Eine glatte Mannigfaltigkeit M mit einem m-dimensionalen Atlas heißt glatte Mannigfaltigkeit derDimensionm

21. UNTERMANNIGFALTIGKEITEN

Bisher haben wir Mannigfaltigkeiten mit Hilfe konkreter Karten beschrieben. Einfacher ist es manchmal, sie als Untermannigfaltigkeiten , z.B. desRⁿ, zu identifizieren.

Beispiel 21.1. GLn(R)⊆Rⁿ×n ist offen und somit eine Mannigfaltigkeit (mit einer einzigen Karte als Atlas). Auch viele andere Matrixgruppen wie z.B.

On={A∈GLn(R):A^>A=1n} sind in natürlicher Weise Mannigfaltigkeiten, aber wie(so)?

Definition 21.2. Eine glatte Mannigfaltigkeit M mit einem m-dimensionalen Atlas heißt glatte Mannigfaltigkeit derDimensionm; wir schreiben danndimM=m.

Definition 21.3. Sei M eine m-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge N⊆M heißt n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, wenn es um jedes x∈N eine glatte Karteφ:U→R^mgibt mit

φ(U∩N) =φ(U)∩(Rⁿ× {0}) in Rⁿ×R^m−n=R^m. In dem Fall heißt m−n dieKodimensionvon N in M.

Bemerkung 21.4. Durch Einschränkung der Karten vonMaufNerhält man dann einen Atlas fürN; insbesondere istNeinen-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit.

Wir betrachten nun glatte Abbildungen f: N→M glatter Mannigfaltigkeiten und un- tersuchen, für welchey∈M das Urbild f⁻¹(y)wieder eine Mannigfaltigkeit wird.

Beispiel 21.5. Bei der Projektion des Doppeltorus auf die reelle Achse wie im folgenden Bild besteht für fast alle y∈Rdas Urbild aus ein oder zwei Kopien von S¹. Für vier Punkte ist das Urbild eine Acht und somit keine Untermannigfaltigkeit:

Wir benötigen nun folgende Sätze der Analysis II, die oft als Aussagen über einmal stetig differenzierbare statt glatte Funktionen formuliert und bewiesen werden:

Satz 21.6(Umkehrsatz). Sei U⊆Rⁿoffen, f:U →Rⁿglatt, x₀∈U und D f_x (=totale Ableitung von f im Punkt x) invertierbar. Dann ist f auf einer offenen Umgebung U⁰⊆ U von x₀ein Diffeomorphismus (von U⁰nach f(U⁰)).

Beweis-Idee. Banachscher FPS: Fürynahe beiy₀= f(x₀)hat die Gleichungy= f(x) eine Lösungx=limx_k mit

x_k+1:=x_k+ (D f)⁻_x0¹(y−f(x))fürk≥0,

weil die Abbildungg(x):=x+ (D f)⁻_x0¹(y−f(x))umx₀eine Kontraktion ist:

Dg_x0 =id+ (D f)⁻_x0¹(0−D f_x0) =0.

Satz 21.7(Implizite Funktionen). Seien U₁⊆R^kund U₂⊆R^moffen, f: U₁×U₂→R^m glatt, x₁∈U₁, x₂∈U₂und

∂f

∂x₂(x1,x2) =D f_(x1,x2)|_{0}×R^m: R^m→R^m.

invertierbar. Setze y₀= f(x₁,x₂). Dann gibt es offene Umgebungen W_i⊆U_ivon x_iund eine glatte Abbildung g:W₁→W₂mit g(x₁) =x₂und

(W₁×W₂)∩f⁻¹(y₀) ={(z₁,g(z₁)):z₁∈W₁}. Beweis-Idee. Umkehrsatz angewendet auf

h: U₁×U₂→R^k×R^m, (z₁,z₂)7→(z₁,f(z₁,z₂))

und die Punkte(x₁,x₂)und h(x₁,x₂) = (x₁,y₀) liefert um (x₁,x₂) eine glatte Umkehr- funktionh⁻¹: (z₁,y)7→(z₁,z₂(z₁,y)); setze danng(z₁):=z₂(z₁,y₀).

Um die Voraussetzung dieses Satzes für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten zu formulieren, benutzen wir folgenden Begriff:

Definition 21.8. Sei U ⊆Rⁿoffen und f:U →R^mdifferenzierbar. DerRang von f in einem Punkt x∈U ist der Rang von D f_x: Rⁿ→R^mund wird mitRg_x f bezeichnet.

Sei nun f: N→Meine glatte Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten undx∈N.

Lemma 21.9. Sind(U_i,φi)und(V_i,ψi)für i=1,2glatte Karten um x beziehungsweise f(x), so gilt

Rg_φ1(x)(ψ₁◦f◦φ⁻₁¹) =Rg_φ2(x)(ψ₂◦f◦φ⁻₂¹).

Beweis. Die Kettenregel liefert

D(ψ1◦f◦φ⁻₁¹))_φ1(x)=D(ψ1◦ψ⁻₂¹)_ψ2(x)

| {z }

invertierbar

◦D(ψ2◦ f◦φ⁻₂¹)_φ2(x)◦D(φ2◦φ⁻₁¹)_φ1(x)

| {z }

invertierbar

.

Damit ist folgende Definition sinnvoll:

Definition 21.10. Sei f: N→M eine glatte Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten.

• DerRang von f inx∈N wird mittels glatter Karten(U,φ)um x und(V,ψ)um f(x)definiert alsRg_xf =Rg_φ(x)(ψ◦f◦φ⁻¹).

• x∈N heißt regulärfür f , fallsRg_xf =dimM.

• y∈M heißtregulärer Wertfür f , falls jedes x∈ f⁻¹(y)regulär ist.

Satz 21.11 ((Urbilder regulärer Werte)). Sei f: N →M eine glatte Abbildung und y₀ ∈M ein regulärer Wert. Dann ist f⁻¹(y₀) eine Untermannigfaltigkeit von N der KodimensiondimM.

Beweis. Es genügt, statt f: N→Mdie Abbildung ψ◦f◦φ⁻¹ für Karten(φ,U)vonN und(ψ,V)umy₀zu betrachten. Wir nehmen also o.B.d.A. an, dassN⊆RⁿundM⊆R^m offen sind. Seix₀∈ f⁻¹(y)undk=n−m.

Indem wirφggf. um einen linearen Isomorphismus ändern, können wir annehmen, dass kerD f_x0 =R^k× {0}, alsoD f_x0|: {0} ×R^m→R^mbijektiv ist.

Schreibe x₀= (x₁,x₂)∈R^k×R^m. Wir zeigen: Es gibt eine glatte Karte (W,χ) um x₀ mit

(z₁,z₂)∈ f⁻¹(y₀) ⇔ χ(z₁,z₂)∈R^k× {0}. (8) Satz 21.7 liefert offene UmgebungenU_ivonx_iund eine glatte Funktiong:U₁→U₂mit

(U₁×U₂)∩ f⁻¹(y₀) ={(z₁,g(z₁)):z₁∈U₁}. Die Abbildung

χ:U1×U2→R^k×R^m, (z1,z2)7→(z1,z2−g(z1))

erfüllt (8) und ist nach Satz 21.6 auf einer UmgebungW⊆U₁×U₂von(x₁,x₂)ein Dif- feomorphismus, weil die Ableitung(Dχ)_(x1,x2): R^k×R^m→R^k×R^m als Blockmatrix die Form

(Dχ)_(x1,x2)=

1k 0

−Dg_x1 1m

hat und somit invertierbar ist.

Bemerkung 21.12. Der Satz von Sard besagt, dass die Menge der kritischen Werte, die also nicht reguläre Werte sind, stets eine Lebesgue-Nullmenge ist.

Beispiel 21.13. (1) Für f: Rⁿ⁺¹→R,x7→∑x²_i, ist 1 ein regulärer Wert, weilD f_x= 0 nur fürx=0. Also ist f⁻¹(1) =Sⁿeine Untermannigfaltigkeit.

(2) SeiS={B∈M_n(R):B=B^>} ∼=R^n(n+1)/2. Für f: Rⁿ×n→S,A7→A^>A, ist 1n

ein regulärer Wert undO_n= f⁻¹(1n)eine Untermannigfaltigkeit, denn D f_A: Rⁿ×n→S∼=R^n(n+1)/2, B7→ d

dt

_t=0(A+tB)^>(A+tB) =A^>B+B^>A, ist surjektiv: fürC∈SundB:= ¹₂ACfolgtA^>B= ¹₂Cund

(D f_A)B= 1

2(C+C^>) =C.

Folgende Klassen von Abbildungen sind besonders wichtig:

Definition 21.14. Eine glatte Abbildung f: M→N glatter Mannigfaltigkeiten der Di- mension m bzw. n heißt

• Immersion, falls Rg_pf = m für alle p ∈M, und Einbettung, falls zusätzlich f: M→ f(M)ein Homöomorphismus ist;

• Submersion, fallsRg_pf =n für alle p∈M.

Lokal sehen solche Abbildungen aus wie die kanonischen AbbildungenR^m →Rⁿ in den Fällenm≤n(Immersion) bzw.m≥n(Submersion):

Satz 21.15. Sei f: M→N eine glatte Abbildung glatter Mannigfaltigkeiten und p∈M.

(1) IstRg_p f =m=dimM, so gibt es Karten(U,φ)um p und(V,ψ)um f(p)mit (ψ◦f ◦φ⁻¹)(x) = (x,0)∈R^m×R^n−m=Rⁿ für alle x∈R^m.

(2) IstRg_p f =n=dimN, so gibt es Karten(U,φ)um p und(V,ψ)um f(p)mit (ψ◦f◦φ⁻¹)(x,y) =x für alle(x,y)∈Rⁿ×R^m−n=R^m.

Der Beweis von Satz 21.11 mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen war nicht der direkteste; kürzer geht es über obige Aussage (2).

Beweis. (1) Die Idee ist ähnlich wie im Beweis des Satzes über implizite Funktionen.

Wähle Karten(U,φ)um p und(V⁰,ψ⁰) um f(p). Setze f⁰ :=ψ⁰◦ f◦φ⁻¹. Da D f_φ(p)⁰ Rangmhat, können wir o.B.d.A. annehmen, dass

D f_φ(⁰ _p)R^m=R^m× {0} ⊆Rⁿ. (sonst ändern wirψ⁰um einen linearen Isomorphismus). Für

θ: φ(U∩f⁻¹(V))×R^m−n→Rⁿ, (x,y)7→ f⁰(x) + (0,y) gilt

Dθ(φ(p),0)(R^m×R^m−n) =D f_φ⁰_(p)R^m+{0} ×Rⁿ−m=R^m×Rⁿ−m.

Nach 21.6 istθauf einer UmgebungW von(φ(p),0)ein Diffeomorphismus. Setze V :=ψ⁻¹(θ(W)), ψ:=θ⁻¹◦ψ⁰|V.

Dann ist(ψ◦f◦φ⁻¹)(x) = (θ⁻¹f⁰)(x) = (x,0)für allex∈U.

(2) Ähnlich wie (1), aber stattψ⁰ändert manφ.

Folgerung 21.16. Ist f: M→N eine Einbettung, so ist f(M)⊆N eine Untermannig-

faltigkeit und f: M→ f(M)ein Diffeomorphismus.