Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie
(Sommer 2021)
1. ¨ Ubungsblatt (16.4.2021)
Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 23.4.2021, 10:30 per email.
Ubung 1.1.¨ Parametrisieren Sie folgende Spiralkurve nach Bogenl¨ange und bestimmen Sie die Kr¨ummung , mit a, b∈R+:
c(t) := (acost, asint, bt) .
(20 Punkte) Ubung 1.2.¨ Sei c : I → R3 eine nicht notwendigerweise nach Bogenl¨ange parametrisierte regul¨are Kurve. Beweisen Sie f¨ur die Kr¨ummung von c
κ(t) = kc0(t)×c00(t)k kc0(t)k3 .
(Tipp: Vermeiden Sie das Rechnen mit Komponenten!). (35 Punkte)
Ubung 1.3.¨ Berechnen Sie Kr¨ummung folgender Raumkurve mit der Formel aus ¨Ubung 1.2:
c(t) := (cost, t2,sint) .
(25 Punkte) Ubung 1.4.¨ Seic:I →Reine regul¨are Kurve. SeiA∈SO(3) undc0 ∈R3. Zeigen Sie, dass die Kurven cund Ac+c0 dieselben Kr¨ummungen haben.
(20 Punkte)
