Ubungsaufgaben Axiomatische Geometrie¨ SS 2009 - 8. Serie
8.1 Das Volumen eines Tetraeders 4 mit der Grundfl¨ache F und der H¨ohe h wird im euklidischen Raum mitν(4) = 13·α(F)·hdefiniert. Zeigen Sie, dass diese Definition von der Auswahl der Grundfl¨ache unabh¨angig ist.
8.2 Eine gerade quadratische Pyramide, deren Grundquadrat die Seitenl¨angeahat und deren H¨ohe h betr¨agt, soll durch eine zur Grundfl¨ache parallele Ebene so in einen Pyramidenstumpf und eine Pyramide zerlegt werden, dass diese beiden Teilk¨orper
a) das gleiche Volumen
b) den gleichen Mantelfl¨acheninhalt c) den gleichen Oberfl¨acheninhalt besitzen.
Welchen Abstand muss die Schnittebene jeweils von der Grundebene haben?
8.3 In der euklidischen Ebene sei(ABCD) ein Quadrat.
Durch C legen wir eine beliebige Gerade g, die den Strahl
−→
AB in E und
−→
AD in F schneidet. F¨ur welche Gerade hat das Dreieck 4(AEF) minimalen Inhalt?
Beweisen Sie das Ergebnis geometrisch.
8.4 Beweisen Sie, dass f¨ur je 4 komplanare Punkte A, B, C, D die Mittelpunkte der Strecken AB, BC, CD, DA entweder stets die Eckpunkte eines Parallelogramms sind oder die Punkte A, B, C, D sind kollinear.
Gilt die Aussage auch f¨ur den Fall, dassA, B, C, D nicht komplanar sind?
8.5 Im Entwurf f¨ur ein Logo der Vereinigung
”Innovative Mathe- matik“ bilden die get¨onten Fl¨achen die Buchstaben I und M. Das Dreieck4(ABC) ist gleichseitig mit der L¨angea,AC wird vonRhalbiert undBC vonSundT in drei kongruente Teile geteilt.
Welchen Anteil der Dreiecksfl¨ache ¨uberdecken die stilisierten Buchstaben zusammen?
Beweisen Sie Ihre Aussage!
(Abgabe am 11.6.2009)
