Aufgabe 11: Beweisen Sie, dass die Tschebyscheff-Polynome T0

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 07.11.2016 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

3. ¨Ubungsblatt zur Numerik

Aufgabe 9: Bestimmen Sie das Interpolationspolynom p(x) zweiten Grades einer Funktion f zu den Daten

xj t t+h/2 t+h

yj f(t) f(t+h/2) f(t+h) t∈R, h >0.

Zeigen Sie weiter: Integriert man dieses Polynom vontbis t+h, so erh¨alt man die Simpsonregel.

Aufgabe 10: Gegeben seien die St¨utzpunkte

f_i 7 1 −1 7

x_i −1 0 1 2

f¨uri= 0,1,2,3.

Bestimmen Sie die Newton-Darstellung des Interpolationsploynoms, indem Sie die dividierten Dif- ferenzen berechnen.

Aufgabe 11: Beweisen Sie, dass die Tschebyscheff-Polynome T₀,..., T_n orthogonal sind bez¨uglich hp, qi=R1

−1p(x)q(x)^√dx

1−x², d.h. hT_m, T_ni= 0 f¨urm6=n.

Aufgabe 12: Das Polynomp sei gegeben in seiner Entwicklung nach Tschebyscheff-Polynomen, p(x) =1

2c₀+c₁T₁(x) +. . .+c_nT_n(x).

Falls

d_k=c_k+ 2x d_k+1−d_k+2 (k=n, n−1, . . . ,0), d_n+1=d_n+2= 0, ek=dk+ 2x ek+1−ek+2 (k=n, n−1, . . . ,1), en+1=en+2 = 0, dann ist bekanntlichp(x) = ¹₂(d₀−d₂) (Clenshaw). Zeigen Sie, dass außerdem gilt:

p⁰(x) =e1−e3.

Besprechung in den ¨Ubungen am 14.11.2016 Ansprechpartnerin: Sarah Eberle,

eberle@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde: Donnerstag 9-10 Uhr

Programmieraufgabe 3: (Clenshaw-Algorithmus) Seif: [−1,1]→R ^undn≥0. Schreiben Sie eine Funktion

clenshaw coeff(f,n),

welche die (c_k) des Clenshaw-Algorithmus ausrechnet. Seic∈R^{n+1 und x∈}R. Schreiben Sie clenshaw eval(c,x),

welche den Auswertungsalgorithmus von Clenshaw implementiert. Schreiben Sie dann ein Funktion clenshaw bsp(),

welche die Koeffizienten (c_k)_k=0,...,10 von f(x) = arctan(x) berechnet und dann p(x) f¨ur x = ¹₂ auswertet.

Abgabe bis 28.11.2016

Ansprechpartner Programmieraufgaben: progtutor@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde: Mittwoch, 14-15 Uhr