Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie
(Sommer 2021)
4. ¨ Ubungsblatt (7.5.2021)
Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 14.5.2021, 10:30 per email.
Ubung 4.1.¨ Sei c die Kurve c :]0,2π[→ R2, ϕ 7→ (1−2 sinϕ) cosϕ
sinϕ
. Be- stimmen Sie die Scheitel, die Kr¨ummung an den Scheiteln und die Umlauf-
zahl. (10+10+10 Punkte)
Ubung 4.2.¨ Sei c : I → R3 eine nach Bogenl¨ange parametrisierte re- gul¨are Kurve mit ∀s ∈ I : 0 < κ(s) ≤ κ0 mit Frenet-Dreibein c0,nc, b. Die R¨ohrenfl¨ache vom Radius 0< r <1/κ0 um c ist die Fl¨ache
f :I×R → R3
(s, ϕ) 7→ c(s) +r·(nc(s) cosϕ+b(s) sinϕ).
a) Zeigen Sie, dass f|x0 f¨ur jedes x∈I×R injektiv ist.
b) Berechnen Sie die 1. Fundamentalform.
c) Finden Sie den Normalenvektor n zu f. (10+15+10 Punkte) R¨ohrenfl¨achen werden wir sp¨ater als Werkzeug verwenden, um Ergebnisse
¨uber Fl¨achen auf Kurven zu ¨ubertragen.
Ubung 4.3.¨ Sei c :I → R2, t 7→ (g(t), h(t)) eine regul¨are ebene Kurve mit g(t)>0f¨ur alle t. Die Rotationsfl¨ache (oder Drehfl¨ache) zuc ist die Fl¨ache, die man durch Drehung von c um die y-Achse erh¨alt, also
f :I×R→R3, (t, ϕ)7→(g(t) cosϕ, g(t) sinϕ, h(t)).
Zeigen Sie, dass dies eine regul¨are Fl¨ache definiert, und berechnen Sie den Normalenvektor n und die 1. Fundamentalform. (10+10+15 Punkte)
