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Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie

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Academic year: 2022

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Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie

(Sommer 2021)

1. ¨ Ubungsblatt (16.4.2021)

Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 23.4.2021, 10:30 per email.

Ubung 1.1.¨ Parametrisieren Sie folgende Spiralkurve nach Bogenl¨ange und bestimmen Sie die Kr¨ummung , mit a, b∈R+:

c(t) := (acost, asint, bt) .

(20 Punkte) Ubung 1.2.¨ Sei c : I → R3 eine nicht notwendigerweise nach Bogenl¨ange parametrisierte regul¨are Kurve. Beweisen Sie f¨ur die Kr¨ummung von c

κ(t) = kc0(t)×c00(t)k kc0(t)k3 .

(Tipp: Vermeiden Sie das Rechnen mit Komponenten!). (35 Punkte)

Ubung 1.3.¨ Berechnen Sie Kr¨ummung folgender Raumkurve mit der Formel aus ¨Ubung 1.2:

c(t) := (cost, t2,sint) .

(25 Punkte) Ubung 1.4.¨ Seic:I →Reine regul¨are Kurve. SeiA∈SO(3) undc0 ∈R3. Zeigen Sie, dass die Kurven cund Ac+c0 dieselben Kr¨ummungen haben.

(20 Punkte)

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