Ubungen zur Differentialgeometrie ¨

Ubungen zur Differentialgeometrie ¨

Universit¨at Regensburg, Wintersemester 2015/16 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dipl.-Math. Manuel Streil

Ubungsblatt 12¨

1. Aufgabe(4 Punkte)

Eine Lie-Gruppe G ist eine glatte Mannigfaltigkeit, die zugleich eine Gruppe (G,·, e) mit neutralem Element e ist, wobei G×G → G, (g, h) 7→ g ·h⁻¹ glatt ist.

Es bezeichneL_g :G→G, h7→g·hdie Linksmultiplikation mitg.Ein Vektorfeld X ∈X(G) heißt linksinvariant, falls (dhLg)X_h =X_g·h.

a) Zeigen Sie, dass die Menge galler linksinvarianten Vektorfelder einen Vek- torraum bildet, der zu T_eG isomorph ist.

b) Beweisen Sie, dass die Integralkurven eines linksinvarianten VektorfeldesX auf ganz R definiert sind.

Hinweis: Betrachten Sie zun¨achst Integralkurven αX : (−ε, ε) → G mit α_X(0) =e und zeigen Sie, dass

α_X(s+t) = α_X(s)·α_X(t) f¨ur alle s, t, s+t∈(−ε, ε).

2. Aufgabe(4 Punkte)

Es sei M eine glatte Mannigfaltigkeit. Die Gruppe Γ versehen wir mit der dis- kreten Topologie und wir betrachten sie als 0-dimensionale Mannigfaltigkeit. Ge- geben sei eine Gruppen-Operation A von Γ auf M, d.h. eine stetige Abbildung A : M ×Γ → M mit A(p, e) = p und A(p, γτ) = A(A(p, γ), τ) f¨ur alle p ∈ M, γ, τ ∈Γ. Seip·Γ := {A(p, γ)|γ ∈Γ}der Orbit vonp, seiM/Γ := {p·Γ|p∈M} der Quotientenraum und sei π :M →M/Γ, π(p) =p·Γ diekanonische Projek- tion. DerQuotientenraum M/Γ wird mit der Quotiententopologie versehen, d.h.

U ⊂M/Γ ist genau dann offen, wenn π⁻¹(U) offen ist.

a) Zeigen Sie :F¨ur jedes γ ∈Γ ist Rγ :M → M, p 7→A(p, γ) ein Hom¨oomor- phismus.

Wir nehmen nun zus¨atzlich an, dass Γfrei undeigentlich diskontinuierlich aufM operiert.

”Frei“ bedeutet, dass die Abbildung R_γ : M → M nur f¨ur γ = e Fix- punkte hat. Eigentlich diskontinuierlich bedeutet, dass zu allen p, q ∈ M Umge- bungenU vonpund V von q existieren, sodassR_γ(U)∩V =∅f¨ur alle γ ∈Γ mit A(p, γ)6=q.

Zeigen Sie nun:

b) M/Γ ist ein Hausdorffraum

c) Die kanonische Projektion π :M →M/Γ ist eine ¨Uberlagerung.

d) (Bonus-Aufgabe, 2 Punkte) Ist Aeine glatte Abbildung, so sind die Abbil- dungen R_γ Diffeomorphismen und M/Γ tr¨agt genau eine differenzierbare Struktur, so dass π ein lokaler Diffeomorphismus ist.

3. Aufgabe(6 Punkte)

Es sei Mⁿ eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem Atlas {(U_α, x_α)}_α∈A. F¨ur ein p∈M seien je zwei Basen (a₁, . . . , a_n) und (b₁, . . . , b_n) vonT_pM ¨aquivalent, falls der Basiswechsel C = (c_i,j) mit b_i = Pn

j=1c_j,ia_j positive Determinante hat. Es bezeichneOp die Menge aller ¨Aquivalenzklassen von Basen vonTpM.Wir nennen ein O_p ∈ O_p eine Orientierung von T_pM und definieren

M˜ ={(p, O_p)|p∈M, O_p ∈ O_p}.

a) Es sei (U_α, x_α) eine Karte von M.Wir setzen dann U˜α =

(

(p, Op)

p∈U, Op ∈

"

∂

∂x¹ p

, . . . , ∂

∂xⁿ p

!#)

und

˜

xα : ˜Uα →xα(Uα), (p, Op)7→xα(p).

Zeigen Sie, dass {( ˜U_α,x˜_α)}α∈A eine glatte Struktur auf ˜M definiert, die ˜M zu einer glatten Mannigfaltigkeit macht.

b) Zeigen Sie, dass ˜M orientierbar ist.

c) Beweisen Sie, dass die Projektion π : ˜M → M, (p, O_p) 7→ p eine glatte, zweibl¨attrige ¨Uberlagerung ist.

Abgabe in der Vorlesung am 21.1.2016