Ψ( ~r,t =0) | | = ~k 2 πλ

Dozentin: Frau Mühlleitner

geshrieben von BirgitAdams und Benedikt Prunshe

Contents

1 Einführung 2

1.1 Physikum1900 . . . 2

1.2 HistorisheEntwiklung . . . 2

2 DualismusTeilhen undWelle 4 2.1 EMWellenundPhotonen . . . 4

2.1.1 ZusammenhangzwishenEnergieundFrequenz,zwishen Impuls undWellen . . . 4

2.1.2 Ausbreitung. . . 4

2.1.3 Spektralzerlegung . . . 4

2.2 Materiewellen . . . 5

2.3 Shrödingergleihung . . . 6

2.4 Wellenpakete

|~k| = ^2π _λ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6}

2.4.1 FreiesTeilhen(v=0) . . . 6

2.4.2 Zusammenhang

Ψ(~r, t = 0)

^{undg(k) . . . . . . . . . . . . 7}

2.4.3 ZeitliheEntwiklungeinesfreienWellenpakets . . . 7

2.5 ZeitunabhängigesPotential . . . 7

2.5.1 Stufenpotentialequalitativ . . . 8

2.5.2 Stufenpotentialquantitativ . . . 10

2.5.3 Potentialtopf . . . 11

3 Mathematishe Hilfsmittel 13 3.1 ZustandsraumderWellenfunktion . . . 13

3.2 Dir Notation . . . 15

3.3 DarstellungenimZustandsraum. . . 20

3.3.1 Darstellungderket,Bra, undOperatore . . . 20

3.3.2 Darstellungswehsel(Basiswehsel) . . . 21

3.4 Eigenwert-Gleihungen/Observablen . . . 21

3.4.1 Eigenwerte/Eigenvektoren . . . 21

3.4.2 BestimmungderEWundEVeinesOperators . . . 22

3.4.3 Observable . . . 23

3.4.4 KomuutierendeObservable . . . 24

4.1 Die Postulate(1925/26) . . . 27

4.2 InterpretationderdenMessprozessbetreendenPostulate . . . . 29

4.3 ZeitabhängigkeitisolierterquantenmehanisherSysteme. . . 31

5 Der harmonishe Oszillator 35 5.1 HarmonisherOszillatorin derklassishenMehanik . . . 35

5.2 HarmonisherOszillatorin derQM . . . 35

5.2.1 AnalytisheLösungderDGL . . . 35

5.2.2 AlgebraisheMethode . . . 36

5.3 QuantenmehanikfürSpin1/2 . . . 39

5.4 Teilhenmit Spin1/2imkonstantenMagnetfeld . . . 40

5.5 AllgemeinesZwei-Zustands-System . . . 42

6 Drehimpuls 44 6.1 VertaushungsrelationenfürdenBahndrehimpuls . . . 44

6.2 EigenwerteundEigenzustände . . . 45

7 Bahndrehimpulsin Polarkoordinaten 50 7.1 EW-GleihunginderOrtsdarstellung

[ | ~r > }

^{. . . . . . . . . . . 50}

7.2 Drehimpuls alsErzeugender(Generator)vonDehnungen. . . 52

7.3 IntegralederBewegungundSymmetrieeigenshaften . . . 52

7.4 RotationeineszweiatomigenMoleküls . . . 54

7.4.1 QualitativeBetrahtung . . . 54

7.4.2 StarrerRotator . . . 54

8 Zentralpotentiale/Wasserstoatom 55 8.1 Hamiltonoperator:Zentralpotential,d.h.

V (~r) → V (r)

^{. . . . . . 55}

8.2 SeparationderVariablen. . . 56

8.3 EnartungderEnergieniveaus . . . 58

8.4 Systemaus2Teilhen . . . 58

8.5 DasWasserstoatom . . . 59

9 Streutheorie in der niht-relativistishenQuantenmehanik 61 9.0.1 StrahlvonTeilhenauf StationäresTarget. . . 62

9.0.2 Teilhenstrahlenegegeneinander . . . 63

9.1 StationäreStreuzustände . . . 63

9.2 Stromdihten,Streuquershnitt . . . 64

9.3 OptishesTheorem . . . 65

9.4 IntegralgleihungfürdiegestreuteWelle . . . 67

9.4.1 PartialwellenimPotentialV(r) . . . 68

9.4.2 StreuquershnittalsFunktion derStreuphasen . . . 69

9.4.3 OptishesTheorem . . . 71

10.1 Problemstellung. . . 71

10.2 StörungstheoriebeiEntartung. . . 72

10.3 GestörterharmonisherOszillator . . . 72

10.3.1 StörungdurheinlinearesPotential . . . 72

10.3.2 StörungdurhquadratishePotential . . . 74

10.4 Stark-EektdesWasserstoatoms . . . 75

1.1 Physik um 1900

ˆ KlassisheMehanik

ˆ Elektrodynamik

ˆ erweritert1905zurspeziellenRelativitätstheorie

nihterklärbar

ˆ PhysikderAtomhülle

ˆ PhysikmakroskopisherKörper

ˆ Kernphysik

ˆ Elektrodynamik

ˆ Teilhenpyhsik

QM:Relativitätstheorie>Quantenfeldtheorie

hier: neihtrelativistisheQM

1.2 Historishe Entwiklung

1. Hohlraumstrahlung: Plank 1900,Hypothese:

Energieasustaush zwishen Oszillatoren der Materie und dem EM Feld

inFormvonEnergiepaketen/Quanten

E = hν h = 6, 626 · 10 ^{− 34} Js

PlankshesWirkungsquantum

2. PhotoelektrisherEekt

Mindestfrequenz:

h · ν min ≥ W Austritt

Elektronenemissioninstantan

Hypothese: LihtbestehtausPhotonendeEnergie

E = hν = ~ ω

~ = h

2π

ElastisherStoÿzwishen PhotonundElektron

EnergieundImpulserhaltung

λ ^′ − λ = 4π ~ m e c sin ² θ

2

HypothesevonCompton: Photonen sindnihtnur Lihtpakete,sondern

reelleTelhenmitImpuls

Teilhenharakter(E;P), Wellenharakter(

ω = 2πν ; | ~k | = ^2π _λ

⁾

4. Plank-Einsteinbeziehungen:

E = ~ · ω = h · ν

~ p = ~ ~k

5. Dualität: LihthatWellen-undTeilheneigenshaft

6. Doppelspalt-Experiment

I(x) 6 = I 1 (x) + I 2 (x) E(x) = E 1 (x) + E 2 (x)

I(x) ∝ E(x) ² = E 1 (x) + E 2 (x) | ² = | E 1 | ² + | E 2 | ² + 2Re(E 1,2 ) 6 = I 1 + I 2

7. HypothesevondeBroglie(1923): MaterieteilhenbesitzenWellenharak-

ter

8. Rutherford(1911): Elektronenumlaufenplanentenartigenpositiv gelade-

nenKern. Problem: ElektronenbeshleunigteBewegung

→

^strahlenkon-

tinuierlih Energieab. Diskrete Emissions-/Absorbtionslinien:

H(W asserstof f ) : 1/λ nm = R Y

1 n ² − 1

m ²

9. BohrshePostulate(1913):

(a) Elektronenkreisbahnen(Coulomb-Anziehung)

(b) QuantisierungderKreisbahnen

L = n ~ n ∈ N

^|

() Strahlungsemmission/-absorption

hν = E i − E f

→

^Problem:

ˆ kannIntensitätundtatsählihauftretendeLiniennihterklären

ˆ veragt bereitsfürHelium

ˆ willkürliheTeilerklärung

2.1 EM Wellen und Photonen

2.1.1 ZusammenhangzwishenEnergieundFrequenz,zwishenIm-

pulsund Wellen

~ p = ~ · ~k E = hν = ~ ω

2.1.2 Ausbreitung

I(x) ∝ | E(x) | ²

I(x)= Wahrsheinlihkeitsverteilung der Photonen auf dem Shirm. Die

BahneineseinzelnenPhotonskannnihtmit Siherheitangegebenwerden.

GiltSuperpositionsprinzip:

E 1 (x), E 2 (x)

^{LösungderMaxwellGLeihungen}

→ so

^auh

E(x) = λ 1 E 1 (x) + λ 2 E 2 (x), λ i = konst.

2.1.3 Spektralzerlegung

PolarisiertesLihtmitAusbreitungsgrihtung.

O Z

^{fällt auf einen} Analysator,klassish: p-polarisiertesLihtin

e ~ p

^-Rihtung:

E(~r, t) = ~ E 0 ~e p e ^{i(kz − ωt)}

Intensität:

E ₀ ²

^{, Nah A:}

E ~ ^′ (~r, t) = E ₀ ^′ ~e x e ^{i(kz − wt)}

^wobei

E ^′ ₀ = E 0 e ~ p ~e x = E 0 cosΘ → Intensit¨ at : E 0 ^{′ 2} = E 0 ² cos ² Θ

QM:PhotonwirdimAnalysatorgestopptoderdurhgelassen

→

^zweimöglihe

Resultate der Messung: Eigenresultate. Einzelresultat kann niht vorherge-

sagtwerden. NahAwürdedasPhotonweitereAnalysatoren(bzgl. x-Rihtung

siher durhlaufen: nah A ist es im Eigenzustand. Es gibt 2 Eigenzustände

für A mit Polarisation in x-Rihtung

∝ ~e x , ~e y

^{. Für diese} Eigenzustände ist das Messresultat siher in A: Durhgang oder Stoppen. Jeder Zustand mit

Polarisation

~e p

^{kann in} Eigenstustände vonA zerlegt werden:

~e p = cosΘ~e x + sinΘ~e y .

Wahrsheinlihkeitfür durh:

cos ² Θ

^{für stop:}

sin ² Θ

^.

→ P 3

i=1 P i =

1

^{. SpektraleZerlegung von}

~e p

^nahEigenzuständen.

ν = E h λ = h p

| k ~ | = 2π λ

Einfreies niht relativistishesTeilhen istalso mit einerebenen Welleos-

soziiert.

Ψ(~ r,t) = Ψ 0 exp { i(~k~r − ωt)) = Ψ 0 exp { i

~ (~ p~r − Et) }

KohärentmitInterpretationderGeshwindigkeitderWelle: Punktegleiher

Phase:

~k~r − ωt = const.

~kd~r − ωdt = 0

→ P hasengeschwindigkeit : ω k = E

p = 1 2 v

PropagationsgeshwindigkeitderEnergiederWelle:

→ Gruppengeschwindigkeit : dω dk = dE

dp = v

DiesistdieGeshwindigkeiteinesMatereieteilhensunterBerüksihtigung

von

~ p = mv

undeit

E = ~ p ² 2m

1. KlassisheTajektorie

~x(t) → zeitliche

VeränderliheWellenfunktion

ψ(~r, t)

2. |

ψ(~r, t) | ² =

Wahrsheinlihkeitsamplitude

ˆ

d ³ r | ψ(~r, t) | ² = 1

3. KlassisheBewegungsgleihung

→

Shrödingergleihung.

SuhenBewegungsgleihungfür

ψ(~r, t)

^{. F}orderungen:

1. DGL 1. Ordnung in derZeit, damit

ψ(~r, t)

^durhdie Anfangsverteilung

ψ(~r, t = 0)

^bestimmtist.

2. Sie muss linearin

ψ

^{sein, damit} Superpositionsprinzip gilt (d.h. Linear- kombinationvonLösungenstellenwieder Lösungendar

→

^{deshalbtreten}

Interferenzeekte aufwieinderOptik. (Optik: DiesefolgenausderLin-

earitätderMaxwellgleihungen)

3. Siemuss homogensein, damit

´ _∞

−∞ d ³ r | ψ(~r, t) | ² = 1

^{füralle Zeitenerfüllt}

bleibt.

4. Die ebenen Wellen

ψ(~r, t) = c · exp { i(~ p~r − 2m ^{p 2} t)/ ~ }

^{sollen Lösungen der}

Gleihungsein.

FürdieseebenenWellengilt:

∂

∂t ψ(~r, t) = − ~ ^ip 2m ² ψ(~r, t) = _~ ⁱ _2m ^{~ 2} ∆ψ(~r, t

| {z }

− ^p ~2 ² ∆ψ(~ r,t)

Aus 1.-4. erhalten wir die zeitabhängige Shödingergleihung für ein freies

Teilhen:

i ~ ∂

∂t Ψ(~r, t) = − ~

2m ∆Ψ(~r, t)

Annahme: Teilhen derMassemunterliegteinemPotential

V (~r, t)

− _2m ^{~ 2} ∆Ψ(~r, t) + V (~r, t)Ψ(~r, t) = i ~ ^∂

∂t Ψ(~r, t)

2.4 Wellenpakete

| ~ k | = ² _λ ^π

2.4.1 Freies Teilhen(v=0)

i ~ ∂

∂t Ψ(~r, t) = − ~ ²

2m ∆Ψ(~r, t)

Lösung:

Ψ(~r, t) = Ae ^{i( ~ k~ r − ωt)} ; A = const und ω = ^~k _2m ²

deBroglie-Beziehung:

~ p = ~ ~k; E = ~ ω

damit(wie inklassisherMehanik)

~ ω = E = _2m ^{~ p 2}

Ferner

| Ψ(~r, t) | ² = | A | ² = const

^{. (*)D.h. die} Aufenthalswahrsheinlihkeit imganzenRaumgleih.

LineareDGL:Superpositionsprinzip: Jeder Linearkombinationvonebenen

WellendesTyps(*)istwiedereineLösung.

ÜberlagerungebeneerWellen

≡

Wellenpaket.

Ψ(~r, t) = _(2π) ¹ 3/2

´ d ³ kg (~k)e ^{i( ~ k~ r − ωt)}

^(A)

g(~k)(kann ∈ C)

^{,musshinreihendregulärsein}

Beifester Zeit

t 0

^{(perKonvention(}

t 0 = 0)

⁾

Ψ(~r, 0) = ´

d ³ kg(~k)e ^{i( ~ k~ r)}

Zu einer bestimmten Zeit kann zu

Ψ(~r, t)

^{immer die F}ouriertransformierte angegebenwerden. DieGleihung(A)legt

Ψ(~r, t)

^{füralleZeitentfest.}

2.4.2 Zusammenhang

Ψ(~r, t = 0)

^undg(k)

Ansatz:

| g(k) | e ^iα(k)

Annahme:

α(k)

^{seiimIntervall}

[k 0 − ^∆k 2 , k 0 + ^∆k ₂ ]

^,indem|g(k)|nennenswert vonnullvershiedenist,hinreihendregulär

(Grak)

→

Linearisierungvon

α(k)

^um

k = k 0

^für

∆k ≪ 1 |

Taylor:

α(k) ≅ α(k 0 ) + (k − k 0 ) ( dα dk ) | k 0

| {z }

≡− x 0

+Θ(∆k) ²

O.B.d.A.eindimensional:

Ψ(x, t = 0) = ´ _dk

√ 2π g(k)

|{z}

| g(k) | e ^iαk

e ^ikx ≈ ´ _dk

√ 2π | g(k) | e ^{iα(k 0 ) − (k − k 0 )x 0 +kx)} = e ^{i(α(k 0 )+k 0 x)} ´ _dk

√ 2π | g(k) | e ^{i(k − k 0 )(x}

Falls

x = x 0

^{nurpositiveBeiträge}

→ | Ψ |

^{maximal. Falls}

x − x 0 ≫ 1

|{z} ∆k

k − k 0

. Viele

Oszillationen des Integranden innerhalb des Integrationsgebiets

⇒ | Ψ |

^klein.

(Grak)

MaximumdesWellenpaketsimOrtsraumbei

x max = x 0 = − ( ^dα _dk ) k=k 0

(stationäre PhasedesIntegrandenbei

x 0

⁾

BreiteimOrtsraum

∆x ∼ ∆k ¹

Abfall von

| Ψ(x, 0) |

^{maht sih bemerkbar, wenn}

e ^{i(k − k 0 )(x − x 0 )}

^{ungefähr eine}

Shwingungausführt,fallskadasIntervall

∆k

^durhläuft.

∆k(x − x 0 ) ≈ 1

Sei

∆x = x − x 0

^dieBreitedesWellenpakets,dann giltalso

∆k · ∆x ≥ 1.

Mit

p = ~ k

Heisenbergshe

Unshärferelation

∆x∆p ≥ ~

2.4.3 Zeitlihe Entwiklungeines freien Wellenpakets

2.5 Zeitunabhängiges Potential

Annahme:

V = V (~r) 6 = 0 ⇒

^{Wir haben}

E = K = E kin = _2m ^{p 2}

→ E = K + V = _2m ^{p 2} + V (~r).

^MitdemHamiltonoperatorH=K+V.

ShrödingergleihungeinesTeilhensimPotential

V ( r) : ~ i ~ ∂Ψ

∂t = H Ψ

i ~ ∂

∂t Ψ(~r, t)

| {z }

Ableitung nach t

= − ~ ²

2m ∆Ψ(~r, t) + V (~r)Ψ(~r, t)

| {z }

Ableitung nach ~ r

Ansatz:

Ψ(~r, t) = φ(~r) · χ(t) 1

χ(t) i ~ ∂

∂t χ(t)

| {z }

F unktion von t

= 1 φ( r) ~ ( − ~ ²

2m ∆φ(~r, t) + V (~r)φ(~r))

| {z }

F unktion von ~ r

= konst! = ~ ω

⇒

^für

χ(t) : i ~ ^∂

∂t χ(t) = ~ ωχ(t) → χ(t) = A · e ^{− iωt}

Gleihungfür

φ(~r) : − 2m ^{~ 2} ∆φ(~r, t) + V (~r)φ(~r)) = ~ ω

|{z}

E

φ(~r)

ZeitunabhängigeShrödingergleihung:

( − ~ ²

2m ∆ + V (~r))

| {z }

Hamiltonoperator H

φ(~r) = Eφ( r) ~

EigenwertgleihungdeslinearenOperatorsH.

E:Eigenwert,

φ

^: Eigenfunktion.

Ψ(~r, t) = φ(~r)e ^{− iωt}

stationärerZustand,da

| Ψ | ² = const.

2.5.1 Stufenpotentialequalitativ

EindimensionaleBewegung(Grak)

stationäreShrödingergleihung:

[ − 2m ^~

^²

d

^²

dx

^²

+ V (x)]ϕ(x) = Eϕ(x) [ _dx ^d

^²

²

+ ^2m _~

²

(E − V (x))]ϕ(x) = 0

Analogiezurük: ElektrisheFeld

E(~r, t) = ~ ~eE (x)e ^{− iωt}

WellengleihungimMedium mitBrehungsindexn:

[ d

^²

dx

^²

− n

^²

c

^²

d

^²

dt

^²

]E(x)e ^{− iωt} = 0 [ d

^²

dx

^²

+ n

^²

ω

^²

c

^²

]E(x) = 0

QM:

2m

~ ² (E − V ) = ^{n 2} _c ^ω 2 ²

n ²

( > 0 transparentes

< 0 totalref lektierendes M edium n ² > 0 : [ _dx ^{d 2} 2 + k ² ]E(x) = 0 k = ^ω _c √

n ² ; E(x) ∝ e ^{( ± ikx)} n ² < 0 : [ _dx ^{d 2} 2 − ρ ² ]E(x) = 0ρ = ^ω _c √

− n ² ; E(x) ∝ e ^{± ρx}

Beispiele:

Figure1:

2.4.1Stufe.png

Brehungsindex;

n 1 = _~ω ^c √ 2mE

^;

n 2 = _~ω ^c p

2m(E − V 0 )

^,

E > V 0 :

^QM:WahrsheinlihkeitP reektiert; Wahrsheinlihkeit(1-P):

transmittiert

Totalreexion,aber: EindringeninGrenzshiht(gedämpfteWelle). QM:

Wahrsheinlihkeit

6 = 0,

^{dasTeilhenin derRegion2zunden.}

2. Barriere:

Figure2:

2.4.1Barriere.png

Tunneleekt;

0 < E < V 0

3. Potentialtopf

Figure3:

2.4.1Potentialtopf.png

(a)

− V 0 < E < 0

Energiequantisierung

(b)

E > 0

^{teilweise T}ransmission,teilweiseReexion

(i)

E > V [ _dx ^d

^²

²

+ k ² ]ϕ(x) = 0 k = q 2m

~

²

(E − V ) ϕ(x) = Ae ^ikx + Be ^{− ikx} A, B ǫ C

(ii)

E < V [ _dx ^d

^²

²

− ρ

^²

]ϕ(x) = 0 ρ bzw. κ = q

2m

~

²

(V − E) ϕ(x) = Ce ^ρx + De ^{− ρx} C, D ǫ C

(iii)

E = V ϕ(x) = E + F x E, F ǫ C

2.5.2.1Anshlussbedingungen

V(x)mit Unstetigkeitbeix=a.

Sei

V ρ

ⁱⁿ

[a − δ; a + δ] ∀ δ

^{beshränkt;einmaligintegriert}

dϕ

dx | a+δ − ^dϕ _dx | a − δ = ´ a+δ a − δ

2m

~

²

(V δ (x) − E)ϕ(x)dx

beshränkt rehteSeite

→

^0für

δ → 0

dϕ

dx | a+δ = ^dϕ _dx | a − δ = ⇒ ϕ ^′ = ^dϕ _dx

^{iststetigbeix=a}

= ⇒ ϕ

^{ebenfallsstetigbeix=a}

2.5.2.2Potentialstufe

V (x) = V 0 E(x) = { V 0 x > 0 0 x ≤ 0 E > V 0 :

I:

d

^²

ϕ

dx

^²

+ k 1

^²

ϕ = 0 , k 1 = q

2m

~

²

E

II:

d

^²

ϕ

dx

^²

+ k 2

^²

ϕ = 0 , k 2 = q

2m

~

²

(E − V 0 ) ϕ I (x) = A 1 e ^{ik 1 x} + A ^′ ₁ e ^{− ik 1 x}

ϕ II (x) = A 2 e ^{ik 2 x} + A ^′ ₂ e ^{− ik 2 x}

Teilhen kommtvonlinks

= ⇒ A ^′ ₂ = 0

i)

ϕ I (0) = ϕ II (0) : A 1 + A ^′ ₁ = A 2

ii)

ϕ ^′ _I (0) = ϕ ^′ _II (0) : K 1 (A 1 − A ^′ ₁ ) = K 2 A 2

→ ^A _A ^{′ 1} ₁ = ^k _k ¹ ₁ ⁻ _+k ^{k 2} ₂

A 2

A 1 = _{k 1} ^2k _+k ¹ ₂

^;wähle

A 1 = 1

Reexionskoezienten:

φ(x; x ≤ 0) = e ^{(ik 1 x)} + ^k _k ^{1 − k 2}

1 +k 2 e ^{( − ik 1 x)} φ(x; x > 0) = _{k 1} ^2k _+k ¹ ₂ e ^{(ik 2 x)}

Transmissionskoezient:

T = ^k _k ²

1 | ^A _A ² ₁ | ² = _(k ^{4k 1 k 2}

1 +k 2 )2

R+T=1;TotalreexionT=0

ˆ (b)

E < V 0

^(II):

d ² φ

dx ² − ρ ² φ = 0; ρ = q

2m

~ ² (V 0 − E)

k 2 → iρ

^;

φ II (x) = B 2 e ^(ρx) + B ₂ ^′ e ^(ρx) ;

Beshränkungvon

φ ⇒ B 2 = 0

ˆ

A ^′ ₁

A 1 = ^k _k ¹ ₁ ⁻ _+iρ ^iρ ; ^B _A ^{′ 2} ₁ = _k ^2k _{1 +iρ} ¹ → R = | ^A _A ^{′ 1} ₁ | ² = 1

ˆ

φ(x; x < 0) = ^{(A 1 =1)} e ^{(ik 1 x)} + ^k _k ¹ ₁ ⁻ _+iρ ^iρ e ^{− ik 1 x}

ˆ

φ(x; x ≥ 0) = ^{(A 1 =1)} _k ^2k _{1 +iρ} ¹ e ^{− ρx}

ˆ

V 0 → ∞ (ρ → ∞ )

^;

A ^′ ₁ → − A 1 ; B 2 → 0

ˆ

φ(x = 0) = 0; φ | ∞ Schwelle ≡ 0

2.5.2.3Tunneleekt, Potentialshwelle

V (x) = V 0 Θ(a − | x | )

(bild)

E < V 0 :

ϕ(x) =



 

 

x < a Ae ^ikx + Be ^{− ikx}

− a ≤ x ≤ a Ce ^{− κx} + De ^κx x > a F e ^ikx + Ge ^{− ikx}

Mit

k = q

2mE

~

^und

κ =

q 2m(V 0 − E)

~

(κ , ρ)

Anshluÿbedingung beix=-a

(i)

ϕ I (x = − a) = ϕ II (x = − a) : Ae ^{− iKa} + Be ^iKa = Ce ^κa + De ^{− κa}

(ii)

ϕ ^′ _I ( − a) = ϕ ^′ _II ( − a) : ik(Ae ^{− iKa} − Be ^iKa ) = − κ(Ce ^κa − De ^{− κa} )

Entsprehendbeix=a

Betrahten: vonlinkseinlaufendes TeilhenG=0

(Rehnung)

A = F (cosh2ρa + ^iǫ ₂ sinh2ρa)e ^2ika B = F ( ⁻ ₂ ^iη )sinh2ρa

wobei:

ǫ = ^ρ _k − ^k _ρ

^;

η = ^ρ _k + ^k _ρ

DenitionTransmissionsamplitude:

S = ^F _A = _arsh(2ρa)+ ^{e −2ika} iǫ 2 sinh(2ρa)

T = | S | ² = ¹

1+(1+ ^ǫ ₄ ² )sinh ² (2ρa) = ^{4E(V 0 − E)}

4E(V 0 − E)+V ₀ ² sinh ² ( √

2m(V 0 − E)2a ~

Grenzfall:

ρa >> 1

^{sehrhoheundsehrbreiteShwelle}

→ T = e ^{( − 4} √

2m(V 0 − E) ^a ~ )

2.5.3 Potentialtopf

V (x) = − V 0 θ( ^a ₂ − | x | ) V 0 ≤ E ≤ 0 : ϕ ^′′ − κ

^²

ϕ κ = q

2m

~ (V 0 − E)

^für

| x | > ^a ₂ ϕ ^′′ + k

^²

ϕ k = q

2m

~ (E + V 0 )

^für

| x | ≤ ^a ₂ ϕ I = B 1 e ^κx + B ^′ ₁ e ^{− κx}

ϕ III = B 3 e ^κx + B ₃ ^′ e ^{− κx} ϕ II = A 2 e ^ikx + A ^′ ₂ e ^{− ikx}

Beshränktheit

B 3 ≡ 0

x = − ^a ₂ (B ₁ ^′ = 0)

^{xistnegativdarauffolgtdie}Beshränktheitvon

ϕ I

ϕ ⁽ _I ^{′ )} x = − ^a ₂

= ϕ ⁽ _II ^{′ )} x = − ^a ₂

= ⇒ A 2 = e ^{( − κ+ik) a 2 κ+ik} _2ik B 1

= ⇒ A ^′ ₂ = − e ^{− (κ+ik) a 2 κ} _2ik ^{− ik} B 1

Anshlussbedingungbei

x = ^a ₂

^:

ˆ

B 3

B 1 = ^e _4ikκ ^{− κa}

(κ + ik)

^²

e ^ika − (κ − ik)

^²

e ^{− ka}

ˆ

B ^′ ₃

B 1 = ^κ

^²+k²

_2kκ sin ka B 3 = 0

κ − ik κ+ik

2

= e ^2ika

Energiequantisierung

1.

κ − ik

κ+ik = − e ^{ika κ} _k = tan( ^ka ₂ ) ; k 0 = q

2mV 0

~

²

= √ k

^²

+ κ

^²

1

cos

^²

( ^ka ₂ ) = 1 + tan

^²

( ka

2 ) = κ

^²

+ k

^²

k

^²

=

k 0

k 2

( | cos( ^ka ₂ ) | = _k ^k ₀ tan( ^ka ₂ ) > 0

(Grak),ShnittpunktemitWelle=Geradenlösungen

2.

κ − ik κ+ik = e ^ika

( | sin( ^ka ₂ ) | = _k ^k ₀

tan ^ka ₂ < 0

Literatur(zurVollständigkeit-.-)

ˆ S.Groÿmann:Funktioanalanalysis im Hinblik auf Anwendungen in der

Physik

ˆ Ahieser,Glasmann: TheoriederlinearenOperatorenimHilbertraum

Ziel: AbstrakteBeshreibungdesZustandesalsElementeinesZustands(Hilbert)

RaumsundderMessgröÿenduhthermitisheOperatorenunabhängigvoneiner

Basis.

3.1 Zustandsraum der Wellenfunktion

L ² ≡ { quadratintegrable F untktionen }

→ F = { gen¨ ugend regul¨ are F kten ∈ L ² }

1.

F

^{isteinlinearerRaum}

Ψ 1 ( r), ~ Ψ 2 (~r) ∈ F

⇒ Ψ(~r) = λ 1 Ψ 1 + λ 2 Ψ 2 ∈ F λ 1,2 konst ∈ C

da

| Ψ(~r) | ² quadratintegrabel | Ψ | ² = | λ 1 | ² | Ψ 1 | ² + | λ 2 | ² | Ψ 2 | ² = 2Reλ 1 λ ^∗ ₂ Ψ 1 Ψ ^∗ ₂ <

| λ 1 || λ 2 | ( | Ψ 1 | ² + | Ψ2 | ² )

Ψ | ² <

^{FunktionderenIntegral}konvergiert 2. Skalarprodukt

φ(~r), Ψ(~r) ∈ F

(φ, Ψ) = ˆ

d ³ rφ ^∗ (~r)Ψ(~r)

| {z }

C

Eigenshaften:

(φ, Ψ) = (Ψ, φ) ^∗

(ϕ, λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) = λ 1 (ϕ, ψ 1 ) + λ 2 (ϕ, ψ 2 )

^{bezüglih der zweitenKompo-}

nentelinear

(λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 , ψ) = λ ^∗ ₁ (ϕ 1 , ψ)+λ ^∗ ₂ (ϕ 2 , ψ)

^{bezüglihdererstenKomponen-}

teantilinear

Falls

(ϕ, ψ) = 0 ϕ

^und

ψ

^{zueinanderorthogonal}

(ψ, ϕ) ≥ 0 = ´

d

^³

rψ ^∗ ψ (ψ, ψ) = 0 ⇔ ψ(~r) = 0

Normin

F

^:

| ψ | = (ψ, ψ) ^{1 2}

ShwarzsheUngleihung

| (ψ 1 , ψ 2 ) | ≤ | ψ 1 || ψ 2 |

[Norm:

ψ 1 − ^(ψ _| ² ψ ^,ψ 2 | ^{1 )} ψ 2

^℄

1. LineareOperatoren

LinearerOperatorA:

φ(~r) = A · Ψ(~r)

^,

φ, Ψ(~r) ∈ F A(λ 1 Ψ 1 + λ 2 Ψ 2 ) = λ 1 AΨ 1 + λ 2 AΨ 2 ; λ 1,2 ∈ C

Beispiele:

(a) Ortsoperator

χ : X Ψ(x, y, z) = xΨ(x, y, z)

(b) Dierntialoperator

D x D x Ψ(x, y, z) = _∂x ^∂ Ψ(x, y, z)

() Partätsoperator

Π : ΠΨ(x, y, z) = Ψ( − x, − y, − z)

(d) HamiltonoperatorH:

HΨ(x, y, z) = ( − _2m ^{~ 2} ∆ + V (x, y, z)Ψ(x, y, z)

2. ProduktevonOperatoren

(a) A,BlineareOperatoren;Produkt (Def.):

(AB)ψ (~r) = A (Bψ (~r))

| {z }

ϕ( r) ~

Kommutator:vonAundB:[A,B℄=AB-BA

Bsp:

[χ, D x ] ψ (~r) = x _∂x ^∂ − ∂x ^∂ x

ψ(x, y, z) = − ψ(x, y, z)

⇒ [χ, D x ] = − 1

^oder

χ, ^~ _i D x

= i ~

(b) OrthonormierteBasis

VektorharakterisiertdurhKomponentenbzgl.einerorthonormier-

tenBasis

{ u i }

^;

u i (~r) ǫ F

Orthonormiert:

(u i ; u j ) = δ ij

ψǫ F : ψ(~r) = P

i c i u i (~r)

3. KomponenteneinerFkt.inBzg.auf eineBasis

{ u i (~r) } ψ (~r) = P

i c i u i (~r)

´ d

^³

r · u ^∗ _j ψ (~r) = P

i c i

ˆ

d

^³

ru ^∗ _j u i

| {z }

δ ij

= c j

c j = ´

d

^³

r · u ^∗ _j (~r) ψ (~r) ψ =

P

i c i u i

(u j , ψ) = P

i c i (u i , u j )

| {z }

δ ij

c j = (u j , ψ)

4. SkalarproduktinKomponentenshreibweise

φ(~r) = P

i b i u j (~r) Ψ(~r) = P

i c i u j (~r)

´ d ³ rΨ(~r) ^∗ Ψ(~r) = P

i b ^∗ _i c i

^speziell:

(Ψ, Ψ) = P

| c i | ²

5. Vollständigkeitsrelation:

∀ Ψ ∈ F

^gilt:

Ψ(~r) = P

i c j u i (~r) = P

i

´ d ³ r ^′ u ^∗ _i (~r ^′ )Ψ(~r ^′ )u i (~r) = ´

d ³ rΨ(~r) P

i u i (~r)u ^∗ _i (~r)

| {z }

F(~ r, ~ r ^′ )

=

´ d ³ r ^′ Ψ(~r ^′ )F (~r, ~r ^′ ) ∀ Ψ

Vollständigkeitsrelation

X

i

u i (~r)u ^∗ _j (~r ^′ ) = δ(~r − ~r ^′ )

EbeneWelle(eindimensional):

V p (x) ≡ ^√ _2π ¹ ~ e ^{ipx ~}

^mit

p , Index

ZerlegungeinesWellepaketesnahebnenWellen

,

^{EntwiklungnahBa-}

sis

{ v p }

Fouriertransformation

ψ (x) = ˆ dp

√ 2π ~

ψ ˜ (p) e ^{ipx ~} = ˆ

dp

| {z }

, P

i

ψ(p) ˜

| {z }

,c i

v p (x)

| {z }

,u i

ψ ˜ (p)

| {z }

,c i

= ˆ dx

√ 2π ~ ψ (x) e ^{ipλ ~}

| {z }

,(u i ,ψ)

7. ParsevalsheGleihung

ˆ

dxΨ ^∗ (x)Ψ(x) = ˆ

dp Ψ ˜ ^∗ (p) ˜ Ψ(p) , (Ψ, Ψ) = X

i

| c i | ²

Vollständigkeit:

´ dp v p (x)v ^∗ _p (x ^′ ) = δ(x − x ^′ )

[

P

i u i (x)u ^∗ _i (x ^′ ) = δ(x − x ^′ )

^℄

Orthonomeritheit:

(v p, v p ^′ ) = δ(p − p ^′ )

| {z }

1 2π

´ _dx

~ e ^{i x ~ (p − p′)}

(Distribution,nihtDeltafkt.!)

Verallgemeinerungauf beliebige kontinuierliheBasis

{ w α (~r) }

ˆ orthonorm:

(w α , w α ^′ ) = δ(α − α ^′ )

ˆ vollständig:

´ dαw α (~r) w _α ^∗ r ~ ^′

= δ

~r − r ~ ^′

HäuggemishteBasis:



 

 

(u i , u j ) = δ ij

(w α , w α ^′ ) = δ (α − α ^′ ) (u i , w α ) = 0

3.2 Dir Notation

Basis Index Komp.

Ψ

^Bezeihnung

u i (~r)

ⁱ

c i P

i c i u i (~r)

^allgemein

v

^ÿ

(~r)

^p

Ψ(p) ˜ ´

dp Ψ(p)v ˜ p (~r)

Impulsdarstellung

ζ r ~ 0 (~r) ~r 0 Ψ(~r 0 ) ´

d~r 0 Ψ(~r 0 )ζ r 0 (~r)

Ortsdarstellung

ω En (~r)

ⁿ

c n P

n c n ω En (~r)

Energiedarstellung(gebundene)

ω E (~r)

^{E (E)}

´

dE c(E)ω E (~r)

Energiedarstellung(Streuzustände)

(i)EbeneWellen(eindimensional)

Basis:

v P (x) = ^√ _2π~ ¹ e ^{ipx/ ~} ψ(x) =

ˆ ∞

−∞

dp

| {z }

, P

i

ψ(p) ˜

| {z }

,c i

v p (x)

| {z }

,u i

ψ(p) = (v ˜ p (x), ψ(x)) = ´

dx · v _p ^∗ (x)ψ(x) = ´ dp ^′ ´

dx √ ¹

2π ~ e ^ipx/~ ψ(p ˜ ^′ ) √ ¹

2π ~ e ^{ip ′ x/~}

= ´ dp ^′

ˆ

dx · 1

2π ~ e ^{i(p − p ′ )x/ ~}

| {z }

1

~ δ((p − p ^′ )/ ~ )=δ(p − p ^′ )

ψ(p ˜ ^′ ) = ´

dp ^′ δ(p − p ^′ ) ˜ ψ(p ^′ ) = ˜ ψ(p)

Anmerkung:

δ(x) = _2π ¹ ´

dk · e ^ikx δ(p) = _2π ¹ ´

dx · e ^ipx

orthonormiert:

(v p , v p ^′ ) = ´

dx · v _p ^∗ (x) · v p ^′ (x) = ´ _dx

2π~ e ^{ipx/ ~} e ^{ip ′ x/ ~} = _~ ¹ δ((p − p ^′ )/ ~ ) = δ(p − p ^′ )

vollständig:

´ dp · v p (x) · v _p ^∗ (x ^′ ) = ˆ

dp · 1

2π ~ e ^ipx/~ e ^{− ipx ′ /~}

| {z }

1

~ δ((x − x ′ )/~)

= δ(x − x ^′ )

(ii)Ortsdarstellung:

{ ξ ~ r o (~r) } ξ r ~ 0 (~r) = δ (~r − ~r 0 ) ψ(~r) = ´

d

^³

r 0 · ψ ( r ~ o )

| {z }

,c i

δ (~r − r ~ 0 )

| {z }

,u i

ψ ( r ~ 0 ) = (ξ r ~ 0 (~r) , ψ) = ´

d

^³

r · δ(~r − r ~ 0 ) · ψ (~r) = ψ ( r ~ 0 )

vollständig:

´ d ³ r 0 ξ r ~ 0 (~r)ξ ~ r 0 (~r ^′ ₀ ) = ´

d ³ r 0 δ(~r − ~r 0 )δ(~r ^′ − ~r 0 ) = δ(~r − ~r ^′ )

orthonomiert:

(ξ r ~ ^′ ₀ , ξ ~ r 0 ) = ´

d ³ rξ _{~ r} ^∗ ₀ (~r)ξ ~ r ₀ ^′ (~r) = ´

d ³ rδ(~r − ~r 0 )δ(~r − ~r ^′ ₀ ) = δ(~r 0 − ~r ^′ ₀ )

1. ZustandeinesTeilhensharakterisiertduhWellenfunktion

Ψ(~r)

^bzw.durh

KomponentenbezügliheinerbestimmtenBasis.

Analogie: Vektor

~a im R ³

bzg. einerBasis

{ ~e 1 ~e 2 , ~e 3 } ~a = (a 1 , a 2 , a 3 ) = P 3

i=1 a i ~e i

Basiswehsel: neue Basisvektoren

~e ^′ _i

^mit

e i = 0~e ^′ _i : ~a = P 3

i=1 a ^′ _i ~e ^′ _i

^wobei

a ^′ _j = P

i a i ~e ^′ _j ~e i = X

i

a i ~e ^′ _j 0~e ^′ _i

| {z }

≡O ji

[ P

i a i ~e i = P

j a ^′ _j ~e ^′ _j ⇔ P

i a i ~e i ~e ^′ _k = P

j a ^′ _j ~e ^′ _k ~e ^′ _j

|{z}

δ jk

= P

j a i δ jk = a ^′ _k ]

~

a

^{hatdie BedeutundunabhängigvonderBasis;}

~a · ~b

^{liefertin jederBasis}

dasgleiheResultat.

~a · ~b = P

i a i b i = P

i a ^′ _j b ^′ _j = P

i,k,l a k O ^jk b l O ^jl = P

j,k,l a k b l O ^jl O ^T kj

O · O ^T =Λ = P

k,l a k b l δ kl = P

k a k b k

2. Ket undBra

Beshreibung einesZustandesohneBezugauf dieOrtsvariable.

(a) Ket

Ket =ElementeinesZustandsraumsH(Hilbertraum)symbolisiert

| a >

Speziell: Fürjedes

ψ (~r) ǫ F ⇐⇒ | ψ > ǫH

(b) Bra

ZujedemKet

| ϕ >

^{gehörteinBra:}

< ϕ |

^{, derzusammen miteinem}

beliebigenket

| ψ >

^{einekomplexeZahldeniert:}

< ϕ | ψ >=

^{komplexeZahl=}SkalarproduktAnm.:AnalogiewäreVek- torundkonjugiertkomplexerVektor

Esgilt:

< ϕ | ψ > ∗ =< ψ | ϕ >

< ϕ | λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 >= λ 1 < ϕ | ψ 1 > +λ 2 < ϕ | ψ 2 >

^mit

λ 1 λ 2 ǫ C

< λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 | ψ >= λ ^∗ ₁ < ϕ 1 | ψ > +λ ^∗ ₂ < ϕ 2 | ψ >

Skalarproduktist inBezugaufvorderenFaktorantilinear:

Bemerkung: Werden auh (als math. Hilfsmittel)verallgemeinerte

ket zulassen;z.B.

| ξ x 0 >

^,

| v p 0 >

3. LineareOperatoren

LinearerOperatorordnetjedem

| Ψ > ∈ H

^einenket

| Ψ ^′ > ∈ H

^sozu,dass

deZusammenhanglinearist:

| Ψ ^′ >= A

|{z}

Operator

| Ψ >

^{istwieder ket}

A(λ i | Ψ i > +λ 2 | Ψ 2 >) = λ 1 A | Ψ 1 + λ 2 A | Ψ 2 > λ 1,2 ∈ C

Produktzweier linearerOperatoren, AB,istdeniertdurh:

(AB) | Ψ >=

A(B | Ψ >)

^I.A.

AB 6 = BA

Kommutator

[A, B] = AB − BA 6 = i.a. 0

einerseitsSalarproduktvon

< Ψ | mit | Ψ ^′ = A | Ψ >

^:

| Ψ ^′ >

| {z }

<φ | (A | Ψ>

andererseitsMatrixelementvonAzwishen

| φ > und | Ψ > .

^IsteineZahl

dielinearvon

| Ψ >,

^{antilinearvon}

| φ >

^abhängt.

Gegebensei

| Ψ 1 >

^und

< φ 1 |

^{fest.Danndeniert}

| Ψ 1 >< φ 1 |

^{einenlinearen}

Operatoraufeinembeliebigenket

| Ψ >

^durh

| Ψ >

| {z }

ket

< φ 1 | Ψ >

| {z }

Zahl

DieAnwen-

dungvon

| Ψ 1 >< φ 1 |

^{führtaufeinenanderenket}

→

^{stellteinenOperator}

dar.

Beikets,bras,OperatorenistdieReihenfolge wihtig!

< a | b >

Skalarprodukt

| b >< a |

^Operator

AnalogieVektoren

< a | b >

^Analogie

(a i ...a n ) ^∗



 b 1

...

b n



 = P n

i=1 a i b i

^Ska-

larprodukt

| b >< a |

^Analogie

bat =



 b 1

...

b n



 (a ^∗ ₁ ...a ^∗ _n ) =





b 1 a ^∗ ₁ ...b 1 a ^∗ _n ...

b k a ^∗ ₁ ...b n a ^∗ _n





^dya-

dishesProdukt

Projektor

P ψ

Essei

< ψ | ψ >= 1

^;Operator

P ψ = | ψ >< ψ |

Anwendungauf

| ϕ >

^:

P ψ | ϕ >= | ψ >

| {z }

”Richtung”

< ψ | ϕ >

| {z }

Gewicht”

Projektionvon

| ϕ >

^auf

ψ

Esgilt:

P _ψ ² = P ψ



P _ψ ² | ϕ >= P ψ | ψ >< ψ | ϕ >= | ψ > < ψ | ψ >

| {z }

1

< ψ | ϕ >= | ψ >< ψ | ϕ >= P ψ | ϕ >





Beispielim

R ³

:

~a =



 0 0 1



 P a = ~a~a ^t =



 0 0 1



 0 0 1

=





0 0 0 0 0 0 0 0 1



 P _a ² = P a

P~b =





0 0 0 0 0 0 0 0 1







 b 1

b 2

b 3



 = b 3



 0 0 1





| {z }

Richtung ~ a

Anwendung desProjektorsaufeinenUnterraum:

Seien

| ψ 1 >, ..., | ψ 2 >

orthonormierteket:

< ψ i | ψ j >= δ ij

^für

1 ≤ i, j ≤ q

durh

| ψ 1 >

^...

| ψ q >

aufgespannterUnterraum

H q

Dannist

P q = P j

i=1 | ψ i >< ψ j |

^Projektorauf

H q

z.z

P ² = P

^:

P _q ² = P q

i,j=1 | ψ i > < ψ i | ψ j >

| {z }

δ ij

< ψ j | = P q

i=1 | ψ i >< ψ i | = P q

Sei

| ϕ > ǫH

^beliebig:

P q | ϕ >= P q

i=1 | ψ i >< ψ i | ϕ >

Projektionvon

| ϕ >

^aufUnterraum

H q

4. HermitesheKonjugation

Aangewandtauf

| Ψ >

^liefertA

| Ψ >

Denitionvon

A ⁺ (linear) : | Ψ ^′ >= A | Ψ > ↔ < Ψ | =< Ψ | A ⁺

Esfolthierraus:Skalarprodukt

h Ψ ^′ | φ i = h φ | Ψ ^′ i ^∗ → h Ψ | A ⁺ | φ i = h φ | A | Ψ i ^∗

Beahte:

A | Ψ >= | AΨ >

Shreibweise

< AΨ | =< Ψ | A ⁺

Eigenshaften:

A ⁺ ) ⁺ = A

(λA) ⁺ = λ ^∗ A ⁺ λ ∈ C (AB) ⁺ = B ⁺ A ⁺

| φ >= AB | Ψ >= A | χ >

< φ | =< Ψ | (AB) ⁺ =< χ | A ⁺ =< Ψ | B ⁺ A ⁺

Anmerkungen:

Λ ,

Einheitsmatrix

+transponiertundkomplexkonjugiert

*komplexkonj.

zuAadjungierterOperator

A ⁺ :

φ | A ⁺ | ψ

= h ψ | A | φ i ^∗

Eigenshaften:

(A ⁺ ) ⁺ = A (λA) ⁺ = λ ^∗ A ⁺ , λ ∈ C ;

(AB) ⁺ = B ⁺ A ⁺

BetrahenOperator:

| u >< c |

Esist

( | u >< v | ) ⁺ = | v >< u |

Beweis:

< ϕ | ( | u >< v | ) ⁺ | ψ >= (< ψ | u >< v | ϕ >) ^∗

=< ψ | u > ^∗ < v | ϕ > ^∗ =< ϕ | v >< u | ψ >

Speziell:

( | u >< u | ) ⁺ = | u >< u |

DerProjektionsoperatoristhermitesh

HermitesheOperatoren:

A ⁺ = A h ϕ | A | ψ i ^∗ =

ψ | A ⁺ | ϕ

= h ψ | A | ϕ i

A ^∗ = A ^T ↔ A ⁺ = A

WahleinerDarstellungentsprihtderWahleinerorthonormierten(diskret;kon-

tinuierlihe)BasisimZustandsraumH

( {| ket > } )

ZuständewerdendargestelltdurhKomponentenbzgl.dieserBasis.

Operatorenwerdendargestelltdurh Matrizenbzgl.dieserBasis.

Orhonormierungsbedingungen:

{| u i > }

^diskret(kontinuierliheIndizes:ana- log)

< u i | u j >= δ ij

Vollständigkeitsrelation:

{| u i > }

^{bildeteineBasisinH,wennjeder}

| ψ > ∈ H

aufgenau eineWeise nah

| u i >

^{entwikeltwerdenkann.}

| ψ >= P

i c i | u i >

^und

c j = h u j | ψ i

| ψ >= P

i h u i | ψ i | u i >= P

i | u i >< u i | ψ >= ( P

i | u i >< u i | ) | ψ >

Sei

Λ

EinheitsoperatorinH:

P _{ u i } = P

i | u i >< u i | = Λ ←

Vollständigkeitsrelation 3.3.1 Darstellung der ket, Bra, undOperatore

ˆ

→ Ket | ψ >

^{in der durh die Basiskets}

{| u i > }

harakterisierten Darstel- lungentsprihtdereinspaltigen Matrix



  h u 1 | ψ i

.

.

.

h u n | ψ i



  =



  c 1

.

.

.

c n



 

ˆ

→ Bra < ψ |

^inderdurh

{| u i > }

^har.Darstellung:einzeiligeMatrix

( h ψ | u 1 i ... h ψ | u n i ) = (c ^∗ ₁ ...c ^∗ _n )

ˆ

→ Operator A

^inderdurh

{| u i > }

harakterisiertenDarstellung:

A ij =<

u i | A | u j >

h u i | AB | u j i = h u i | A I B | u j i =

u i | AP _{ k } B | u j

= P

k h u i | A | u k i h u k | B | u j i = P

k A ik B kj →

Matrixmultiplikation

ˆ

→ M atrixdarstellung | ψ ^′ >= A | Ψ >

^{in der}

{| u i > }

Darstellung:

c ^′ _i = h u i | ψ ^′ i = h u i | A | ψ i =

u i | AP _{ u j } | ψ

= P

j h u i | A | u j i h u j | ψ i = P

j A ij c j

ˆ Darstellungvon

h φ | A | ψ i

inder

{| u i > }

Darstellung:

h φ | A | ψ i = P

ij h φ | u i i h u i | A | u j i h u j | ψ i = P

ij b ^∗ _i A ij c j

ˆ DarstellungdeszuAhermitesh konjugiertenOperators

A ⁺

inder

{| u i > }

Darstellung:

(A ⁺ ) ij = A ^∗ _ji

[

(A ⁺ ) ij = h u i | A ⁺ | u j i = h u j | A | u i i ^∗ = A ^∗ _ji

^℄

ˆ FürhermiteshenOperator

A ⁺ = A :

A ij = A ^∗ _ji

^und

A ii = A ^∗ _ii

IngegebenerDarstellungsindbra,ketundOperatorendurh eineMatrixdar-

gestellt.

Darstelungswehsel

→

^{dieselbenObjekte sinddurh eineandere Matrixdarge-}

stellt.Frage:WiehängendieseMatrizenzusammen?

ÜbergangvonBasis

{| u i > }

^zuBasis

{| t k > }

^{:festgelegtdurh}Komponentender neuenBasisvektorenbzgl.deralten Basis:

| t k >= P

i h u i | t k i

| {z }

Komponenten von | t k > bzgl. {| u i > }

| u i >

Matrix(Einführung):

S ik ≡ < u i | t k >

(S _ki ⁺ ) = (S ik ) ^∗ =< t k | u i >

Sistunitär:

SS ⁺ = S ⁺ S = I

Beweis:

(SS ⁺ ) ij =

vollst¨ andig

z }| { X

k

h u i | t k i

| {z }

S ik

h t k | u j i

| {z }

S ⁺ _kj

= h u i | u j i

orthonormiert

z}|{ = δ ij

VerallgemeinerungderDrehungaufkomplexeVektoren.

orthogonaleDrehmatrix:

A ^T A = Λ

ˆ NeueKomponentendes

ket | ψ >:

h t k | ψ i = h t k | I | ψ i =

t k | P _{ k i } | ψ

= P

i h t k | u i i h u i | ψ i = P

i S ⁺ _ki | ψ > → h t k | ψ i = P

i S _ki ⁺ c i

ˆ NeueKomponentendesbra:

h φ | t k i = h φ | Λ | t k i =

φ | P _{ ki } | t k

= P

i h φ | u i i

| {z }

b ^∗ _i

h u i | t k i

| {z }

S ik

ˆ NeueKomponenteneinerMatrix:

A ^′ _KL = h t k | A | t l i =

t k | P _{{ u i }} AP _{{ u j }} | t l

= P

ij h t k | u i i h u i | A | u j i h u j | t l i = P

ij S _ki ⁺ A ij S jl

3.4 Eigenwert-Gleihungen / Observablen

3.4.1 Eigenwerte/Eigenvektoren

Denition:

Ket | ψ >

^sei Eigenvektor(oderEigenket) des linearenOperators A, wennmit einerkomplexenZahl

λ

^{diefolgendeBeziehunggilt:}

A | ψ >=

Eigenwert(=EW)

z}|{ λ | ψ >

| {z }

Eigenvektor(=EV )

( ∗ )

GesamtheitderEigenwerte:SpektrumvonA.

ˆ

λ

^{einfaherEigenwert}

⇔

^zu

λ

^{gehörigeEV isteindeutigfestgelegt (bisauf}

einenkonst.Faktor:

| ψ >

^{seiEVzuA mitEW}

λ; α ∈ C

A(α | ψ >) = αA | ψ >= αλ | ψ >= λ(α | ψ >); e ^iθ | ψ >

^kanndranmultipli- ziertwerden.)

ˆ

λ

^{istg-fah entartet}

⇔

^glinearunabhängige EVzu

λ : | φ ^′ >; i = 1....g

Diesespanneneineng-dimensionalenEigenraumauf (jedeLiearkombina-

tionistwiederEV)denn:

| ψ >= P g

i=1 c i | ψ ⁱ >

^{istEVvonA zu}

λ; c i ∈ C : A | ψ >= P g

i=1 c i A | ψ ⁱ >= P g

i=1 c i λ | ψ ⁱ >= λ P g

i=1 c i | ψ ^′ >= λψ >

Beispiel:Projektionsoperator

P ψ = | ψ >< ψ | h ψ | ψ i = 1

EW-Gleihung:

P ψ | φ >= λ | φ > → | ψ >< ψ | φ >= λ | φ >

EVvon

P ψ :

| ψ >, λ = 1 | ψ >< ψ | ψ >= λ | ψ >

allezu

| ψ >

orthogonalen

kets | φ >

^mit

λ = 0 | ψ >< ψ | φ >= λ | φ >

Spektrumvon

P psi : 0, 1

Bemerkung:konjungierteEW-Gleihung:

< ψ | A ⁺ = λ ^∗ < ψ |

3.4.2 Bestimmungder EW undEV eines Operators

BeshränkenunsaufZustandsraummit endl.DimensionenN

WähleneinebestimmteDarstellung

{| u i > } : c i ≡ h u i | ψ i A ij = h u i | A | u j i

h u i | A | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j h u i | A | u j i h u j | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j A ij c j = λc i ⇔ P

j A ij c j = P

j λc j δ ij ⇔ X

j

(A ij − λδ ij )c j = 0

HomogenesGleihungssystem:

Hat nur dannLösung

6 = 0

^,wenn

Det(A ij − λ ij ) = 0

CharakteristisheGleihung/Säkulärgleihung

FürNxN-Matrizen:GleihungN-tenGradesfür

λ → N

^{Wurzeln:reell,kom-}

plex,einfahodervielfah.

Durh beliebigen Basiswehsel zeigt man, dass die harakteristishe Glei-

hungunabhängigvonderBasisist.DieEWeinesOperatorssinddieLösungen

seinerharakteristishenGleihung.

FürhermitesheOperatorengilt:

Falls EW

λ

^{n-fah entartet ist}

⇒

^{existieren n linearunabh. EV zu}

λ

^{. Di-}

mension des zugehörigen Eigenraums ist n. ( Operator ist diagonalisierbar

)

ImfolgendenseiAhermitesh:

A = A ^t

(i)DieEigenwerteeinesheriteshenOperatorssindreel.

Dennesgilt:

A | ψ >= λ | ψ >

^fürEV

| ψ >

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ ^∗ h ψ | ψ i = h ψ | A | ψ i ^∗ =

ψ | A ^T | ψ

|{z} =

A hermitesch

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ

^istreell

Füralle

ϕ

^:

h ψ | A | ψ i =

ϕ | A ^T | ψ _∗

|{z} =

A hermitesch

h ϕ | A | ψ i ^∗ =

|{z}

h ϕ | ψ i∗ = h ψ | ϕ i

λ ^∗ h ψ | ϕ i = λ h ψ | ϕ i h ψ | A | ϕ i = λ h ψ | ϕ i

^{oderAwirktnahlinks}

< ψ | A = λ < ψ |

(ii) Zwei Eigenvektoreneines hermiteshenOperatorszu vershiedenen Eigen-

werten stehenorthogonal.

A | ψ >= λ | ψ >

A | ϕ >= µ | ϕ >

< φ | A | ψ >=

( λ h φ | ψ i nach rechts

µ h φ | ψ i nach links → (λ − µ) h φ | ψ i = 0, F ur λ ¨ 6 = µ → h φ | ψ i = 0

Denition: Ein hermitesher Operator A ist eine Observable, wenn dessen

EigenvektorenimZustandsraumeineBasisbilden.D.h.jederZustandkannnah

EigenvektorenderObservablenentwikeltwerden.

Beispiele:

1. Hamilton-Operator:Energie-Eigenzuständesindvollständig.

2. Projektionsoperator

P ψ ≡ | ψ >< ψ |

^mit

< ψ | ψ >= 1

(a)

P ψ

^{isthermitesh. EinEW=1,alleanderenEW=0}

(b)

| ψ >= P ψ | φ >

| {z }

≡| φ i >

+ ( I − P ψ ) | φ >

| {z }

≡ φ 2

| φ 1 >= P ψ | φ >

^{ist EV von}

P ψ

^{zum EW 1. Denn}

P ψ (P ψ | φ >)

| {z }

| φ 1 >

=

P ψ | φ >= P ψ | φ >

| {z }

| φ 1 >

| φ 2 >= (1 − P ψ ) | φ >

^{ist EV von}

P ψ

^{zum EW 0. Denn}

P ψ | φ 2 >=

P ψ (1 − P ψ ) | φ >= (P ψ − P _ψ ²

|{z}

P ψ

) | φ >= 0 | φ 2 >

⇒

^Jeder

ket | ψ >

^{kannnahdenEVvon}

P ψ

^{entwikeltwerden}

→ P ψ

istObservable.

Satz1: Esgelte

[A, B] = AB − BA = 0

^und

A | ψ >= λ | ψ > ⇒ B | ψ >

^istEV

vonAmit demselbenEW.

Denn:

A | ψ >= λ | ψ > BA | ψ >= Bλ | ψ >

|{z}

[A,B]

A (B | ψ >) = λ (B | ψ >)

Satz2: Esgelte

[A, B] = 0

^;

A | ψ 1 >= λ 1 | ψ 1 > ; A | ψ 2 >= λ 2 | ψ 2 > ⇒ h ψ 2 | B | ψ 1 i = 0

^mit

λ 1 6 = λ 2

Denn

0 = h ψ 2 | AB − BA | ψ 1 i = λ 2 h ψ 2 | B | ψ 1 i− λ 1 h ψ 2 | B | ψ 1 i = (λ 1 − λ 2 ) h ψ 2 | B | ψ 1 i ; λ 1 6 = λ 2

^Behauptung

ZentralerSatz:

Satz3: Falls[A,B℄=0

⇒

^{Existierteine}othonormierteBasis mitBasisvektoren, diesimultanEigenvektorenzuAundBsind.

(i)

| u i >

^{seiEVzuAmit niht-entartetemEW}

a i

^.

B | u i >

^istEVzuA

Alsoproportionalzu

| u i >

^;Koezient=

b i ⇒ B | u i >= b i | u i >

(ii)Sei

a i

^{m-fahentartet}

| u ⁱ _j >, j = 1...m ; A | u ⁱ _j = a i | u ⁱ _j >

orthonormiert

u ⁱ _j | u ⁱ _k

= δ jk

^;

j, k = 1...m B | u ⁱ _j >

^istEVzuA

B | u ⁱ _j >= P m

k=1 β jk | u ⁱ _k > β jk

^{isthermitesh(Bhermitesh)undsomitdiag-}

onalisierbardurhunitäreTransformation.

U ^{− 1} βU = β diag =



  β 1

.

.

.

β m



 

WählealsoneueBasis-Vektoren

| u ˆ ⁱ _l >= P

j U _lj ^{− 1} | u ⁱ _j >

| u ˆ ⁱ _l >

^{istEV zuAmitEW}

a i

IstEVzuBmitEW

β l ,

^denn

P

j BU _lj ^{− 1} | u ⁱ _j >= P

j,l ^′ U _lj ^{− 1} β jl ^′ | u ⁱ _l ′ >= X

j,l ^′ ,n

U _lj ^{− 1} β jk (U

| {z }

(β diag ) ln

U _nl ^{− 1} ′ | u ⁱ _l ′ >

| {z }

| u ˆ ⁱ _n >

B | u ˆ ⁱ _l >= P

n (b diag ) lu | u ˆ ⁱ _n >= β l | u ˆ ⁱ _l >

VollständigerSatz kommutierender Observabler(v.S.k.O)

1. Alle Operatorenvertaushenuntereinander

2. Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren reiht aus, um (bis auf

einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.

Bzw:WenneineorthonormierteBasisgemeinsamerEVexistiertunddiese

Basis(bisaufeinenFaktor) eindeutigist.

DieseEigenvektorensindsomiteindeutigdurhdieEW haraktersisiert.

Beispiele:

ˆ EindimensionalePotentiale:

χ

^oderP

A,B

(a i , b i ) e ^iϕ | ψ > | h ψ | ψ i = I

ˆ DreidimensionaleProbleme: X,Y,Zoder

P x , P y , P z

drehinvariantesPoten- tial

H, L ² , L z

^{(siehespäter)}

Bemerkungen:

Wenn

O

^{mit allen Operatoren eines} vollständigen Satzes vertausht,ist er keineFunktion dieserOperatoren.

1-dimensionales

O

^{vertaushtmitX}

O

^{istFkt. vonX.}

ket (oderauhbra)werdenoftdurhdieEWeinesvollst. Satzesharak-

terisiert:

ˆ

| p >

^{entsprihtderebenenWellemit Impulsp}

ˆ

| E o >

^entsprihtdemGrundzustand desH-Operators

| n, l, m >

^entsprihtEigenzustandmitEnergie

∼ n ²

^,Drehimpuls

L ² = l · (l + 1) ~ L z = m ~

WihtigeBeispiele:

ˆ ObservableImpuls

Basis

v o (~r)

| {z }

| p o ~ >

= (2π ~ ) ^{− 3/2} e ^{i/~ p ~ 0 ~ r} { Eigenzust¨ ande, | p ~ 0 > } = Basis

orthonormiert:

D ~ p 0 | p ~ ^′ ₀ E

= δ

~ p 0 − p ~ ^′ ₀

vollständig:

´ d ³ p 0 | p ~ 0 ih p ~ o | = I | ψ >= ´

d ³ p 0 | p ~ 0 > h p ~ 0 | ψ i

und

h p ~ 0 | ψ i = ´

d ³ r · v _p ^∗ _{~ 0} (~r)ψ(~r) Impulsdarstellung : h p ~ 0 | ψ i = ˜ ψ(p 0 )

ˆ ObservableOrt:

{ Eigenzust¨ ande | ~r 0 > } = Basis

orthonormiert:

< ~r 0 | ~r ^′ ₀ = δ(~r 0 − ~r ^′ ₀ )

vollständig:

ˆ

d ³ r 0 | ~r 0 i h ~r

⁰

| = 1

| ψ >=

ˆ

d ³ r 0 | ~r 0 > h ~r 0 | ψ i

Ortsdarstellung:

h ~r 0 | ψ i = ψ(~r 0 )

ImfolgendenlassenwirdieIndizes

” 0 ”

^weg.

ˆ ObservableEnergie: