Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke
Dipl.-Math. Olaf Weinmann
28. Mai 2007 ¢¢AA¢¢AA ¢¢AA
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Analysis II 7. Übungsblatt
Aufgabe 7.1 Untersuchen Sie, ob die Folge(γk)k∈Nvon Wegen, die durch γk(t) :=
µ cos(t) +1kcos(kt) sin(t) +1ksin(kt)
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(0≤t≤2π)
deniert ist, im C0-Sinne konvergiert und ob sie im C1-Sinne konvergiert. Welcher Weg kommt jeweils als Grenzwertγ in Frage? Berechnen Sie schlieÿlichL(γk) undL(γ).
Aufgabe 7.2 Es seiγ:I −→R2 eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Der Krüm- mungskreis von γ im Punkt s0 ist der Kreis mit Radius κ(s10), der im Punktγ(s0) den gleichen Tangentenvektor wieγ selbst hat, wobei der Kreis und die Kurveγ auf derselben Seite des Tan- gentenvektors liegen (κ(s0) ist die Krümmung von γ in s0). Bestimmen Sie die Kreisgleichung des (auf Bogenlänge bezogenen) Krümmungskreises, d.h. die Gröÿenm, a, bundrder Gleichung
k(s) =m+rcos
µs−s0 r
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·a+rsin
µs−s0 r
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·b.
Zeigen Sie, dass die Vektorenaundborthonormiert sind. Zeigen Sie dann, dass der Krümmungs- kreis die Kurve γ an der Stelles0 von zweiter Ordnung berührt.
Aufgabe 7.3 Die logarithmische Spirale kann als Bild der Kurveγ: [0,∞)−→R2, γ(t) :=
µ aebtcos(t) aebtsin(t)
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beschrieben werden, wobeib <0< akonstant sind. Bestimmen Sie Bogenlänge, Krümmung und Krümmungskreis für γ(t). Hat die Kurve γ endliche Länge auf [t0,∞) für t0 ≥ 0? Zeigen Sie, dassγ(t)fürt→ ∞gegen0konvergiert, wobei sich die Kurve um den Ursprung herumwindet.
Abgabetermin: Montag 04. Juni 2007, vor der Vorlesung in die Briefkästen bei F411.
