J. Wengenroth SS 2009
D. Sieg 29.04.2009
Grundlagen der Funktionentheorie Ubungsblatt 2¨
U 6¨
F¨ur eine ssd Kurve γ: [a, b]→Cheißt L(γ) =
b
Z
a
|γ0(t)|dt L¨ange vonγ. (a) Berechnen Sie f¨urζ, z ∈Cdie L¨ange des Segments
γ : [0,1]→C, t7→ζ+t(z−ζ).
(b) Erkl¨aren Sie, warum die Definition sinnvoll ist (indem Sie die Kurve durch einen
”Polygonzug“ approximieren).
(c) Ist ϕ: [α, β]→[a, b] stetig differenzierbar und bijektiv, so gilt L(γ◦ϕ) =L(γ).
U 7¨
Seienγ : [a, b]→Ceine ssd Kurve, Γ =γ([a, b]) undf : Γ→C stetig. Zeigen Sie
Z
γ
f(ζ)dζ ≤
Z
γ
|f(ζ)| |dζ| ≤L(γ) sup{|f(ζ)|:ζ ∈Γ}
wobei Z
γ
g(ζ)|dζ|= Zb
a
g(γ(t))|γ0(t)|dt.
U 8¨
Seien Ω⊆Coffen und f : Ω→Cbesitze eine StammfunktionF ∈H(Ω), das heißt f =F0. Zeigen Sie
Z
γ
f(ζ)dζ= 0 f¨ur jede ssd Kurve γ : [a, b]→Ω mitγ(a) =γ(b).
U 9¨
Zeigen Sie in der Situation von Theorem 3.5 die Cauchy’sche Integralformel f¨ur die Ablei- tungen
f(n)(z) = n!
2πi
Z
γ
f(ζ) (ζ−z)n+1dζ (Hinweis: Induktion und Satz 2.8 sowiean+1−bn+1 = (a−b)
n
P
k=0
akbn−k) U 10¨
Seif ∈H(C), so dass esA, B≥0 undn∈Ngibt mit |f(z)| ≤A+B|z|nf¨ur alle z∈C.
Zeigen Sie (mit Hilfe der vorherigen Aufgabe), dassf ein Polynom ist.
