Analysis-Aufgaben: Kurven & Fl¨achen im Raum 5
1. Wir betrachten die folgende Kurve im Raum:
~ r(t) =
2·cos(5t) 2·sin(5t)
10t
(a) Bestimme den Tangenten- und (Haupt-)Normaleneinheitsvekor und dessen L¨angen.
(b) Bestimme die Kr¨ummung der Kurve zur Zeitt=π4.
2. Zeige, dass f¨ur die Kr¨ummung einerebenenKurve folgendes gilt:
κ= x¨˙y−¨xy˙ ( ˙x2+ ˙y2)32
(Hinweis:Verwende, dass f¨ur eine ebene Kurve~r(t) gilt: ~r(t) = 0
@ x(t) y(t) 0
1 A)
3. EineMittelpunktsellipse mit den Halbachsenaundb l¨asst sich durch fol- gende Funktionsgleichung darstellen:
~r(t) =
a·cost b·sint
0≤t≤2π , a, b >0
(a) Berechne die Kr¨ummung.
(b) Was f¨ur eine geometrische Figur entsteht mita=b=r=const.? (c) Zeige, dass im Falle (b) die Kr¨ummung konstant ist und berechne
den Kr¨ummungsradius.
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