a) Berechnen Sie R Rdx ψ∗(x, t)ψ(x, t)

Institut f¨ur Theoretische Physik der Universit¨at Karlsruhe Prof. Dr. F. R. Klinkhamer, Dr. Ch. Rupp

Theoretische Physik D im Sommersemester 2006 Ubungsblatt 6¨

Name: Tutorium:

Abgabe bis Dienstag, 6.6.06, 11:30 Punkte:

Aufgabe 14: Unsch¨arfe eines Gaußschen Wellenpaketes 4 Punkte

Gegeben Sei das Gaußsche Wellenpaket aus Aufgabe 6, ψ(x, t) =N(t) e^iφ(x,t) exp

·

−(x−x₀(t))² 4σ(t)²

¸ , wobei

N(t) =

√π

³

α²+_4m^~22 t²

´_1/4 , σ(t)²= α²+_4m^~22 t²

α ,

x₀(t) = ~k₀

m t , φ(x, t) =k₀x−ω₀t−θ(t) 2 +

2m~ t(x−x₀(t))² 4α σ(t)² , θ(t) = arctan ~t

2mα ω₀= ~k₀²

2m . a) Berechnen Sie R

Rdx ψ^∗(x, t)ψ(x, t). (1 Punkt)

b) Berechnen Sie f¨ur alle Zeitentdie Orts- und Impulsunsch¨arfen

∆x=p

h(x− hxi)²i, ∆p=p

h(p− hpi)²i sowie das Unsch¨arfeprodukt ∆x∆p. (3 Punkte)

Hinweis: Verwenden Sie die Informationen aus den Aufgaben 5, 6 und 12.

Heisenberg f¨ahrt auf der Autobahn und wird von der Polizei angehalten. Der Beamte verlangt nach dem F¨uhrerschein und dem Fahrzeugschein, schaut sich diese an und fragt: ”Herr Heisenberg, wissen Sie, wie schnell Sie gefahren sind?” ”Nein”, antwortet Heisenberg, ”aber daf¨ur weiß ich genau, wo ich bin!”

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Aufgabe 15: Mikroskop und Unsch¨arferelation 4 Punkte

Der Ort eines Elektrons soll bestimmt werden, indem man dieses durch ein Mikroskop betra- chtet. Hierf¨ur wird eine Linse mit Durchmesser Dund Brennweite f verwendet. Wir stellen uns vor, daß das Elektron an die Objektebene des Mikroskops gebunden ist. Das Elektron wird von links mit Licht der Wellenl¨ange λ beleuchtet (siehe Skizze). Das Licht stellen wir uns als einen Strom von Photonen vor, die mit dem Elektron elastisch zusammenstoßen und teilweise zur Linse und dann in die Bildebene gestreut werden.

Im Folgenden betrachten wir nur diex-Komponente von Ort und Impuls.

Wie genau kann das Elektron nach den Regeln der klassischen Optik mit einem solchen Mikroskop lokalisiert werden (dies liefert uns die Ortsunsch¨arfe ∆x)?

Wir betrachten den einfachen Spezialfall, daß das Elektron vor der Wechselwirkung mit einem Photon im Brennpunkt der Linse ruht (das Elektron wird also wie ein klassisches Teilchen behandelt). Angenommen, ein Photon st¨oßt mit dem Elektron zusammen und wird in die Bildebene gestreut. In welchem Bereich kann dann der Impuls des Elektrons nach dem Stoß liegen, d.h. wie groß ist die Impulsunsch¨arfe ∆p?

Berechnen Sie das Unsch¨arfeprodukt ∆x∆pf¨ur den Fall kleiner Winkel.

Aufgabe 16: Unsch¨arfe in der klassischen Mechanik 4 Punkte

Wir betrachten ein Punktteilchen der Masse m, das sich gem¨aß den Gesetzen der klassischen Mechanik in einer Dimension frei bewegt. Zur Zeit t= 0 seien Ort und Impuls des Teilchens aufgrund einer ungenauen Messung nicht genau bekannt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ur Ort und Impuls habe die Form f(x, p) = g(x)h(p). Die Wahrscheinlichkeit, daß der Ort des Teilchens zur Zeitt= 0 im Intervall [x₁, x₂] liegt, ist also R_x2

x1 dx g(x); die Wahrscheinlichkeit, daß der Impuls des Teilchens zur Zeit t= 0 im Intervall [p₁, p₂] liegt, ist R_p2

p1 dp h(p).

Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung f¨ur Ort und Impuls des Teilchens zur Zeitt >0 und dr¨ucken Sie diese durch die entsprechenden Erwartungswerte und Standardab- weichungen zur Zeit t= 0 aus.

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