Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie
(Sommer 2021)
8. ¨ Ubungsblatt (4.6.2021)
Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 11.6.2021, 10:30 per email.
Ubung 8.1.¨ Zeigen Sie, dass die Wendelfl¨ache (i.e. das Helikoid) eine Re- gelfl¨ache ist, und berechnen Sie Striktionslinie und Verteilungsparameter. Be- stimmen Sie die Kr¨ummungslinien. (5+10+15 Punkte) Ubung 8.2.¨ Sei l die z-Achse und sei f eine Regelfl¨ache, deren Leitkurve
α=
αx αy αz
:I →R3
die Gerade l nicht schneidet und deren Regelgeraden l senkrecht schneiden (f heißt rechtwinkliges Konoid). Parametrisieren Sie f und bestimmen Sie, wann f nichtzylindrisch ist. Berechnen Sie im nichtzylindrischen Fall Strik- tionslinie und Verteilungsparameter. (10+5+15 Punkte) (Konoide werden in der Konstruktion von D¨achern verwendet).
Ubung 8.3.¨ Zeigen Sie, dass eine Tangentenfl¨ache f abwickelbar ist:
a) Sei f Tangentenfl¨ache zu einer regul¨aren Kurveα mit∀t:κ(t)6= 0. Œ sei α nach Bogenl¨ange parametrisiert. Berechnen Sie an den regul¨aren Stellen die erste Fundamentalform und stellen Sie sie mit f¨ur Raum- kurven ¨ublichen Objekten dar.
b) Beweisen Sie die Existenz einer ebenen Kurve γ, so dass f˜=γ+s·γ0 an jeder Stelle (t, s) mit s 6= 0 dieselbe erste Fundamentalform wie f
hat. (15+25 Punkte)
(Bem.: Die Abbildungen (t, s) 7→ f(t, s),(t, s) 7→ f˜(t, s) sind f¨ur s 6= 0 lo- kal bijektiv und f¨ur ein lokales Inverses f−1 bildet die Komposition f˜◦f−1 Regelgeraden auf Geraden ab.)
