Mathematik II, Lineare Algebra und Analysis, SS 2013 M. Hortmann
Blatt 2
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Namen Gruppe Tutor
1a b c d 2a b 3a b Summe bearbeitet
1 1 1 1 1 1 1 1 6 Punkte=100%
Ein angeordneter Körper enthält in natürlicher Weise die Mengen ℕ⊂ℤ⊂ℚ.
Aufgabe 1
Sei(K ,+,⋅,≤)ein angeordneter Körper. Man erinnere sich an die Verträglichkeitsbedingungen der Ordnungsrelation mit der Addition und Multiplikation:
∀x , y , z∈K: x⩽y ⇒ x+z⩽y+z ∀x , y∈K: 0⩽x , y ⇒ 0⩽x⋅y und folgere daraus:
a) ∀x∈K: 0⩽x2
b) ∀x , y∈K: 0<x<y ⇒ 0<1 y<1
x
c) ∀n∈ℕ∀x∈K: −1⩽x ⇒ 1+nx⩽ (1+x)n1
d) Ist K sogar archimedisch geordnet2, so gilt:∀x , y∈K: x<y ⇒ ∃r∈ℚ: x<r<y
Aufgabe 2
Sei K ein archimedisch angeordneter Körper.
a) Man bilde in K die Teilmenge M:=
{
1n∣n∈ℕ}
und zeige, daß 0 die größte untere Schranke von M ist, d.h. 0 = inf M.b) Man bilde in K die Teilmenge M:=
{
x∈K∣
x2<2}
und zeige, daß für jedesa∈S(M)gilt:2≤a2.1 Beweis durch Induktion.
2 d.h.∀x∈K ∃n∈ℕ: x<n
Aufgabe 3
a) Sei M eine beliebige nicht-leere Menge. Fürx , y∈M setze mand(x , y):=
{
0 falls 1 sonstx=y . Man zeige, daß dadurch eine Metrik auf M definiert wird. (Diskrete Metrik)b) Sei wie üblichℤ2:={0,1}. Die Elemente der Mengeℤ28sind Bitstrings der Länge 8, also Bytes.
Sindb1,b2Bytes, so setze man d(b1, b2):=Anzahl der Bits, in denen sichb1undb2unterscheiden.
Man zeige, daß d eine Metrik auf ℤ28 ist. (Hamming-Metrik)
