−̵h2∇2 2m +V(r)]ψ(r, t) =i̵h∂tψ(r, t) (1) Mit dem Ansatz ψ(r, t

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungsklausur zur Modernen Theoretischen Physik I (L¨¨ osungen) SS 15

Prof. Dr. J¨org Schmalian

Dr. Andreas Poenicke, Patrik Hlobil 3.6.15

1. Warm-Up Fragen (5 Punkte)

(a) (1 Punkt) Die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung in 3 Dimensionen im PotentialV(r) lautet (in Ortsdarstellung)

[

−̵h²∇²

2m +V(r)]ψ(r, t) =i̵h∂tψ(r, t) (1) Mit dem Ansatz ψ(r, t) = e^−iEt/̵hψ(r) bekommen wir hiermit die station¨are Schr¨odin- gergleichung

[

−̵h²∇²

2m +V(r)]ψ(r) =Eψ(r) (2)

(b) (1 Punkt) Wennpder Impuls undkder Wellenvektor,Edie Energie undωdie Frequenz ist, gelten die Beziehungen

p = hk̵

E = hω̵ (3)

DaE= ^p

2

2m folgt direkt

ω= h̵

2mk². (4)

(c) (1 Punkt)

En= ̵hω0(n+ 1

2) (5)

mit ganzzahligemn≥0 und ω0=

√

k m.

(d) (1 Punkt) Wie man aus der Schr¨odingergleichung herleiten kann (siehe auch Script) gilt:

j=

̵h

2im(ψ^∗∇ψ− (∇ψ^∗)ψ) (6)

(e) (1 Punkt) Ja! Die Phase bestimmt die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j¨uber j(r,t) = ρ(r,t)

m ∇S(r,t). (7)

Nur eine konstante Phase∇S(r,t) =0 ist nicht detektierbar.

2. Kommutatoren und Algebra (5 Punkte)

(a) (2 Punkte) Es gilt

[ˆxⁿ_j,pˆ_k] = [ˆx_jxˆⁿ⁻¹_j ,pˆ_k] =xˆ_j[ˆxⁿ⁻¹_j ,pˆ_k] + [ˆx_k,pˆ_k]ˆxⁿ⁻¹_j =xˆ_j[ˆx_jxˆⁿ⁻²_j ,pˆ_k] + [ˆx_k,pˆ_k]ˆxⁿ⁻¹_j

=xˆ²_j[ˆxⁿ⁻²_j ,pˆk] +xˆj[ˆxj,pˆk]ˆxⁿ⁻²_j + [ˆxk,pˆk]ˆxⁿ⁻¹_j =. . .=

n−1

∑

m=0

ˆ

x^m_j [ˆxj,pˆk]

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

i̵hδ_j,k

ˆ x^n−1−m_j

=ihδ̵ _j,k

n−1

∑

m=0

ˆ

x^m_j xˆ^n−1−m_j =ihδ̵ _j,kxˆⁿ⁻¹_j

n−1

∑

m=0

=i̵hnδ_j,kxˆⁿ⁻¹_j (8) Alternativ ¨uber vollst¨andige Induktion:

1

Induktionsanfang: Betrachte f¨urn=1

[ˆxj,pˆk] =i̵hδj,k

√ (9)

Induktionsvermutung: F¨ur einn∈Ngelte[ˆxⁿ_j,pˆk] =i̵hnδj,kxˆⁿ⁻¹_j . Induktionsschluss: n→n+1:

[ˆxⁿ⁺¹_j ,pˆ_k] =xˆ_j[ˆxⁿ_j,pˆ_k] + [ˆx_j,pˆ_k]ˆxⁿ_j ^IV= xˆ_jihnδ̵ _j,kxˆⁿ⁻¹_j +i̵hδ_j,kxˆⁿ_j =ih(n̵ +1)δ_j,kxˆⁿ_j √ (b) (2 Punkte) Es gilt

[V(ˆx),p] =ˆ

∞

∑

m=0

Vm[ˆx^m,p] =ˆ ih̵

∞

∑

m=1

Vmmˆx^m−1=i̵hV^′(ˆx) (10) (c) Wenn gilt[X,ˆ Yˆ] ≠0, so ist es nicht m¨oglich beide Gr¨oßen gleichzeitig scharf zu messen.

Wenn jedoch gilt[X,ˆ Yˆ] =0, so lassen sich gemeinsame Eigenfunktionen

Xˆ∣x, y⟩ =x∣x, y⟩ Yˆ∣x, y⟩ =y∣x, y⟩ (11) finden.

3. Zeitentwicklung und harmonischer Oszillator (5 Punkte)

(a) (2 Punkte) Wir schreiben zun¨achst die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung und ihr her- mitesch konjugiertes hin:

i̵h∂_t∣ψ(t)⟩ =Hˆ∣ψ(t)⟩ (12)

−i̵h∂t⟨ψ(t)∣ = ⟨ψ(t)∣Hˆ (13)

Damit folgt nun

ih∂̵ t⟨A⟩ˆ _t=i̵h∂t⟨ψ(t) ∣Aˆ∣ψ(t)⟩ =i̵h(∂t⟨ψ(t)∣)Aˆ∣ψ(t)⟩ +i̵h⟨ψ(t)∣A(∂ˆ t∣ψ(t)⟩)

= −(⟨ψ(t)∣H)ˆ Aˆ∣ψ(t)⟩ + ⟨ψ(t)∣A(ˆ Hˆ∣ψ(t)⟩) = ⟨ψ(t) ∣AˆHˆ −HˆAˆ∣ψ(t)⟩

= ⟨[A,ˆ Hˆ]⟩_t (14)

(b) (1 Punkt) Es ist trivial, dass gilt[ˆa,a] = [ˆˆ a^„,ˆa^„] =0 und wir bekommen:

[ˆa,ˆa^„] =mω 2̵h[ˆx+ i

mωp,ˆ ˆx+ i

mωp] =ˆ mω 2h̵

i

mω(− [ˆx,p]ˆ

²

ih̵

+p,ˆx]ˆ

±

−i̵h

) =1 (15)

(c) (2 Punkte) Wir berechnen

∂_t⟨ˆa⟩_t= 1

ih̵⟨[ˆa,Hˆ]⟩_t= 1

ih̵⟨[ˆa,hω(ˆ̵ a^„ˆa+1/2)]⟩_t= −iω⟨[ˆa,ˆa^„ˆa]⟩_t= −iω⟨ˆa⟩_t (16) Komplex konjugieren der Gleichung liefert (alternativ einfach ausrechnen wie zuvor):

∂t⟨ˆa^„⟩_t=iω⟨ˆa^„⟩_t (17) Die beiden Differentialgleichungen werden einfach gel¨ost durch

⟨ˆa^„⟩_t= ⟨ˆa^„⟩_t=0e^iωt ⟨ˆa⟩_t= ⟨ˆa⟩_t=0e^−iωt (18) 4. Unendlich hoher Potentialtopf (5 Punkte)

2

(a) (2 Punkte) Im Potentialtopf gilt die Schr¨odingergleichung h̵²∂²_x

2m ψ(x) =Eψ(x) (19)

und wir haben die Randbedingungen

ψ(0) =ψ(a) =0 (20)

Die L¨osungen von (19) sind nat¨urlich gerade sin(k⋅x)und cos(k⋅x)mit den Eigenenergien E= ̵h²k²/2m, wobei die Randbedingungen die Cosinusl¨osung verbietet. Mit (20) finden wir dann

sin(k⋅a) =0 → k⋅a=n⋅π n∈N (21)

und damit sind die Eigenfunktionen und Eigenenergien gegeben durch En=

h̵²π²n²

2ma² ψn=cnsin(nπx/a) (22)

Wir ben¨otigen nun noch die Normierungskonstante 1/c²_n= ∫

a 0

dxsin²(nπx/a) = a nπ∫

nπ 0

dzsin²(z) = a nπ ⋅n∫

π 0

sin²(z)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

π/2

= a

2 (23)

(b) F¨urn=mgilt nat¨urlich da wir in (a) normiert haben

⟨ψn∣ψn⟩ = ∣∣ψn∣∣²=1 (24)

F¨urn≠mgilt hingegen

⟨ψn∣ψm⟩ = 2 a∫

a 0

dxsin(nπx/a)sin(mπx/a) = 2 a

a π∫

π 0

dzsin(nz)sin(mz)

=

−1 2π∫

π 0

dz[e^inz−e^−inz][e^imz−e^−imz]

=

−1 2π∫

π 0

dz[e^i(n+m)z+e^−i(n+m)z−e^i(n−m)z−e^−i(n−m)z]

=

−1 π ∫

π 0

dz[cos[(n+m)z] −cos[(n−m)z]]

=

−1 π[

sin[(n+m)z]

n+m −

sin[(n−m)z]

n−m ]

π

0

=0 (25)

Damit gilt also

⟨ψ_n∣ψ_m⟩ =δ_n,m (26)

und die Eigenfunktionen bilden ein Orthonormalsystem.

Alternativ: Hˆ ist ein hermitescher Operator und wir haben in (a) gezeigt, dass die Eigenenergien nicht-entartet sind. Damit sind die Eigenfunktionenψ_n zu diesennicht- entartetenEigenenergien automatisch orthogonal.

(c) Die Zeitentwicklung f¨ur die Eigenzust¨ande ist nat¨urlich

∣1(t)⟩ =e^{−iHt/̵ˆ h}∣1⟩ =e^−iE1t/̵h∣1⟩ (27)

∣2(t)⟩ =e^−iE2t/̵h∣2⟩ (28)

und damit gilt

∣ψ(t)⟩ = ∣1(t)⟩ + ∣2(t)⟩

√

2 =

e^−iE1t/̵h∣1⟩ +e^−iE2t/̵h∣2⟩

√

2 (29)

Die Wahrscheinlichkeit die EnergieE₁(und damit den Zustand∣1⟩) zu messen ist damit P_∣ψ(t)⟩(1) = ∣⟨ψ(t)∣∣1⟩⟩∣²= ∣

e^−iE1t/̵h

√ 2 ∣

2

= 1

2 (30)

3