Ubungen zur Differentialgeometrie ¨
Universit¨at Regensburg, Wintersemester 2015/16 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dipl.-Math. Manuel Streil
Ubungsblatt 8¨
1. Aufgabe(4 Punkte)
Es sei (M, g) eine zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit. F¨ur einp∈M w¨ahlen wir ε >0, sodass expp : Bε(0) →expp(Bε(0)) ein Diffeomorphismus ist.
Es sei (e1, e2) eine Orthonormalbasis von TpM. F¨urr ∈ (0, ε) definieren wir den Kreis um pmit Radius r als
γr : [0,2π] → M
t 7→ expp((rcost)e1+ (rsint)e2).
Zeigen Sie f¨ur die Schnittkr¨ummungKp in p,dass Kp = 3
π lim
r→0
2πr− L[γr] r3 .
Hinweis: W¨ahlen Sie Polarkoordinaten (r, ϕ) in (TpM, gp), wobei (TpM, gp) ¨uber die Basis (e1, e2) mit (R2, geukl) identifiziert sei, und zeigen Sie
g ∂
∂ϕ, ∂
∂ϕ
=r2− K
3 r4+O(r5).
2. Aufgabe(4 Punkte)
Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist ein lokal symmetrischer Raum, falls
∇R= 0 auf M.
a) Zeigen Sie, dass Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter Kr¨ummung lokal symmetrisch sind.
Es sei c: (−ε, ε)→ M eine Geod¨atische in einem lokal symmetrischen Raum M der Dimensionn durch p=c(0) in Richtungv = ˙c(0).Wir definieren eine lineare Abbildung
Kv :TpM → TpM x 7→ R(x, v)v.
b) Zeigen Sie, dass eine Orthonormalbasis (e1, . . . , en) von TpM existiert, die Kv diagonalisiert, d.h.,Kv(ei) =λieif¨uri= 1, . . . , nmit geeignetenλi ∈R.
Wir setzen die Basis (e1, . . . , en) aus b) durch Paralleltransport zu einem Rahmen (e1(t), . . . , en(t)) entlangc fort.
c) Es seiJ(t) =Pn
i=1xi(t)ei(t) ein Jacobi-Feld entlangc. Zeigen Sie, dass die Jacobi-Gleichung zu dem System
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xi(t) +λixi(t) = 0, i= 1, . . . , n (keine Summe ¨uber i)
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aquivalent ist.
d) Zeigen Sie, dass die konjugierten Punkte von p entlang c durch c
√k λiπ gegeben sind, wobei k ∈Z und λi ein positiver Eigenwert vonKv ist.
3. Aufgabe(6 Punkte)
Es sei (Mn, g) eine semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Zum Kr¨ummungstensor Rassoziieren wir den (0,4)-Tensor ˜R verm¨ogeg(R(X, Y)Z, W) = ˜R(X, Y, Z, W).
a) Es seip∈M und (e1, . . . , en) eine vONB vonTpM.Finden Sie eine Fortset- zung von e1, . . . , en zu lokalen Vektorfeldern E1, . . . , En in einer geeigneten Umgebung U vonpinM,sodass
E1|q, . . . , E|q
f¨ur alleq∈U eine vONB von TqM ist und (∇Ei)p = 0 f¨ur allei= 1, . . . , n.
b) Es sei p∈ M und X ∈TpM. Zeigen Sie, dass der (0,4)-Tensor ∇XR˜ anti- symmetrisch im 1. und 2. sowie im 3. und 4. Argument ist und außerdem die Blockvertauschung erf¨ullt.
Zus¨atzlich zu den obigen Symmetrien erf¨ullt∇R˜ die 2. Bianchi-Identit¨at, d.h. f¨ur alle p∈M und X, Y, Z, U, W ∈TpM gilt
(∇ZR)(X, Y, U, W˜ ) + (∇XR)(Y, Z, U, W˜ ) + (∇YR)(Z, X, U, W˜ ) = 0.
(Ein Beweis wird in der Vorlesung gegeben.)
F¨ur A ∈ Γ(T0,2(M)) definieren wir die Divergenz div(A) ∈ Γ(T0,1(M)) punkt- weise durch
div(A)(x) :=
n
X
i=1
εi(∇eiA)(ei, x)
f¨ur allex∈TpM,wobei (e1, . . . , en) eine vONB vonTpM sei, d.h.g(ei, ej) =εi·δij mit εi ∈ {−1,1}.
c) Zeigen Sie, dass div(A) wohldefiniert ist.
d) Beweisen Sie mit Hilfe der 2. Bianchi-Identit¨at, dass 2·div(ric) =d scal.
Abgabe in der Vorlesung am 10.12.2015
