Ubungen zur Differentialgeometrie ¨
Universit¨at Regensburg, Wintersemester 2015/16 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dipl.-Math. Manuel Streil
Ubungsblatt 13¨ 1. Aufgabe(4 Punkte)
Es sei (M, g) eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit K ≤ 0. Zeigen Sie, dass aufM keine Riemannsche Metrikh existiert f¨ur die ric(v, v)>0 f¨ur alle v ∈T M, v 6= 0.
2. Aufgabe(4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass die Antipodenabbildung A : Sn → Sn mit x 7→ −x die Orientierung erh¨alt, falls n ungerade ist, und die Orientierung umkehrt, falls n gerade ist. Folgern Sie, dass RP2n nicht orientierbar und RP2n−1 orientierbar ist.
b) Beweisen Sie, dass jede Lie-Gruppe (G,·, e) orientierbar ist.
Hinweis: W¨ahlen Sie dazu eine Karte (U, x) mit e ∈ U, wobei U zusam- menh¨angend ist, und setzen Sie diese durch Linkstranslation zu einem Atlas vonGfort. Zeigen Sie, dass die Kartenwechsel positive Jacobi-Determinante haben.
3. Aufgabe(4 Punkte)
Es seien (M, g) und ( ˜M ,g) zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Dimension˜ n mit konstanter Schnittkr¨ummung K und ˜K, K = ˜K. F¨ur Punkte p ∈ M und
˜
p ∈ M˜ w¨ahlen wir eine lineare Isometrie i : TpM → Tp˜M .˜ F¨ur ein geeignetes ε >0 ist dann
f :Bε(p) → Bε(˜p)
q 7→ expp˜◦i◦exp−1p (q) ein Diffeomorphismus.
a) Es sei v ∈ Bε(0) und q = expp(v). Wir bezeichnen den Paralleltransport entlang den Geod¨atischen γ(t) = expp(tv) und ˜γ(t) = f◦γ mit
Pt:Tγ(0)M →Tγ(t)M und P˜t:Tγ(0)˜ M˜ →T˜γ(t)M˜ und definieren
Φt :Tγ(0)M → Tγ(t)˜ M˜
w 7→ P˜t◦ i◦ Pt−1(w).
Zeigen Sie: Ist t 7→J(t) ein Jacobi-Feld l¨angs γ, so ist t7→J˜(t) = Φt(J(t)) ein Jacobi-Feld l¨angs ˜γ.
b) Folgern Sie, dass f :Bε(p)→Bε(˜p) eine Isometrie ist.
4. Aufgabe(4 Punkte)
Es sei (Mn, g),n ≥2, eine (zusammenh¨angende) vollst¨andige Riemannsche Man- nigfaltigkeit mit konstanter Schnittkr¨ummungK. Wir betrachten die universelle Uberlagerung¨ π: ˜M →M.
Zeigen Sie:
( ˜M , π∗g) ist isometrisch zu
Hn falls K =−1 Rn falls K = 0 Sn falls K = 1
.
Abgabe in der Vorlesung am 28.1.2016
