Beweisen Sie, dass η

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

DAVIDKERKMANN

30. NOVEMBER2017

20 21 22 23 Σ

NAME: MAT-NR.:

NAME: MAT-NR.:

Numerische Verfahren f¨ur hyperbolische Erhaltungsgleichungen – 7. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 20: Zeigen Sie, dass die numerische Flussfunktion des Godunov Verfahrens, angewandt auf die Burgersgleichung, die Form

Fⁿ⁺

1 2

i−¹

2

=

( minQⁿ_i−1≤q≤Qⁿ_i f(q) : Qⁿ_i−1 ≤Qⁿ_i maxQⁿ_i≤q≤Qⁿ_i−1f(q) : Qⁿ_i ≤Qⁿ_i−1

hat.

Aufgabe 21: Seiη eine Funktion, die auf{q(x) | xi−1/2 ≤x≤x_i+1/2} konvex ist. Beweisen Sie, dass

η



 1

∆x Z x

i+ 12

x_i−1 2

q(x)dx



≤ 1

∆x Z x

i+ 12

x_i−1 2

η(q(x))dx

gilt.

Aufgabe 22: Sei x_j :=j∆x, supp(q₀) = [−M, M] und

Q⁰_j := 1

∆x Z x_{j+ 1}

2

x_j−1 2

q₀(x)dx.

Weiterhin sei F ∈C^0,1(R²) ein numerischer Fluss und Qⁿ_j,n≥1 durch das Verfahren

Qⁿ⁺¹_j =Qⁿ_j − ∆t

∆x F(Qⁿ_j, Qⁿ_j+1)− F(Qⁿ_j−1, Qⁿ_j) gegeben.

Zeigen Sie, dass f¨ur alle n∈Ndie Erhaltungseigenschaft

X

j∈Z

Qⁿ⁺¹_j =X

j∈Z

Qⁿ_j

gilt.

Aufgabe 23: In der Voraussetzung des Satzes von Lax-Wendroff wurde in der Vorlesung die Kon- vergenz in der 1-Norm sowie die Beschr¨ankung der Totalvariation angegeben. In dem Originalartikel Systems of Conservation Laws wird eine andere Voraussetzung angegeben. Lesen Sie den entspre- chenden Teil des Artikels und geben Sie die dort angegebenen Voraussetzungen an. Sie k¨onnen den Artikel unter http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160130205/pdf aus dem Universit¨ats- netz einsehen. Bestimmen Sie eine Beziehung zwischen den beiden Voraussetzungen, d.h. untersuchen Sie die zwei Aussagen auf Implikationen und ¨Aquivalenz. Beschr¨anken Sie sich auf den Fall skalarer Erhaltungsgleichungen.

Abgabe am 7. Dezember 2017 am Beginn der Vorlesung.

Besprechung in der ¨Ubung am 15. Dezember 2017.