Pr¨ asenz¨ ubungen zu Einf¨ uhrung in die Funktionalanalysis

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 22.04.2018 Pr¨ asenz¨ ubungsblatt 2

Pr¨ asenz¨ ubungen zu Einf¨ uhrung in die Funktionalanalysis

1. Betrachten Sie den Hilbertraum E = R

und seinen abgeschlossenen Unterraum F = {(t, t, −t)|t ∈ R }.

(a) Ist die Abbildung (x, y, z) 7→ (x, x, −x) eine Projektion?

(b) Ist die Abbildung (x, y, z) 7→ (z, z, −z) eine Projektion?

(c) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion P : E → E mit Bild P = F . (d) Bestimmen Sie die orthogonale Projektion P : E → E mit ker P = F.

2. F¨ ur n ∈ N werde mit e

der Vektor e

= (e

)

∈ c

bezeichnet, f¨ ur den

e

=

( 1, j = n, 0, sonst.

Dann ist {e

| n ∈ N } offenbar eine linear unabh¨ angige Teilmenge von c

.

(a) Zeigen Sie, dass f¨ ur f = (

)

∈ c

auch M = {e

| n ∈ N } ∪ {f} eine linear unabh¨ angige Teilmenge von c

ist.

(b) Aus dem Basiserg¨ anzungssatz der linearen Algebra folgt die Existenz einer Vek- torraumbasis B des c

mit M ⊂ B. Die lineare Abbildung T : c

→ K sei durch die folgenden Werte auf den Basisvektoren definiert

T (b) =



 

 

0, b = e

f¨ ur ein n ∈ N, 1, b = f,

0, b / ∈ M.

Ist T stetig? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort.

Die Pr¨ asenz¨ ubungen werden nicht korrigiert.

Besprechung: 24. April