PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 4¨
Musterl¨osung zur Zusatzaufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. (Stone- ˇCech-Kompaktifizierung) Sei (X, τ) ein topologischer Raum und βX die Menge aller Ultrafilter auf X. Zeigen Sie:
(a) Alle Mengen der Form
βU :={F ∈βX :U ∈ F } (U ∈τ) bilden eine Basis f¨ur eine Topologie aufβX.
(b) Die Abbildung
ιX:X →βX, x7→ Px={A⊆X:x∈A}, ist stetig undιX(X) =βX.
(c) Sei U ⊆ τ eine ¨Uberdeckung von X. Falls U keine endliche Teil¨uberdeckung besitzt, existiert ein UltrafilterF ∈βX mitU1c∩ · · · ∩Unc∈ F f¨ur alleU1, . . . , Un∈ U.
(d) βX ist quasi-kompakt. (Hinweis: Es gen¨ugt, ¨Uberdeckungen der Form {βU :U ∈ U } von βX f¨ur ¨UberdeckungenU ⊆τ vonX zu betrachten).
L¨osung: (a) Klar: β∅ = ∅, βX =βX. Seien U, V ∈ τ. Dann gilt βU ∩βV = βU∩V, denn f¨ur jeden UltrafilterF gilt: F ∈βU∩βV ⇔U, V ∈ F ⇔U∩V ∈ F ⇔ F ∈βU∩V. (b) Sei U ∈τ. Dann istι−1X (βU) =U, denn f¨ur jedesx∈X gilt:
x∈ι−1X (βU)⇔ Px ∈βU ⇔U ∈ Px⇔x∈U.
Somit istιX stetig. Daι−1X (βU)6=∅f¨urU 6=∅, enth¨alt jede offene Menge vonβX einen Punkt aus ιX(X).
(c) Das System A := {U1c∩ · · · ∩Unc :U1, . . . , Un ∈ U } hat dann die endliche Durch- schnittseigenschaft undF0 :={B⊆X|A⊆B f¨ur einA∈ A}ist dann ein Filter, also enthalten in einem Ultrafilter F.
(d) Sei V eine offene ¨Uberdeckung von βX. Wir setzen U = {U ∈ τ : βU ∈ V f¨ur ein V ∈ V} und k¨onnen dann annehmen, dass V = {βU : U ∈ U }. Angenommen, U enth¨alt keine endliche Teil¨uberdeckung von X. W¨ahle F ∈βX wie in (c). Dann folgt U 6∈ F, also F 6∈βU f¨ur jedes U ∈ U und F 6∈S
V, ein Widerspruch. Also existieren U1, . . . , Un∈ UmitU1∪· · ·∪Un=X. Dann folgt aberβU1∪· · ·∪βUn =βX: Andernfalls gibt es F mit U1, . . . , Un 6∈ F, also U1c, . . . , Unc ∈ F, also ∅ =U1c∩ · · · ∩Unc ∈ F, ein Widerspruch.
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