Ubungen zur Differentialgeometrie ¨
Universit¨at Regensburg, Wintersemester 2015/16 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dipl.-Math. Manuel Streil
Ubungsblatt 10¨
1. Aufgabe(4 Punkte)
Es sei (M, g) eine zusammenh¨angende, nicht kompakte, vollst¨andige Riemannsche Mannigfaltigkeit undp∈M.
a) Zeigen Sie die Existenz einer Folge (pi)i∈N in M mit d(p, pi) → ∞ f¨ur i→ ∞.
b) Schließen Sie, dass es in (M, g) eine minimale Geod¨atische γ : [0,∞)→M mit γ(0) =pgibt.
Hinweis: Betrachten Sie minimale, nach Bogenl¨ange parametrisierte Geod¨ati- sche ci : [0, li]→ M mit ci(0) =p und ci(li) =pi. Da kc˙i(0)k = 1, konver- giert eine Teilfolge c˙ij(0) → X ∈ TpM. Setzen Sie dann γ(t) = expp(tX) und zeigen Sie d(p, γ(t)) = t.
2. Aufgabe(4 Punkte)
Es seiM, g) eine zusammenh¨angende, vollst¨andige Riemannsche Mannigfaltigkeit undN ⊂M eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Wir fixieren einen Punkt m∈M \N.
a) Zeigen Sie, dass es einen Punkt p∈ N gibt mit d(m, p) = d(m, N), wobei d(m, N) := inf{d(m, x)|x∈N}.
b) Zeigen Sie, dass eine Geod¨atische γ von m nach p mit L[γ] = d(m, p) existiert.
c) Schließen Sie mit Hilfe der 1. Variationsformel f¨ur die Energie, dass γ auf N senkrecht steht.
3. Aufgabe(4 Punkte)
Es sei (M, g) ein lokal symmetrischer Raum, d.h. eine Riemannsche Mannigfal- tigkeit mit∇R = 0. F¨ur ein ε >0, sodass
expp :Bε(0)→expp(Bε(0)) =Bε(p)
ein Diffeomorphismus ist, definieren wir die geod¨atische Spiegelung σp :Bε(p)→Bε(p)
verm¨oge σp(γ(t)) =γ(−t) f¨ur alle Geod¨atischen γ mit γ(0) =p.
a) Zeigen Sie, dass σp = expp◦ −idTpM
◦exp−1p .
b) Es sei v ∈ Bε(0) und q = expp(v). Wir bezeichnen den Paralleltransport entlang den Geod¨atischen γ(t) = expp(tv) und ˜γ(t) = γ(−t) mit
Pt:Tγ(0)M →Tγ(t)M und P˜t:Tγ(0)˜ M →T˜γ(t)M und definieren
Φt :Tγ(t)M → Tγ(t)˜ M
w 7→ P˜t◦ −idTpM
◦ Pt−1(w).
Zeigen Sie: Ist t 7→J(t) ein Jacobi-Feld l¨angs γ, so ist t7→J˜(t) = Φt(J(t)) ein Jacobi-Feld l¨angs ˜γ.
c) Folgern Sie, dass σ:Bε(p)→Bε(p) eine Isometrie ist.
Hinweis: Ist q = expp(v) ∈ Bε(p) und X ∈ TqM, so existiert genau ein x ∈ Tv(TpM) ∼= TpM mit (dvexpp)(x) = X. Wenden Sie nun b) auf das Jacobi-Feld J l¨angs γ(t) = expp(tv) mit J(0) = 0 und dt∇
t=0J(t) = x an.
4. Aufgabe(4 Punkte)
Es sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und p∈M.In einer Umgebung U von p ∈ M existiere eine Isometrie σ : U → σ(U) mit dpσ = −idTpM. Wir betrachten eine Geod¨atische γ : (−ε, ε)→U mit γ(0) =p.
a) Es sei X ein paralleles Vektorfeld entlang γ. Zeigen Sie, dass dγ(t)σ
X(t) =−X(−t)
und folgern Sie f¨ur einen parallelen Rahmen (e1(t), . . . , en(t)) entlang γ, dass
gγ(t)(R(ei(t), ej(t))ek(t), el(t)) =gγ(−t)(R(ei(−t), ej(−t))ek(−t), el(−t)). b) Wir nehmen nun an, dass f¨ur alleq ∈M die analog zu Aufgabe 3 definierten
geod¨atischen SpiegelungenσqIsometrien sind. Zeigen Sie, dass dann (M, g) lokal symmetrisch ist.
Abgabe in der Vorlesung am 7.1.2016