : ⃗x =

(

⁻¹¹²

)

^+r⋅

(

¹³²

)

^+s⋅

(

⁻²⁻³⁴

)

. Bestimme eine Koordinatenform.

Lösung

Wir machen den Ansatz a⋅x₁+b⋅x₂+c⋅x₃=1 (*).

Wir wählen 3 Punkte auf der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen, z.B. die Punkte, die man erhält, wenn man für r, s folgende Wertepaare verwendet: (0, 0), (1,0) und (0,1). Dies ergibt die Punkte

A(1 | 2 | -1), B(2 | 5 | 1), C(-1 | -1| 3).

Durch Einsetzen dieser 3 Punkte in (*) erhält man folgendes LGS:

I a + 2b - c = 1

II 2a + 5b + c = 1 | IIa = II - 2 • I III -a - b + 3c = 1 | IIIa = III + I

I a + 2b - c = 1 IIa

b + 3c = -1

IIIa b + 2c = 2 | IIIb = IIIa - IIa

I a + 2b - c = 1 IIa b + 3c = -1 IIIb - c = 3

c = -3, b = 8, a = -18 ist eine Lösung des LGS. Eine Koordinatenform von E lautet daher E : x⃗ = −18x₁+ 8x₂−3x₃ = 1

(Der Ansatz (A) hat also zum Erfolg geführt; die Aufgabe ist damit gelöst.)

Aufgabe: Parametergleichung Ebene → Koordinatengleichung ohne Verwendung Normalenvektor / 2. Aufgabe

Gegeben sei E : ⃗x =

(

¹²³

)

^+r⋅

(

²⁴⁶

)

^+s⋅

(

⁻⁴⁻⁴¹

)

. Bestimme eine Koordinatenform.

Lösung

Als Punkte der Ebene wählen wir A(1 | 2 | 3), B(3 | 6 | 9) , C (2| -2 | -1).

Wir machen zuerst den Ansatz a⋅x₁+b⋅x₂+c⋅x₃=1 und setzen A, B und C ein:

a + 2b + 3c = 1

3a + 6b + 9c = 1 2a - 2b - c = 1

Die erste und zweite Gleichung stehen im Widerspruch zu einander; wir machen daher den Ansatz a⋅x₁+b⋅x₂+c⋅x₃=0 und erhalten als LGS:

I a + 2b + 3c = 0

II 3a + 6b + 9c = 0 (I und II sind gleichwertig!) III 2a - 2b - c = 0 | IIIa = III - 2 • I

I a + 2b + 3c = 0 II 3a + 6b + 9c = 0 IIIa -6b - 7c = 0

Aus IIIa ergibt sich ^b=−7₆^c , Einsetzen in die Gleichung I liefert ^a=−2₃^c . Den Parameter c kann man frei wählen. Mit c = 6 ergibt sich a = -4 und b = -7.

Eine Koordinatengleichung von E lautet daher E : −4x₁−7x₂+6x₃ = 0

Aufgabe: Koordinatengleichung einer Ebene

→

Parametergleichung

Gegeben sei die Ebene E durch die Koordinatengleichung ^{E : 2x}1−3x₂+x₃= 6 . Bestimme eine Parametergleichung für E.

Lösungsweg

Durch "Probieren" bestimmen wir 3 Punkte, die auf E liegen:

A(3 | 0 | 0), B(0 | -2 | 0), C(0| 0 |6).

Als Stützvektor nehmen wir den Ortsvektor ^⃗OA , als Richtungsvektoren ^⃗AB und ⃗AC Dann lautet eine Parametergleichung von E:

E : x⃗=⃗OA+r⋅⃗AB+s⋅⃗AC .