Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie

Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie

(Sommer 2021)

2. ¨ Ubungsblatt (23.4.2021)

Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 30.4.2021, 10:30 per email.

Ubung 2.1.¨ Vermeiden Sie bei den folgenden Beweisen Indizes und Kom- ponenten von Vektoren. Seien so(3) = {A ∈ R^3×3|A^t = −A} die schiefen 3×3-Matrizen und SO(3) ={A∈R^3×3|A^tA= id,detA= 1} die speziellen orthogonalen Matrizen.

a) Zeigen Sie f¨ur alle A∈SO(3), dass (Au)×(Av) =A(u×v).

b) Zeigen Sie, dass es einen Vektorraumisomorphismus ρ : R³ → so(3) mit u×v =ρ(u)v gibt.

c) Folgern Sie aus (a), dass ρ(Av) =Aρ(v)A⁻¹.

d) Sei X ∈so(3). Dann ist e^tX ∈SO(3) ∀t∈R. Wenden Sie (c) auf e^tX an, um

ρ(Xv) = Xρ(v)−ρ(v)X und damit

ρ(u×v) =ρ(u)ρ(v)−ρ(v)ρ(u) (=: [ρ(u), ρ(v)])

zu folgern. (15+15+15+15 Punkte)

(Dies identifiziert (R³,×) mit(so(3),[·,·])als eine sogenannte Lie-Algebra).

Ubung 2.2.¨ Sei c : I → R³ eine nicht notwendigerweise nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve mit ∀t : c⁰(t), c⁰⁰(t) sind linear unabh¨angig. Beweisen Sie f¨ur die Torsion von c

τ(t) =−det(c⁰(t), c⁰⁰(t), c⁰⁰⁰(t)) kc⁰(t)×c⁰⁰(t)k² .

(20 Punkte) Ubung 2.3.¨ Berechnen Sie die Torsion der Kurven aus ¨Ubung 1.1 und

Ubung 1.3.¨ (20 Punkte)