Mathematik II f¨ur Studenten des Bauingenieurwesens
Kr¨ummung einer Kurve
Definition der Kr¨ummung
Kr¨ ummung einer Kurve
Parameterdarstellung der Kurve:
x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b .
Seien x(t), y(t) zweimal differenzierbar und ( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2 6= 0 f¨ur alle t.
Bezeichnen mit ϕ(t) den positiv gemesse- nen Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Richtung des Tangentenvektors sowie mit s(t) =
Z t
a
q
( ˙x(τ))2 + ( ˙y(τ))2dτ die L¨ange des Kurvenbogens ¨uber dem Parameterintervall [a, t].
Geeignetes Maß f¨ur die durchschnittliche Kr¨um- mung der Kurve ¨uber dem Intervall [t, t + ∆t]:
∆ϕ
∆s
Kr¨ummung der Kurve im Punkt P(x(t), y(t)):
κ = lim
∆t→0
∆ϕ(t)
∆s(t) = ϕ(t)˙ s(t)˙
- 6
ϕ
ϕ + ∆ϕ
∆ϕ
u
P(t)
uP(t + ∆t)
∆s
x y
Mathematik II f¨ur Studenten des Bauingenieurwesens
Kr¨ummung einer Kurve
Kr¨ummungskreis
Kr¨ ummungskreis
Der zum Punkt P(t) = P(x(t), y(t)) geh¨orige Kr¨ummungskreis der Kurve ist ein Kreis durch den Kurvenpunkt P mit folgenden Eigenschaf- ten:
• Kr¨ummung ist gleich der Kr¨ummung κ der Kurve Γ im Punkt P
⇒ Kr¨ummungsradius r = 1
|κ|
• Tangentenrichtung im Punkt P ist gleich der Richtung der Tangente an die Kurve Γ im Punkt P.
⇒ Mittelpunkt (xM, yM) des Kr¨ummungs- kreises liegt auf der Normalen im Ab- stand r von P. Es gilt:
xM = x(t) − 1 κ
y(t)˙
p( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2
yM = y(t) + 1 κ
x(t)˙
p( ˙x(t))2 + ( ˙y(t))2
Γ
- 6
ru
(xM, yM)
×
r
P = (x(t), y(t))
x y
