Zeigen Sie: (a) IstZ ⊆X offen, so istτZ ={U ∈τX :U ⊆Z}

PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de

Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 2¨

Abgabe bis Fr, 22.04., 12 Uhr

Aufgabe 1. Sei (X, τX) ein topologischer Raum, Z ⊆X und τZ ={Z∩U :U ∈τX} die Teilraumtopologie. Zeigen Sie:

(a) IstZ ⊆X offen, so istτZ ={U ∈τX :U ⊆Z}.

(b) Ist Z ⊆X abgeschlossen, so ist A⊆Z abgeschlossen bzgl.τ_Z genau dann, wenn A als Teilmenge vonX abgeschlossen ist bzgl. τ_X.

(c) Ist (Y, τY) ein topologischer Raum und f:X → Y stetig (bez¨uglich τX und τY), so ist auch die Einschr¨ankungf|_Z:Z →Y stetig (bez¨uglich τ_Z undτ_Y).

Aufgabe 2. Seif:X→Y eine Abbildung topologischer R¨aume. Zeigen Sie:

(a) IstU eineoffene ¨UberdeckungvonX(d.h. die Elemente vonU sind offene Teilmen- gen vonX, deren Vereinigung ganzX ergibt) und istf|_U stetig f¨ur jedesU ∈ U, so ist auch f stetig.

(b) Sind A₁, . . . , A_n ⊆ X abgeschlossene Teilmengen mit Sn

i=1A_i = X und ist f|_Ai stetig f¨uri= 1, . . . , n, so ist auchf stetig.

(c) Die Implikation in (c) gilt nicht, wenn man endlich viele durch unendlich viele abgeschlossene Teilmengen ersetzt. (Betrachten Sie z.B. die ko-endliche Topologie auf Nund An={n}.)

Aufgabe 3. Sei N versehen mit der ko-endlichen Topologie und R versehen mit der Standard-Topologie (die von der euklidischen Metrik erzeugt wird). Ferner sei f:N→ Rstetig bez¨uglich dieser Topologien. Zeigen Sie, dass dann f konstant ist.

Aufgabe 4. (a) Sei Λ eine gerichtete Menge und Λ⁺ := Λ∪ {∞}. Zeigen Sie, dass dann

τ :={U ⊆Λ⁺| ∞ 6∈U oder ∃λ₀∈Λ∀λ≥λ₀ :λ∈U} eine Topologie auf Λ⁺ ist.

(b) Pr¨ufen Sie, welche Netze in Λ⁺ konvergieren.

(c) Sei nun X ein topologischer Raum. Zeigen Sie: Eine Abbildung f: Λ⁺ → X ist stetig genau dann, wenn das Netz (f(λ))λ∈Λ gegen f(∞) konvergiert.

Zusatzaufgabe 5. SeiXeine unendliche Menge, versehen mit der ko-endlichen Topolo- gie

τcof in ={F^c:F ⊆X endlich} ∪ {∅}.

Zeigen Sie: Eine Folge (x_n)_n inX konvergiert bez¨uglich τ_{cof in} genau dann

(a) gegen jedes x ∈ X, wenn sie jede endliche Teilmenge von X schließlich verl¨asst, also f¨ur jedes endliche F ⊆X einn_F existiert mit{x_n:n≥n_F} ∩F =∅;

(b) gegen genau einx∈X, wenn xn=x f¨ur alle bis auf endlich viele n∈N.

(Hinweis: Verwenden Sie f¨ur die Implikation “⇒” (a) und das Schubfachprinzip.)

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