Bestimmung der EW und EV eines Operators - Eigenwert-Gleihungen / Observablen

3.4 Eigenwert-Gleihungen / Observablen

3.4.2 Bestimmung der EW und EV eines Operators

BeshränkenunsaufZustandsraummit endl.DimensionenN

WähleneinebestimmteDarstellung

{| u i > } : c i ≡ h u i | ψ i A ij = h u i | A | u j i

h u i | A | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j h u i | A | u j i h u j | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j A ij c j = λc i ⇔ P

j A ij c j = P

j λc j δ ij ⇔ X

j

(A ij − λδ ij )c j = 0

HomogenesGleihungssystem:

Hat nur dannLösung

6 = 0

^,^wenn

Det(A ij − λ ij ) = 0

CharakteristisheGleihung/Säkulärgleihung

FürNxN-Matrizen:GleihungN-tenGradesfür

λ → N

^Wurzeln:^reell,

kom-plex,einfahodervielfah.

Durh beliebigen Basiswehsel zeigt man, dass die harakteristishe

Glei-hungunabhängigvonderBasisist.DieEWeinesOperatorssinddieLösungen

seinerharakteristishenGleihung.

FürhermitesheOperatorengilt:

Falls EW

λ

^n-fah ^entartet ^ist

⇒

^existieren ⁿ ^linear^unabh. ^EV ^zu

λ

Di-mension des zugehörigen Eigenraums ist n. ( Operator ist diagonalisierbar

)

ImfolgendenseiAhermitesh:

A = A ^t

(i)DieEigenwerteeinesheriteshenOperatorssindreel.

Dennesgilt:

A | ψ >= λ | ψ >

^für^EV

| ψ >

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ ^∗ h ψ | ψ i = h ψ | A | ψ i ^∗ =

ψ | A ^T | ψ

|{z} =

A hermitesch

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ

^ist^reell

Füralle

ϕ

h ψ | A | ψ i =

ϕ | A ^T | ψ _∗

|{z} =

A hermitesch

h ϕ | A | ψ i ^∗ =

|{z}

h ϕ | ψ i∗ = h ψ | ϕ i

λ ^∗ h ψ | ϕ i = λ h ψ | ϕ i h ψ | A | ϕ i = λ h ψ | ϕ i

^oder^A^wirkt^nah^links

< ψ | A = λ < ψ |

(ii) Zwei Eigenvektoreneines hermiteshenOperatorszu vershiedenen

Eigen-werten stehenorthogonal.

A | ψ >= λ | ψ >

A | ϕ >= µ | ϕ >

< φ | A | ψ >=

( λ h φ | ψ i nach rechts

µ h φ | ψ i nach links → (λ − µ) h φ | ψ i = 0, F ur λ ¨ 6 = µ → h φ | ψ i = 0

Denition: Ein hermitesher Operator A ist eine Observable, wenn dessen

EigenvektorenimZustandsraumeineBasisbilden.D.h.jederZustandkannnah

EigenvektorenderObservablenentwikeltwerden.

Beispiele:

1. Hamilton-Operator:Energie-Eigenzuständesindvollständig.

2. Projektionsoperator

P ψ ≡ | ψ >< ψ |

^mit

< ψ | ψ >= 1

(a)

P ψ

^ist^hermitesh. ^Ein^EW=1,^alle^anderen^EW=0

(b)

| ψ >= P ψ | φ >

| {z }

≡| φ i >

+ ( I − P ψ ) | φ >

| {z }

≡ φ 2

| φ 1 >= P ψ | φ >

^ist ^EV ^von

P ψ

^zum ^EW ^1. ^Denn

P ψ (P ψ | φ >)

| {z }

| φ 1 >

=

P ψ | φ >= P ψ | φ >

| {z }

| φ 1 >

| φ 2 >= (1 − P ψ ) | φ >

^ist ^EV ^von

P ψ

^zum ^EW ^0. ^Denn

P ψ | φ 2 >=

P ψ (1 − P ψ ) | φ >= (P ψ − P _ψ ²

|{z}

P ψ

) | φ >= 0 | φ 2 >

⇒

^Jeder

ket | ψ >

^kann^nah^den^EV^von

P ψ

^entwikelt^werden

→ P ψ

istObservable.

Satz1: Esgelte

[A, B] = AB − BA = 0

^und

A | ψ >= λ | ψ > ⇒ B | ψ >

^ist^EV

vonAmit demselbenEW.

Denn:

A | ψ >= λ | ψ > BA | ψ >= Bλ | ψ >

|{z}

[A,B]

A (B | ψ >) = λ (B | ψ >)

Satz2: Esgelte

[A, B] = 0

A | ψ 1 >= λ 1 | ψ 1 > ; A | ψ 2 >= λ 2 | ψ 2 > ⇒ h ψ 2 | B | ψ 1 i = 0

^mit

λ 1 6 = λ 2

Denn

0 = h ψ 2 | AB − BA | ψ 1 i = λ 2 h ψ 2 | B | ψ 1 i− λ 1 h ψ 2 | B | ψ 1 i = (λ 1 − λ 2 ) h ψ 2 | B | ψ 1 i ; λ 1 6 = λ 2

^Behauptung

ZentralerSatz:

Satz3: Falls[A,B℄=0

⇒

^Existiert^eineothonormierteBasis mitBasisvektoren, diesimultanEigenvektorenzuAundBsind.

(i)

| u i >

^sei^EV^zu^A^mit ^niht-^entartetem^EW

a i

B | u i >

^ist^EV^zu^A

Alsoproportionalzu

| u i >

^;^Koezient⁼

b i ⇒ B | u i >= b i | u i >

(ii)Sei

a i

^m-fah^entartet

| u ⁱ _j >, j = 1...m ; A | u ⁱ _j = a i | u ⁱ _j >

orthonormiert

u ⁱ _j | u ⁱ _k

= δ jk

j, k = 1...m B | u ⁱ _j >

^ist^EV^zu^A

B | u ⁱ _j >= P m

k=1 β jk | u ⁱ _k > β jk

^ist^hermitesh^(B^hermitesh)^und^somit

diag-onalisierbardurhunitäreTransformation.

U ⁻ ¹ βU = β diag =



  β 1

β m



 

WählealsoneueBasis-Vektoren

| u ˆ ⁱ _l >= P

j U _lj ⁻ ¹ | u ⁱ _j >

| u ˆ ⁱ _l >

^ist^EV ^zu^A^mit^EW

a i

IstEVzuBmitEW

β l ,

^denn

P

j BU _lj ⁻ ¹ | u ⁱ _j >= P

j,l ^′ U _lj ⁻ ¹ β jl ^′ | u ⁱ _l ′ >= X

j,l ^′ ,n

U _lj ⁻ ¹ β jk (U

| {z }

(β diag ) ln

U _nl ⁻ ¹ ′ | u ⁱ _l ′ >

| {z }

| u ˆ ⁱ _n >

B | u ˆ ⁱ _l >= P

n (b diag ) lu | u ˆ ⁱ _n >= β l | u ˆ ⁱ _l >

VollständigerSatz kommutierender Observabler(v.S.k.O)

1. Alle Operatorenvertaushenuntereinander

2. Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren reiht aus, um (bis auf

einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.

Bzw:WenneineorthonormierteBasisgemeinsamerEVexistiertunddiese

Basis(bisaufeinenFaktor) eindeutigist.

DieseEigenvektorensindsomiteindeutigdurhdieEW haraktersisiert.

Beispiele:

EindimensionalePotentiale:

χ

^oder^P

A,B

(a i , b i ) e ^iϕ | ψ > | h ψ | ψ i = I

DreidimensionaleProbleme: X,Y,Zoder

P x , P y , P z

drehinvariantes Poten-tial

H, L ² , L z

^(siehe^später)

Bemerkungen:

Wenn

O

^mit ^allen ^Operatoren ^eines vollständigen Satzes vertausht,ist er keineFunktion dieserOperatoren.

1-dimensionales

O

^vertausht^mit^X

O

^ist^Fkt. ^von^X.

ket (oderauhbra)werdenoftdurhdieEWeinesvollst. Satzes

harak-terisiert:

| p >

^entspriht^der^ebenen^Welle^mit ^Impuls^p

| E o >

^entspriht^demGrundzustand desH-Operators

| n, l, m >

^entsprihtEigenzustandmitEnergie

∼ n ²

^,^Drehimpuls

L ² = l · (l + 1) ~ L z = m ~

WihtigeBeispiele:

ObservableImpuls

Basis

v o (~r)

| {z }

| p o ~ >

= (2π ~ ) ⁻ ^3/2 e ^i/~ ^p ^~ ⁰ ^~ ^r { Eigenzust¨ ande, | p ~ 0 > } = Basis

orthonormiert:

D ~ p 0 | p ~ ^′ ₀ E

= δ

~ p 0 − p ~ ^′ ₀

vollständig:

´ d ³ p 0 | p ~ 0 ih p ~ o | = I | ψ >= ´

d ³ p 0 | p ~ 0 > h p ~ 0 | ψ i

und

h p ~ 0 | ψ i = ´

d ³ r · v _p ^∗ _~ ₀ (~r)ψ(~r) Impulsdarstellung : h p ~ 0 | ψ i = ˜ ψ(p 0 )

ObservableOrt:

{ Eigenzust¨ ande | ~r 0 > } = Basis

orthonormiert:

< ~r 0 | ~r ^′ ₀ = δ(~r 0 − ~r ^′ ₀ )

vollständig:

ˆ

d ³ r 0 | ~r 0 i h ~r

⁰

| = 1

| ψ >=

ˆ

d ³ r 0 | ~r 0 > h ~r 0 | ψ i

Ortsdarstellung:

h ~r 0 | ψ i = ψ(~r 0 )

ImfolgendenlassenwirdieIndizes

” 0 ”

^weg.

ObservableEnergie:

{ Eigenzust¨ ande | E n > } = Basis

Energiedarstellung:

h E n | ψ i

Funktioneines Operators:

f (A)

IneinerDarstellung,inderAdiagonalist

h i | A | j i = a i δ ij =

Beispiel:

e ^ia ^P ^~

^PImpulsoperator,aKonstante

P | p 0 >= p 0 | p 0 >

D p 0 | V (X ) | p ^′ ₀ E

= ´

dx 1 dx 2 h p o | x 1 i

| {z }

V _p ^∗

0 (x 1 )

h x 1 | V (X ) | x 2 i

| {z }

V (x 2 )δ(x 1 − x 2 )= h x 1 | V (X) | x 2 i

D x 2 | p ^′ ₀ E

| {z }

V p ′ 0

(x 2 )

= ´

dx 1 dx 2 V _p ^∗ ₀ (x 1 )V _p ′

0 (x 2 )V (x 2 )δ (x 1 − x 2 )

= ´

dx 1 V _p ^∗ ₀ (x 1 )V _p ^′

0 (x 1 )V (x 1 ) = ´ dx 1 1

2π~ e ^(i/ ^~ ^)p ^′ ⁰ ^x ¹ e ⁻ ^(i/ ^~ ^)p ^′ ⁰ ^x ¹ V (x 1 )

= √ ¹ 2π ~

´ dx 1 √ 1

2π ~ e ^(i/~)(p ^′ ⁰ ⁻ ^p ⁰ ^)x ¹ V (x 1 )

= ˜ V

p 0 − p ^′ _o / √

2π ~ v p 0 (x) = √ ¹

2π~ e ^ip ^o ^x ^~ h p 0 | H | ψ i = ´

dp ^′ ₀ h p 0 | H | p ^′ ₀ i h p ^′ _o | ψ i

= ´

dp ^′ ₀ _2m ^p ^′ ⁰ ² δ(p 0 − p ^′ ₀ ) h p ^′ ₀ | ψ i + ´ dp ^′ _o

√ 2π~ V ˜ (p 0 − p ^′ ₀ ) h p ^′ ₀ | ψ i

| {z }

ψ(p ˜ ^′ ₀ )

h p 0 | H | ψ i = _2m ^p ² ⁰ ψ(p ˜ 0 ) + ´ dp ^′ _o

√ 2π~ V ˜ (p 0 − p ^′ ₀ ) ˜ ψ(p ^′ ₀ )

→ h p 0 | H | ψ i = E h p 0 | ψ i

Integralgleihung

4 Die Grundpostulate der QM

KlassishesSystem:vollständigharakterisiertdurhgeneralisierteKoordinaten

unddiezugehörigenkonjungiertenImpulse

(q i (t 0 ), p i (t 0 )), i = 1, 2, 3 [p i = _∂q ^∂L _i ]

^Beliebige^Zeit:

q i (t 0 ), p i (t 0 )

⁺Hamiltongleihungen.

dq i

dt = ^∂H _∂p _i ^dp _dt ⁱ = − ^∂H _∂q _i ; H = H (q i , p i , t)

4.1 Die Postulate (1925/26)

1. P1:DerZustandeinesphysikalishenSystemszueinembestimmten

Zeit-punkt

t 0

^wird^durh^einen

ket | ψ(t 0 ) > ∈ H

^deniert

2. P2: Jede messbare physikalishe Gröÿe (Ort, Impuls, Energie,... ) wird

durheinenimZustandsraumH wirkendenhermitishenOperator A

be-shrieben:Observable

3. P3:DiemöglihenMesswertederObservablenAsindihreEigenwerte

Bemerkung:

Aisthermitesh

→

^Messwerte^von^A^sind^reell

Falls das Spektrum von A diskret ist sind die möglihen Resultate

beiderMessungvonAquantisiert

4. P4:

BeiderMessungderphysikalishenGröÿe

A

ⁱⁿ^einem^normierten

Zu-stand

| ψ >:

Wahrsheinlihkeit,den nihtentarteten EW

a n

^der

zu-gehörigenObservlablenA zundengegebendurh:

P (a n ) = | < u n | ψ > | ² ; [A | u n >= a n | u n >]

g-fahentartetes,diskretes Spektrum:

P(a n ) = P g

i=1 | < u ⁱ _n | ψ > | ² g n

^ist^derEntartungsgradvon

a n

{| u ⁱ n > }

^System^vonorthonormiertenVektoren,bildenimEigenraum

H n

^zum^EW

a n

^von^A^eine^Basis.

Niht-entartetes,kontinuierlihesSpektrum

DieWahrsheinlihkeitdafür,dassdieMessungeinenWertzwishen

α

^und

α + dα

^liefert ^ist:

d P(α)

| {z }

W ahrscheinlichkeitsdichte

= | < V α | ψ >

| ² dα; EV der Observablen A mit EW α = V α

Beispiel:

dω(x) = | h x | ψ i | ² dx = | ψ(x) | ² dx

dω(p) = | h p | ψ i | ² dp = | ψ(p) ˜ | ² dp

5. P5:ReduktiondesWellenpakets

NahderMessungmitResultat

a n

^ist^der^Zustand^des^Systemsunmittelbar nahderMessunggleihderauf1normiertenProjektionvon

| ψ >

^auf^den

a n

^gehörenden ^Eigenraum:

ψ ⇒ √ ^P ⁿ ^| ^ψ>

h ψ | P n | ψ i ; P n =

^Projektor ^auf ^den

Zustandmit EW

a n

| ψ >

a n

z}|{ ⇒ 1 pP g n

i=1 | h u ⁱ _n | ψ i | ²

| {z }

<ψ | P n | ψ>

g n

X

i=1

| u ⁱ _n >< u ⁱ _n

| {z }

P n

| ψ >

JedeweitereMessungvon

A

unmittelbardanahändertdenZustand nihtmehr undliefertdasgleiheResultat(gleiheEW).

Sukzessive Messung von Observablen aus einem vollständigen Satz

führt auf einen Zstand, derEigenzustand vonallen Operatoren ist.

Dieseristdann eindeutigfestgelegt.

6. P6:ZeitliheEntwiklungdesZustandsvektors

| ψ(t) >

^bestimmt^durh^die

Shrödingergleihung:

i ~ ∂

∂t | ψ(t) >= H (t) | ψ(t) >

H(t) -derGesamtenergiezugeordneteObservable,

H= Hamiltonoperator,deraus derklassishen Hamiltonfunktion

gewon-nenwird.

Gröÿenabgeleitetwerden.

Ortsdarstellung:

x i → χ i

p i → P i = ^~ _i _∂x ^∂

Berüksihtige:

[χ i , χ j ] = 0 [P i , P j ] = 0 [P i , χ j ] = ^~ _i δ ij

Alle anderen Observablen, die klassish Funktionen von x und p sind,

werdendurhdieseSubstitutiongewonnen:Korrespondenzprinzip.

Wdh:Korrespondenzregeln

Ortsdarstellung:

x i → X i

p i → P i = _i∂x ^~∂ _i ; i = 1, 2, 3

und

[x i , x j ] = [P i , P j ] = 0 [P i , X j ] = ^~ _i δ ij

Beahte:

Symmetrisierungsregel:

~r~ p → ¹ ₂ ( R ~ ~ P + P ~ ~ R)

( R ~ ~ P ) ⁺ = P ~ ⁺ R ~ ⁺ = P ~ ~ R 6 = R ~ ~ P

nihtalleGröÿenhabenklassishesAnalogon(z.B.Spin)

4.2 Interpretationderden Messprozessbetreenden

Pos-tulate

Erwartungswerte

(MittelwertdererhaltenenErgebnisse,wenngroÿeAnzahlvonMessungen

dieserGröÿe anSystemenimZustand

| ψ >

durhgeführtwerden).

EinzelneMessunglieferteinenderEW

a n

^mit Wahrsheinlihkeit:

ω n = | < u n | ψ > | ²

VieleMessungen:

h A i = P

n a n w n = P

n h ψ | u n i a n h u n | ψ i

= P

n h ψ | A | u n i h u n | ψ i = h ψ | A | ψ i

DerErwartungswertAeinerObservablenimZustand

ψ

^erhält^man^durh:

h A i = h ψ | A | ψ i

Falls

| ψ >

^niht^normiert^ist^dann:

h A i = ^h ^ψ _h _ψ ^| ^A _| _ψ ^| ^ψ _i ⁱ

InderPraxiswähltmaneinebestimmte Darstellung:

h X i = h ψ | X | ψ i = ´

Standardabweihung (MaÿfürUnshäftederObservablenbeieinerMessung

imnormiertenZustand

| ψ >

⁾

quadratisheAbweihungvomMittelwert:

h ∆A i = p

Diesgiltauhfür:

Q ^′ = x − h ψ | x | ψ i ≡ ∆x

Präparation eines Zustandes und Dihteoperator Messung einer

Ob-servablenA

⇒

^Nah^der^Messung

| ψ > ǫ

^Eigenraums^des^gemessenen^entarteten

Eigenwertes,abernihteindeutigbestimmt.

(

| ψ ^′ _n >= 1

MessungmitvollständigemSatzkontinuierliherObservablen

→

^nah ^der ^Messung ^Zustand ^eideutig ^bestimmt ^durh ^den gemeinsamen EigenvektorderObservablen

⇒

PräparationdesSystembeibekanntemZustand

keit

p i

ⁱⁿ ^einem ^Zustand

| ψ i >

^, ^wobei ^die ^Summer ^der Wahrsheinlikeiten 1 erbigt:

P

i p i = 1

(statistishesGemish).

Wir wollenvonsolheinem statistishenGEmishden Erwartungswert

be-stimmen:

SpureinesOperators(Denition:)

Spur A = tr A = P

k < φ k | A | φ k >

AusdrukistunabhängigvonderOrthonormalbasis:

P

InsbesondereSp

ρ = P

i,k p i h ϕ k | ψ i i h ψ i | ϕ k i = P

1. Messungeinesentarteten Messwerts

| u ⁱ _n >

Keine Kenntnis des System vorder Messung

→

^alle ^Zustände ^im

Eigen-raumsindgleih wahrsheinlih.

(Entartung

g n

⁾

ρ = _g ¹ _n P g n

n=1 | u ⁱ _n >< u ⁱ _n |

2. Messung von A ohneFeststellung der Messwerte(A diskretes, niht

en-tartetesSpektrum)

→

statistishesGemish derEigenzustände

| u i >

^mit

p i = | h u i | ψ i | ²

^,^wenn^das^System^vor^der^Messung^im^Zustand

| ψ >

^war:

3. Systemimtherodyn. Gleihgewiht:

ρ = Z ⁻ ¹ e ⁻ ^H/kT Z = Sp e ⁻ ^H/kT → Sp ρ = 1

IneinerONB vonEigenzuständen

| n >: h n | ρ | m i = δ nm Z ⁻ ¹ e ⁻ ^E ⁿ ^/kT

= ⇒

ThermodynamikQM Systeme

4.3 Zeitabhängigkeit isolierter quantenmehanisher

Sys-teme

Shrödingergleihung:

i ~ ^∂

∂t | ψ(t) >= H | ψ(t) >

allgemeineEigenshaften:

| ψ(t 0 ) > | ψ(t) >

^eindeutig^bestimmt

2. Superpasitionsprinzip:Sind

| ψ 1 (t) >, | ψ 2 (t) >

^Lösungen^zurAnfangsbedingung

| ψ 1 (t 0 ) >

, | ψ 2 (t 0 ) >

^,^so^ist^auh

λ 1 | ψ 1 (t) > +λ 2 | ψ 2 (t) >

^Lösung^zur

Anfangs-bedingung

λ 1 | ψ 1 (t 0 ) > +λ 2 | ψ 2 (t 0 ) >

~ → 0 :

^klassishe^MEhanik

4. ErhaltungderNorm:

d

dt h ψ(t) | ψ(t) i = _dt ^d < ψ(t) |

ψ

(t)>+<

ψ

^(t)|

_dt ^d | ψ(t) >

= − _i ¹ ~ h ψ(t) | H ⁺ (t) | ψ(t) i + _i ¹ _~ h ψ(t) | H(t) | ψ(t) i = 0

Zeitentwiklungsoperator

es gibteinenlinearerOperator

U (t, t 0 )

^,^so^dass

| ψ(t) > ≡ U (t, t 0 ) | ψ(t 0 ) >

^(*)

h ψ(t) | ψ(t) i = h ψ(t 0 ) | U ⁺ (t, t 0 )U(t, t 0 ) | ψ(t 0 ) i =

|{z}

Erhaltung der N orm

h ψ(t 0 ) | ψ(t 0 ) i U ⁺ (t, t 0 )U (t, t 0 ) = I

U (t, t 0 )

^ist^unitär

Eigenshaften von

U (t, t 0 ) : U (t, t 0 ) = I U (t, t 0 ) = U (t, t 1 ) U (t 1 , t 0 )

| ψ (t) >= U (t, t 1 ) | ψ (t 1 )

| {z }

U(t 1 ,t 0 ) | ψ(t 0 )>

>= U (t, t 0 ) | ψ (t 0 )

*in Shrödingergleihung

i ~ ^∂

∂t U (t, t 0 ) = H (t)U (t, t 0 )

⇒ U (t, t 0 ) = 1 − ¹ ~

´ t

t 0 dt ^′ H (t ^′ ) U (t ^′ , t 0 )

1. Kontinuitätsgleihungin derOrtsdarstellung

mit:

H = − 2m ^~ ² ∆ + V (~x, t)

_∂t ^∂ ψ ^∗ = ₋ ^H _i~ ^† ψ ^∗

_∂t ^∂ ψ = ^H _i~ ψ

∂

∂t |h ~x | ψ (t) i| ² = _∂t ^∂ ψ (~x, t) ^∗ ψ (~x, t)

= − 2mi ^~ (ψ ^∗ (~x, t) ∆ψ (~x, t) − ψ (~x, t) ∆ψ ^∗ (~x, t))

− ∇ ~ ( _2mi ^~ [ψ ^∗ (~ x,t) ∇ ~ ψ(~x, t) − ψ(~x, t) ∇ ~ ψ ^∗ (~x, t)]

→ _∂t ^∂ ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0

Bsp:

~v = _m ^p ^~ = ^~~ _im ^∇ ; ψ = Ae ^i(~ ^p~ ^r ⁻ ^Et)/ ^~ ρ = | A | ² ~j = | A | ² m ^~ ^p

klassish:Stromdihte=Dihte

·

Geshwindigkeit

∂

∂t | h ~x | ψ(t) i | ² = _∂t ^∂ | ψ ^∗ (~x, t)ψ(~x, t)) =

= _i ¹ _~ (ψ ^∗ (~x, t)Hψ(~x, t) − ψ(~x, t)Hψ ^∗ (~x, t)

= _i~ ¹ (ψ ^∗ (~x, t)V (~x, t)ψ(~x, t) − ψ(~x, t)V (~x, t)ψ ^∗ (~x, t) − 2mi ^~ (ψ ^∗ (~x, t)...

^(hier

Vorlesung)

∂

∂t ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0

2. ZeitentwiklungvonErwartungswerten

h A i = h ψ | Aψ i

Erhaltungsgröÿe: FallsAnihtexplizitzeitabhängigistundmitH

kum-mutiertist

h A i

^eine^Konstante^der^Bewegung.

Bsp:Wählespeziell

A = R ~

Ortsoperator,

H = _2m ^p ^~ ² + V ( R) ~

c n (t) = c n (t 0 )e ⁻ ^iEn ^(t ^~ ⁻ ^t ^{0 )}

| ψ(t) >= P

n c n (t 0 )e ⁻ ^iEn ^(t ^~ ⁻ ^t ^{0 )} | ψ n (t 0 ) >

WihtigeKonsequenz:Fallsnurein

c 6 = 0 h A i (t) = h ψ(t) | A | ψ(t) i = D

ψ n (t 0 )e ⁱ ^Ent ^~ | A | e ⁱ ^Ent ^~ ψ n (t 0 ) E

= h ψ n (t 0 ) | A | ψ n (t 0 ) i = h A i (t 0 )

Erwartungwerteändernsihniht:StationärerZustand

⇐⇒

^sharfe

Ener-gie

3. Shrödingerbild(Darstellung)undHeisenbergbildderZeitabhängikeit

Shrödingerbild: Zuständezeitabhängig

| ψ(t) > S = P

n e ⁻ ⁱ ^En ^(t−t ^~ ^{0 )} c n (t 0 ) | ψ n (t 0 ) >= U (t, t 0 ) | ψ(t 0 ) > S

mit

U (t, t 0 ) = e ⁱ ^HS ^(t ^~ ⁻ ^t ^{0 )} = P

n c n (t 0 ) | ψ n (t 0 ) >= | ψ(t 0 ) > S

Obserable

A S (t)

Messung:

h ψ(t) | A S (t) | ψ(t) i S

Heisenbergbild: Zuständezeitunabhängig

| ψ > H = U ⁺ (t, t 0 ) | ψ(t) > S

| {z }

U(t,t 0 ) | ψ(t 0 )> S

= | ψ(t 0 ) > S

Messung:

*

ψ(t) | U (t, t 0 )

| {z }

H <ψ |

U ⁺ (t, t 0 )A S (t)U (t, t 0 )

| {z }

A H (t)

U ⁺ (t, t 0 ) | ψ(t)

| {z }

| ψ> H

+

S

mit

A h (t) ≡ U ⁺ (t, t 0 )A S (t)U(t, t 0 )

A H (t)

^auh ^dannzeitabhängig,wenn

A S

^imShrödingerbild zeitunab-hängigist.

d

dt A H (t) = _dt ^d (U ⁺ (t, t 0 )A S (t)U (t, t 0 ))

= − i~ ¹ U ⁺ (t, t 0 )H S (t)

UU ⁺

z}|{ · A S (t)U (t, t 0 )+U ⁺ (t, t 0 ) _∂t ^∂ A S (t) · U (t, t 0 )+ _i~ ¹ U ⁺ (t, t 0 )A S (t)H S (t)U (t, t 0 )

= − i~ ¹ H H (t)A H (t) + _i~ ¹ A H (t) |{z} ·

UU ⁺

H H (t) + U ⁺ (t, t 0 ) ∂

∂t A S (t)U (t, t 0 )

| {z }

( ∂t ^∂ A S (t) ) _H i ~ ^d

dt A H (t) = [A H (t), H H (t)] + i ~ ^∂

∂t A S (t)

H

5.1 Harmonisher Oszillator in der klassishen Mehanik

Teilhen derMassemimPotential

V (x) = ¹ ₂ kx ²

Bewegungsgleihung:

m ^d _dt ² 2 ^x = − ^dV _dx = − kx

Lösung:

x(t) = x M cos(ωt − ϕ) ω = q

k

m ; x M , ϕ : Anf angsbedingungen

Gesamtenergie:

E = T + V

kinetisheEnergie:

T = ¹ ₂ m x ˙ ² = ¹ ₂ mω ² x ² _M sin ² (ωt − ϕ)

wirhatten:

i ~ ^∂

∂t U (t, t 0 ) = H (t)U(t, t 0 )

− i ~ ^∂

∂t U ⁺ (t, t 0 ) = U ⁺ (t, t 0 )H (t)

V (x) = ¹ ₂ mω ² x ² _H cos ² (ωt − φ) ⇒ E = ¹ ₂ mω ² x ² _M = const.

Bemerkung: Die potentielle Energie U(x) vieler physikalisher Systeme hat

bei

x = x 0

^ein^Minimum

Entwiklungum

x = x 0

^(für^kleineShwingungenum

x 0 ) U (x) = U (x 0 )

| {z }

=0

+ U ^′ (x 0 )

| {z }

=0,da Min.

· (x − x 0 ) + ¹ ₂ U ”(x 0 )

| {z }

≧0 ≡ mω ² =k

(x − x 0 ) ² + ...

5.2 Harmonisher Oszillator in der QM

KlassisheGröÿendurhOperatorenersetzt:

H = _2m ^p ² + ^m ₂ ω ² X ²

Eigenwertgleihung

H | ψ >= E | ψ >

imOrtsraum:

X , P → i dx ^~d

Ortsdarstellung(DGL)

h − _2m ^~ ² _dx ^d ² ² + ¹ ₂ mω ² x ² i

ϕ(x) = Eϕ(x) ( ∗∗ )

5.2.1 Analytishe Lösung der DGL

Setze

x ˆ = x p _mω

~ , ǫ = _~ ^E _ω , ( ∗∗ ) _~ ² _ω h

d ²

dˆ x ² − ˆ x ² + 2ǫ i

ϕ(ˆ x) = 0 ( △ )

Verhalten

ϕ(ˆ x)

^für^groÿe

x(ˆ ˆ x ² ≫ ǫ)

d ² dˆ x ² − x ˆ ²

ϕ(ˆ x) = 0

Ansatz:

G _± (ˆ x) = e ^± ^x ^ˆ ² ²

^unabhängig^von

ǫ G _± (ˆ x)

^Lösung^für^folgende^DGL:

h

d ²

dˆ x ² − x ˆ ² ∓ 1 i

G _± (ˆ x) = 0 G” _± (ˆ x) = ± e ^± ^x ^ˆ ² ² + ˆ x ² e ^± ^x ^ˆ ² ²

asymptotishesVerhalten

x ˆ → ∞ : ˆ x ² ± 1 ∼ x ˆ ² − 2ǫ h d ²

dˆ x ² − x ˆ ² + 2ǫ i

G _± (ˆ x) = 0

^Verhalten^wie

( △ )

Normierbarkeit:nur exponentiellabfallendeLösungen

⇒

^Ansatz^für^DGL:

ϕ(ˆ x) = h(ˆ x)e ⁻ ^ˆ ^x ² ^/2

Einsetzen in(

△ ) : h

d ²

dˆ x ² − 2ˆ x _dˆ ^d _x + 2ǫ − 1 i

h(ˆ x) = 0 ( △△ )

LösungmitPotenzreihenansatzfür

h(ˆ x)

h(ˆ x) = P _∞

m=0 a m x ^2m+p

^und

a 0 6 = 0, a i = 0

^für^negativeⁱ

DiesenAnsatzin

( △△ )

^einsetzen:

(2m + p + 2)(2m + p + 1)a 2m+2 = (4m + 2p − 2ǫ + 1)a 2m

normierteLösungnur,fallsdiePotenzreiheabbriht:

nahunten:

a ₋ 2 = 0 ⇒ p( − 1 + p)a 0 = 0 und a 0 6 = 0 p = 0, 1

nahoben:

4m + 2p

| {z }

2n

− 2ǫ + 1 = 0

^Bedingung:

2ǫ − 1 = 2n ; n = 0, 1, ..

ǫ n = n + 1 ǫ = _~ ^E _ω ; n = 0

^gerade^Lösung

2

mitdieserQuantisierungsbedingungfolgt:

[ _dx ^d ² 2 − 2ˆ x _dˆ ^d _x + 2n]h n (ˆ x) = 0

Lösung:HermitePolynome

H n (ˆ x) : h n (ˆ x) = N n H n (ˆ x) N n = ( √

πn!2 ⁿ ) ⁻ ¹ ² ( mω

~ ) ¹ ⁴ H n (ˆ x) = ( − 1) ⁿ e ^x ^ˆ ² d ⁿ

dˆ x ⁿ e ⁻ ^x ^ˆ ²

StationäreZuständedesharmonishenOszillators:

ϕ n (ˆ x) = N n H n (ˆ x)e ⁻ ^ˆ ^x

2 2

zugehörigediskreteEigenwerte:

E n = ~ ω(n + 1 2 )

△ E = ~ ω = const.

E 0 = ¹ ₂ ~ ω = 0

Nullpunktsenergie;QMkleinsteEnergie

6 = 0

5.2.2 Algebraishe Methode

ZulösenEigenwertgleihung:

p ² 2m + 1

2 mω ² x ²

| {z }

Hamiltonoperator

ϕ (x) = Eϕ (x)

denieredimensionsloseGröÿen:

ˆ

x = p _mω

~ x p ˆ = √ ¹

m ~ ω p

^mit

[ˆ x, p] = ˆ i H ˆ = _~ω ¹ H = ¹ ₂

ˆ x ² + ˆ p ²

; ǫ = E/ ~ ω

und

a = ^√ ¹ ₂ (ˆ x + i p) ˆ a ^† = ^√ ¹ ₂ (ˆ x − iˆ p) ˆ

x = ^√ ¹ ₂ a + a ^†

ˆ

p = ^√ ⁱ ₂ a ^† − a

⇒

dimensionsloseEigenwertgleihung

H ˆ | ϕ ν >= ǫ ν | ϕ ν >

⁽¹⁾

Es gilt:

[a, a ^† ] = ¹ ₂ [ˆ x + iˆ p, x ˆ − iˆ p] = ₂ ⁱ [ˆ p, x] ˆ − ₂ ⁱ [ˆ x, p] = 1 ˆ

N = a ^† a = ¹ ₂ x ˆ + ˆ p ² + i xˆ ˆ p − i pˆ ˆ x

= ¹ ₂ x ˆ ² + ˆ p ² − 1

wobei Nder

Beset-zungsoperatorist

H ˆ = a ^† a + ¹ ₂ = N + ¹ ₂

= ⇒

Eigenzuständevon

H ˆ

^sind^auhEigenzustände vonNundumgekehrt Lösenvon5.2.2istäquivalentzurLösungderEigenwertgleihung

N | ϕ ν >= ν | ϕ ν >

denndiesentspriht

H = ˆ H ~ ω = ~ ω N + ¹ ₂

H | ϕ ν >= ~ ω ν + ¹ ₂

| ϕ ν >

^sindEigenvektorenvonH undN.Falls

ν

^bekannt^ist:

ǫ ν = E 0

~ ω = ν + 1 2

Problem: Bestimmungvon

ν

^und

| ϕ ν >

Eigenshaften von

N, a, a ^†

[N, a] = a ^† a, a

= a ^† [a, a] + a ^† , a

a = − a

N, a ^†

= a ^† a, a ^†

| {z }

=1

+ a ^† , a ^†

| {z }

=0

a = a ^†

3. FürdieEWvon

ν

^von^N^gilt:

ν > 0

^.^Denn

0 6 || (a | ϕ ν )

| {z }

| aϕ ν >

|| ² =

* aϕ ν |

| {z }

<ϕ ν | a ⁺

aϕ ν

+

= h ϕ ν | a ⁺ a | ϕ nu i = h ϕ ν | N | ϕ ν i = ν h ϕ ν | ϕ ν i

| {z }

>0

ν > 0

D.h.derniedrigsteEIgenwertvonN ist

> 0

^.^F^alls

ν = 0 ⇒ a | ϕ 0 >= 0

4. Sei

| ϕ ν >

Eigenzustand zuN mitEigenwert

ν ⇒ a | ϕ ν >

^ist^auhEigenvektroNmitEW

ν − 1 a ⁺ | ϕ ν >

^ist^auh^EV^zu^N ^mit^EW

ν + 1

denn

N a ⁺ | ϕ ν >= (a ⁺ N + a ⁺ ) | ϕ ν >= (ν + 1)

| {z }

EW

a ⁺ | ϕ ν >

Verlangen,dass

| ϕ ν >

^auf¹^normiert^sei:

h a ⁺ ϕ ν | a ⁺ ϕ ν i = h ϕ ν | aa ⁺ | ϕ ν i = h ϕ ν | a ⁺ a + 1 | ϕ ν i

= (ν + 1) h ϕ ν | ϕ ν i

| {z }

=1

= ν + 1 a ⁺ | ϕ ν >= √

ν + 1 | ϕ ν+1 >

N a ⁺ | ϕ ν >= √

ν + 1N | ϕ ν+1 >= √

ν + 1(ν + 1) | ϕ ν+1 >

= (ν + 1)a ⁺ | ϕ ν >

analog:

a | ϕ ν >= √

ν | ϕ ν − 1 >

= (ν + 1) a ^† | ϕ ν >

^analog

a | ϕ ν >= √

ν | ϕ ν − 1 >

D.h. fallseineEigenfunktion

| ϕ ν >

^bekannt^ist,^erhält^man^durhsukzessives Anwendenvon

a

^und

a ^†

^alle ^anderen!

Bestimmungvon

| ϕ 0 >

^Es^gilt:

a | ϕ 0 >= 0

^und^somitⁱⁿ^der Ortsdarstel-lung:

0 = h x | a | ϕ 0 i = ^√ ¹ ₂ x ˆ + _dˆ ^d _x h x | ϕ 0 i

| {z }

ϕ 0 (x)

NormierteLösung:

h x | ϕ 0 i = N 0 e ⁻ ^x ^ˆ ² ^/2

^mit

N 0 = _mω ^nπ 1/4

Imfolgenden

ν → n

^mit n=0,1,2,...

Wegen

a ^† | ϕ n >= √

n + 1 | ϕ n+1 >

^bzw.

| ϕ n+1 >= ^√ _n+1 ¹ a ^† | ϕ n >

sindmit

| ϕ 0 >

^auh^alle^anderen^Lösungen^bekannt.

| ϕ n >= 1

√ n a ^† | ϕ n − 1 >= ... ... = 1

√ n! a ^† ⁿ

| ϕ 0 >

mitEW:

(n + 1/2) ~ ω

^n=0,1,..

AlsoangeregteZustände:

h x, ϕ ˆ n i =

|{z}

h x | a ^† | ϕ 0 i = √ ¹ 2 ( ^x ^ˆ − dˆ ^d x ) h x | ϕ 0 i

√ 1 n!

D x ˆ | a ^† n

| ϕ 0

E = 1

√ n!2 ⁿ (ˆ x − d

dˆ x ) ⁿ h ˆ x | ϕ 0 i

LösungdurhRekursion

h x ˆ | ϕ n − 1 i = 1

p (n − 1)!2 ⁿ ⁻ ¹ H n − 1 (ˆ x)N 0 e ⁻ ^x ^ˆ

2 2

Rekursionerfülltfürn=1:

h x ˆ | ϕ 0 i = H 0 (ˆ x)N 0 e ⁻ ^x ^ˆ ² ²

Damitalso

h x ˆ | ϕ n i = ^√ ¹ _n2 (ˆ x − dˆ ^d x ) h x | ϕ n − 1 i

| {z }

√ 1

(n − 1)!2 n − 1 H n − 1 (ˆ x)N 0 e ⁻ ^ˆ ^x

2 2

Verwende:

H _n ^′ ₋ ₁ (ˆ x) = 2(n − 1)H n − 2 (ˆ x)

H n (ˆ x) = 2ˆ xH n − 1 − 2(n − 1)H n − 2 = 2ˆ xH n − 1 − H _n ^′ ₋ ₁

^(*)

h x ˆ | ϕ n i = √ ¹

5.3 Quantenmehanik für Spin 1/2

Postulat:



^wobei

S x,y,z

^Operatoren

ZweiZustände: Basisso,dass

S z

^diagonal^ist

S z | + >= + ~

Zeigen:Zu jedemZustand

| ψ >

^existiert^eine^Rihtung

~ µ,

^so^dass

| ψ >

kolli-nearzu

| + > u

Kunstruieren

~u

^für^gegebenes

α, β

Ansatz:

= ^~ ₂

cosθ sinθe ⁻ ^iφ sinθe ⁻ ^iφ − cosθ

S~u ~ | 1 > u = ^~ ₂ | 1 > u

S~u ~ | 2 > u = − ^~ ₂ | 2 > u

LösenderEigenwertgleihung

(det( S~u ~ − λ I ) = 0)

Eigenwerte

± ^~ ₂

^und^die zugehörigenEigenvektoren

| 1 > u = cos ^θ ₂ e ⁻ ⁱ ^φ ² | + > +sin ^θ ₂ e ⁱ ^φ ² |− > EW : + ^~ ₂

| 2 > u = − sin ^θ ₂ e ⁻ ⁱ ^φ ² | + > +cos ^θ ₂ e ⁱ ^φ ² |− > EW : − ^~ ₂

Wähle:

| α | = cos ^θ ₂

| β | = sin ^θ ₂

0 < θ < π θ = 2arcos | α | φ = ϕ β − ϕ α

χ = ϕ β + ϕ α ϕ α = ¹ ₂ (χ − φ) ; ϕ β = ¹ ₂ (χ + φ)

Wobei:

α = | α | e ^iϕ ^α β = | β | e ^iϕ ^β

Lösung:

| ψ >= e ^iχ/2 | 1 > u

denn

e ^iχ/2 | 1 > u = e ^i(ϕ ^β ^+ϕ ^α ⁾

| α | e ⁻ ^i(ϕ ^β ⁻ ^ϕ ^α ^)/2 | + > + | β | e ^i(ϕ ^β ⁻ ^ϕ ^α ^)/2 |− >

=

| α | e ^iϕ ^α | + > + | β | e ^iϕ ^β |− >

Es gibt zu jedemZustand

| ψ >= α | + > +β |− >

^eine^Rihtung

~u

^, ^so ^dass

| ψ >

Eigenzustandzu

S~u ~

^ist.

5.4 Teilhen mit Spin 1/2 im konstanten Magnetfeld

Sei

B ~ =



 0 0 B 0





potentielleEnergiedesmagnetishen Moments

U = − M ~ ~ B = − γB o S z ⇒ H = ω 0 S z

^mit

ω 0 ≡ − γB 0

^(Frequenz)

ZeitliheEntwiklung: LöseEW-Gleihung

H | ψ >= E | ψ >

H=2x2Matrixin Diagonalform

H = ^~ω ₂ ⁰

1 0 0 − 1

Also:

H | + >= ^~ω ₂ ⁰ | + >, H |− >= − ^~ω ₂ ⁰ |− >

ZeitliheEntwiklung: t=0ZustandseiEigenzustandvon

S z

| ψ(t = 0) >= | + > ⇒| ψ(t) >= e ⁻ ^iω ⁰ ^t/2 | + >

oder

|− > ⇒| ψ(t) >= e ^iω ⁰ ^t/2 |− >

| ψ(t) >= P

n c n (t 0 )e ⁻ ^iE ⁿ ^(t ⁻ ^t ⁰ ^)/ ^~ | ψ n (t 0 ) >

hier:

t 0 = 0

| ψ n (t 0 ) >= | + > E = ^~ ^ω ₂ ⁰

| ψ n (t 0 ) >= |− > E = − ^~ ^ω 2 ⁰

Ein Eigenzustand von

S z

^bleibt Eigenzustand zu

S z

^auh ^bei Anwesenheit einesMagnetfeldesinz-Rihtung.

| ψ(t = 0) >

^seiEigenzustand zu

S~u ~

^mit ^EW=

± ^~ ₂

^.^F^eld^zeigtⁱⁿ^z-^Rihtung.

AlsozurZeitt=0:

| ψ(t = 0) >= cos ^θ ₂ e ⁻ ⁱ ^φ ² | + > +sin ^θ ₂ e ⁺ⁱ ^φ ² |− >

| ψ(t) >= cos ^θ ₂ e ⁻ ⁱ ^φ+ω ² ⁰ ^t | + > +sin ^θ ₂ e ⁺ⁱ ^φ+ω ² ⁰ ^t |− >

⇒

^Zeitlihe^Änderung ^der^relativen^Phase^zwishen

| + >

^und

|− >

Zu jederZeittkönnenwireineRihtung

~u(t)

^nden,^bezüglih^welher

| ψ(t) >= α(t) | + > +β |− >

Eigenzustandist:

~u =





sinθ(t)cosϕ(t) sinθ(t)sinϕ(t)

cosθ(t)



 α(t) = cos ^θ ₂ e ⁻ ⁱ ^ϕ+ω ² ⁰ ^t β(t) = sin ^θ ₂ e ⁱ ^ϕ ^+ω ² ⁰ ^t

Esgiltoensihtlih:

θ(t) = θ(t 0 ) = θ ϕ(t) = ϕ(t = 0) + ω 0 t

D.h. der Winkel zwishen

B ~

^und

~u(θ)

^bleibt ^erhalten

~u

^präzediert ^um ^die

z-Ahse:Lamor-Präzession(

ω 0 = − γB 0 )

Ferner istdieObservable

S z

^eine^Konstante^der^Bewegung:

H = ω 0 S z ⇒ S z

^vertausht^mit ^H.

d

dt < S z > (t) = _i~ ¹ < [S z , H ] > (t)

| {z }

=0

+ < ∂

∂t S z > (t)

| {z }

0 = 0

DerErwartungswertderz-Komponenteistzeitlihkonstant. Test:

< S Z >= ^~ ₂ < ψ(t) | σ z | ψ(t) >

| {z }

∗

= ^~ ₂ < + | cos ^θ ₂ e ^i(Φ+ω ⁰ ^t)/2 + < −| sin ₂ ^θ e ⁻ ^i(Φ+ω ⁰ ^t)/2

· cos θ

2 e ⁻ ^i(Φ+ω ⁰ ^t)/2 | + > − sin θ

2 e ^i(Φ+ω ⁰ ^t)/2 |− >

| {z }

= ∗

= ^~ ₂ cos ² ^θ ₂ − sin ² ^θ ₂

= ^~ ₂ cosθ

^zeitlih^konstant

Hingegensind

S x

S y

^keine^Konstanten^der^Bewegung

h ψ (t) | S x | ψ (t) i = ... = ^~ ₂ sinθcos (Φ + ω 0 t) S x = ^~ ₂ 0 1

1 0

h ψ (t) | S y | ψ (t) i = ... = ^~ ₂ sinθsin (Φ + ω 0 t) S y = ^~ ₂

0 − i

i 0

DieErwartungswertevon

S x , S y , S z

^verhalten^sih^wie^dieKomponenteneines klassishenDrehimpulses mit dem Betrag

~

2

^, ^der ^zu ^einerLamordrehung an-geregtwird.

WiegroÿisdieWahrsheinlihkeitP(t) zumZeitpunkt tden EW

± ^~ 2

ⁱⁿ

~u

-Rihtungzunden?

P ++ (t) = |h ψ(t = 0) | ψ(t) i| ²

=

WiegroÿistdieWahrsheinlihkeit

− ^~ 2

ⁱⁿ

~u −

^Rihtung^zu^nden.

P ₋ + (t) = ... =

BetrahtenSystemin einem2-dimensionalenZustandsraum.

Dieallgemeinehermiteshe2x2Matrix:

H =

~σ

Paulimatrizen

⇒

^Behandlungⁱⁿ^enger^Analogie^zum ^Spin-

¹ ₂

^-System

Anm.:

B~σ ~ =

Betrahtezunähst

H 0

^diagonal^mit

H 0 =

E 1 0 0 E 2

wählealsBasis

{| 1 >; | 2 > }

Anm.:

< i | j >= δ ij i, j = 1, 2 | 1 >< 1 | + | 2 >< 2 | = 1

AddierenunWehselwirkungzwishendenZuständen

H = H 0 + W

mitderhermiteshenMatrix(Annahme:Wzeitunabhängig)(hermitesh)(

W ^† = W

⁾

E 1 , E 2

^sind ^die ^möglihen ^Energien ^des ^Systems ^und ^die ^Zustände

| 1 >, | 2 >

^stationär

MitKopplung:

1. MögliheEnergiensindnihtmehr

E 1 , E 2

^sondern

E + , E ₋

^sind

dieEigenwertevonH

| 1 >, | 2 >

^niht^mehr^stationär.^Imallgemeinenkeine Eigenzu-ständezuH. DieKopplung/Störunginduziert#

Eigenzustände und EW von H

InderBasis

| 1 >, | 2 >

^ist^derHamilton-OperatorH gegebendurh:

(H) =

E 1 + W 11 W 12

W 21 E 2 + W 22

DiagonalisierungderEigenwerte

E _± = ¹ ₂ (E 1 + W 11 + E 2 + W 22 ) ± ¹ ₂ q

(E 1 + W 11 − E 2 − W 22 ) ² + 4 | W 12 | ² W ij = 0 E _± = E 1/2

Eigenvektoren:

| ψ + >= cos ^θ ₂ e ⁻ ⁱ ^ϕ ² | 1 > +sin ^θ ₂ e ⁱ ^ϕ ² | 2 >

| ψ ₋ >= − sin ^θ ₂ e ⁻ ⁱ ^ϕ ² | 1 > +cos ^θ ₂ e ⁱ ^ϕ ² | 2 >

θ, ϕ : tan θ = _E ₁ _+W ² ₁₁ ^| ^W ₋ ¹² _E ^| ₂ ₋ _W ₂₂

^wobei

0 ≤ θ ≤ π W 12 = | W 12 | e ⁻ ^iϕ

Vereinfahungen:

W 11 , W 22

^tauhen^nurⁱⁿ ^derKombination(

E 1 + W 11

⁾^,⁽

E 2 + W 22

⁾^auf

⇒

^könnenⁱⁿ

E 1

E 2

^absorbiert^werden.

2. Energie-NullpunktdesSystemsbeliebig wähle:

(bild)

⇒ E 1 = − E 2 , E 1 + E 2 = 0

E 1 − E 2 = 2∆

neuerHamilton-Operator:

∆ W 12

W 21 − ∆

= ∆σ z +Re (W 12 ) σ x − Im (W 12 ) σ y =





Re (W 12 )

− Im (W 12 )

∆



 ~σ σ z =

1 0 0 − 1

σ x = 1 0

0 1

σ y =

0 − i

i 0

undalso:

E _± = ± q

∆ ² + | W 12 | ² tan θ = ^| ^W _∆ ¹² ^|

Interpretation:

| W 12 | ≪ ∆ : E _± = ±

∆ + ^| ^W _2∆ ¹² ^| ²

kleineVershiebungderEnergie

Θ = ^| ^W _∆ ¹² ^| ≪ 1

| ψ + >= ^∗ | 1 > +

^kleine^Beimishung^von

| 2 >

^(* ^bis^auf^globale^Phase)

| ψ ₋ >= ^∗ | 2 > +

^kleine^Beimishung^von

| 1 >

W 12 ≫ △

^(starke^Kopplung)

E _± = ±

| W 12 | + ₂ _| ^△ _W ² ₁₂ _|

giltinsbesonderefür

△ = 0

△ = 0 ,

^Entartung^derungestörtenNiveaus

tanθ ≫ 1 ⇒ θ ≅ ^π

2 | ψ + > ≅

e ⁻ⁱ ^ϕ ² | 1>+(e ⁻ⁱ ^ϕ ² | 1>

2 | ψ ₋ > ≅

− e ⁻ ⁱ ^ϕ ² | 1>+(e ⁻ ⁱ ^ϕ ² | 1>

2

(bild)

Ist der Grundzustand eines physikalishen Systems doppelt entartet (und

hinreihend weit von den anderen Niveaus entfernt), senkt jede rein

niht-diagonale Kopplung zwishen den beiden zugehärigen Zuständen dei Energie

diesesGrundzustandsab

→

^er^wird^also^stabiler.

6 Drehimpuls

InderklassishenMehanikistderDrehipulseineErhaltungsgröÿe

(auhimZentralpotential:

F ~ || ~r → ^d~ _dt ^L = M ~ = ~r × F ~ = ~ 0

⁾

Notation:

L ~

^jegliher^Drehimpuls ^der^klassishes^Äquivalent^hat

S ~

^Spin

J ~

^beliebiger^Drehimpuls

6.1 Vertaushungsrelationen für den Bahndrehimpuls

klassish

~ L = ~x × p ~ ⇔ L i = ǫ ijk x j p k

d.h.

L 1 = x 2 p 3 − x 3 p 2 , L 2 = x 3 p 1 − x 1 p 3

L 3 = x 1 p 2 − x 2 p 1

QM:

X, ~ ~ P

Operatoren,dieVertaushungsrelationengehorhen. Aberz kommu-tiertmit

P y

^,^Y^mit

P z

^et.

⇒

^Wir^können^shreiben

L ~ = X ~ × P ~ ~ L

^ist^hermitesh

AnwendungderVertaushungsrelation:

[X i , P j ] = i ~ δ ij i, j = 1, 2, 3

^liefert:

[L x , L y ] = [Y P z − ZP y, ZP x − XP z ] = [Y P z , ZP x ] + [ZP y , XP z ]

= Y [P z , Z]

| {z }

− i ~

P x + X [Z, P z ] P y = − i ~ Y P x + i ~ XP y = i ~ L z

AnalogeRehnungliefert:

[L x , L y ] = i ~ L z

[L y , L z ] = i ~ L x

[L x , L z ] = i ~ L y

[L i , L j ] = i ~ ǫ ijk L k

^(*)

Die folgende Überlegungengelten für jeden Satz von Operatoren mit

Ver-taushungsrelation(*).Imfolgenden:

J i , i = 1, 2, 3

Wirdenieren:

J ~ ² = J ₁ ² + J ₂ ² + J ₃ ²

^ist^hermitish, ^da

J 1 , J 2 , J 3

^hermitish

[ J ~ ² , J i ] = 0, i = 1, 2, 3

daz.B.

[J ₁ ² , J 2 ] = 0

[J ₂ ² , J 1 ] = J 2 [J 2 , J 1 ]+[J 2 , J 1 ]J 2 = J 2 ( − i ~ J 3 )+( − i ~ J 3 )J 2 = − i ~ (J 2 J 3 +J 3 J 2 ) [ J ~ ² , J 1 ] = [J ₁ ² + J ₂ ² + J ₃ ² , J 1 ] = 0

6.2 Eigenwerte und Eigenzustände

WirsuhenvollständigenSatz kommutierenderObswervablen: dürfenhiernur

~ L ²

^und^eines^von

L i

^nehmen.

Wirwählen

J ~ ²

^und

J 3 = J 2

Denition

J _± : J + = J x + iJ y

(nihthermitesh)

J ₋ = J x − iJ y

Werden

J _± , J z , ~ J ²

^benützen.

Vertaushungsrelation:

[J z , J + ] = [J z , J x ] + i[J z , J y ] = i ~ J y + i( − ~ J x ) = ~ J +

[J z , J ₋ ] = − ~ J ₋ [J + , J + ] = 2 ~ J z

[J ² , J + ] = 0

v.S.k.O(vollständigerSatzkommutierenderObservablen):

H, ~ L ² , L z

Denition:

J + = J x + iJ y

J ₋ = J x − iJ y

[J ² , J _± ] = 0

Ferner:

J + J ₋ = J _x ² + J _y ² − i [J x , J y ]

| {z }

i~J z

= J _x ² + J _y ² + ~ J z = J ² − J _z ² + ~ J z

J ₋ J + = ... = J _x ² + J _y ² − ~ J z = J ² − J _z ² − ~ J z

J ~ ² = ¹ ₂ (J + J ₋ + J ₋ J + ) + J _z ²

J ~ ²

^ist^dieQuadratsummehermitisherOperatoren.

Esfolgt,dassfürjedenZustand

| ψ >:

ψ J ²

ψ

≥

⁰

ψ

J ² ψ

= P 3 i=1

ψ J _i ²

ψ

= k J 1 | ψ > k ² + k J 2 | ψ k ² + k J 3 | ψ > k ² ≥ 0

⇒

^Damit^sind^also^alle^Eigenwerte

λ

^von

J ² ≥ 0.

Kannmanshreibenals

λ = ~ ² j(j + 1)

^wobei

j ≥ 0

Eigenwerte

J z : m ~

Eigenwertgleihungfür

J ~ ² , J z

IndexkuntersheidetzwishendenvershiedenenEV, diezudenselben

j(j + 1) ~ ²

und

m ~

von

J ²

^und

J z

^gehören.

⇒

^Zu^lösendeEW-Gleihungen:

J ~ ² | k, j, m >= ~ ² j(j + 1) | k, j, m >

J z | k, j, m >= ~ m | k, j, m >

Eigenwertevon

J ² , J z

^:^Zunähst^sind³^Lemmas^zu^beweisen:

1. Lemma1:

Wenn

~ ² j(j + 1)

^und

m ~

dieEWvon

J ²

^und

J z

^sind,^die^zum^selben^EV

| k, j, m >

^gehören,^dann^gilt:

− j ≤ m ≤ j

Beweis:

k J _± | k, l, m > k ² ≥ 0

⇒ h k, j, m | J ₋ J + | k, j, m i = k, j, m

J ² − J _z ² − ~ J z k, j, m

= ~ j(j + 1) − m ² ~ ² − m ~ ² h k, j, m | J + J ₋ | k, j, m i =

k, j, m

J ² − J _z ² + ~ J z k, j, m

= ~ j(j + 1) − m ² ~ ² + m ~ ²

(*)

⇒ j(j + 1) − m(m + 1) = (j − m)(j + m + 1) ≥ 0

⇒ j(j + 1) − m(m − 1) = (j − m + 1)(j + m) ≥ 0

d.h

− j ≤ m ≤ j

( − (j + 1) ≤ m ≤ j

− j ≤ m ≤ j + 1

2. Lemma2:

Sei

| k, l, m >

^EV ^von

J ² , J z

^mit ^EW

~ ² j(j + 1), m ~

(a) Falls

m = − j : J ₋ | k, l, m >= 0

(b) Falls

m > − j : J ₋ | k, l, m >

niht-vershwindender EV von

J ²

^und

J z

^mit^EW

~ ² j(j + 1)

^und

(m − 1) ~

Beweis:

(a) Gemäÿ(*)QuadratderNormvon

J ₋ | k, l, m >:

~ ² j(j + 1) − ~ ² m(m − 1) = 0

^für

m = − j m = − j ⇒

^Alle^Vektoren

J ₋ | k, j, − j >= 0. ( △ )

umgekehretzeigtman:

J ₋ | k, j, m >= 0 ⇒ m = − j J +

^angwenden^auf⁽

△ )

J + J ₋ | k, l, m > ⇒ ⁽ ^∗ ⁾ ~ j(j + 1) − m ² ~ ² + m ~ ²

|k,j,m>=0

⇒ (j > 0) m = − j

(b) Sei

m > − j : ( ∗ ) ⇒ J ₋ | k, j, m > 6 = 0

^, ^da^Quadrat^der^Norm

6 = 0

zuzeigen:EVvon

J ² , J z

[J ² , J ₋ ] = 0 [J ² , J ₋ ] | k, j, m >= 0

J ² J ₋ | k, j, m >= J ₋ J ² | k, j, m >= ~ ² j(j + 1)J . | k, j, m >

⇒ J ₋ | k, j, m >

^ist^EV^von

J ²

^mit^EW

~ ² j(j + 1)

[J z , J ₋ ] = − ~ J ₋ = [J z , J ₋ ] | k, j, m >= − ~ J ₋ | k, j, m >

⇒ J z J ₋ | k, j, m >= J ₋ J z | k, j, m > − ~ J ₋ | k, j, m >

= m ~ J ₋ | k, j, m > − ~ J ₋ | k, j, m >= (m − 1) ~ J ₋ | k, j, m >

⇒ J ₋ | k, j, m >

^ist^EV^von

J z

^mit

(m − 1) ~

3. Lemma3:Sei

| k, j, m >

^EV^von

J ² , J z

^mit^EW

~ ² j(j + 1)

^und

m ~

. (a) Fallsm=j:

J + | k, j, m >= 0

(b) Fallsm<j:

J + | k, j, m >

^nihtvershwindenderEVzu

J ²

^und

J z

^mit

~ ² j(j + 1)

^und

(m + 1) ~

J _±

^sind^Auf-^undAbsteigeoperatorenbzgl.m.

Bestimmung desSpektrumsvon

J ²

^und

J z

Sei

| k, j, m >

^niht vershwindender EV von

J ²

^und

J z

^mit ^EW

~ ² j(j + 1)

^und

m ~ :

LautLemma1gilt:

Esgibtein

p ≥ 0

^,^so^dass

− j ≤ m − p ≤ − j + 1

Wir betrahtenSetvonEV

| k, j, m >, J ₋ | k, j, m >, , J ₋ ^P | k, j, m >

LautLemma2gilt:

JederdieserEV

(J ₋ ) ⁿ | k, j, m > (n = 0, 1, ..., p)

istniht-vershwindenderEVvon

J ²

^und

J z

^mit^EW

j(j + 1) ~ ²

. (BeweisdurhIteration)

Wirkenun

J ₋

^auf

(J ₋ ) ^P | k, j, m >

Annahme:EW von

J z : ~ (m − p)

^sei^gröÿer^als

− j ~ .

D.h.

m − p > − j

Dann ist

J ₋ (J ₋ ) ^P | k, j, m > 6 = 0

^mit^EW

~ ² j(j + 1), (m − p − 1) ~ :

WiderspruhzuLemma 1,denn esgilt:

m − p − 1 < − j

⇒ m − p = − j.

Dann gehört

(J ₋ ) ^P | k, j, m >

^zum^EW

− j ~

von

J z

und

J ₋ (J ₋ ) ^P | k, j, m >= 0.

^(Lemma²⁾

⇒

^Die^obige^Serie^der^Vektoren^ist^also^beshränkt.

Eswurdegezeigt:Esgibtein

p ≥ 0

^mit

m − p = − j

^,^p^istganzzahlig.

Analogndetman,dasseseinganzzahliges

q ≥ 0

^gibt,^mit

m+q = j

Insgesamtndetman,dass

p+q = 2j

^,^d.h^j^ist^ganz-^oder^halbzahlig

undpositiv.

Für gegebenes j sind die einzig möglihen Werte für m die

(2j + 1)

^Werte:

− j, − j + 1, ..., +j

^.^m^ist^daher^halb-^oderganzzahlig.

Konstruktion einerBasis

I.a.sind

J ² , J z

^niht^v.S.k.O⁽

Index

^k)

Wir betrahtenDrehimpuls

J ~

^,^der^imZustandsraum

ǫ

^wirkt.

EW-Paar:

j(j + 1) ~ ² , m ~ :

^Set ^der ^EV ^zu ^diesem ^EW-Paar

bil-det einen Vektorunterraumvon

ǫ

^, ^genannt

ǫ(j, m), dim(ǫ(j, m)) ≡ g(j, m)

i.a

> 1

^,^da

J ² , J z

^niht^v.S.k.O.

Wählein

ǫ(j, m)

^eine^beliebige ^ONB

{| k, j, m >, k = 1, .., g(j, m) }

Falls

m 6 = j ⇒

^es ^muss ^einen ^anderen^Unteraum

ǫ(j, m + q)

ⁱⁿ

ǫ

existieren,

bestehendausEVzu

J, J ~ z

^mit^EW

j(j + 1) ~ ² , (m + 1) ~

Falls

m 6 = − j ⇒ ∃ ǫ(j, m − 1),

^EV^zu

J ² , J z

^mit^EW

(j + 1)j ~ ² , (m − 1) ~ .

Falls

m 6 = ± j :

konstruierenONB

ǫ(j, m + 1), ǫ(j, m − 1)

^ausgenend

vonderin

ǫ(j, m)

^gewählten.

Zeigenzunähst:

k 1 6 = k 2 ⇒ J _± | k, j, m > ⊥ J _± | k 2 , j, m >

^denn

h k 2 , j, m | J ₋ J + | k 1 , j, m i =

k 2 , j, m | J ² − J _z ² − ~ J z

| k 1 , j, m

= ~ ² j(j + 1) − m ² ~ ² − ~ ² m

h k 2 , j, m | k 1 , j, m i = 0

Wirhaben

k J + | k 1 , j, m > k ²

| {z }

k| k 1 ,j,m ± > k ²

= [j(j + 1) − m(m ± 1)] ~ ² h k 1 , j, m | k 1 , j, m i

| {z }

1

Manzeigt,dass

| k, j, m ± 1 >= ¹

~ √

j(j+1) − m(m ± 1) J _± | j, k, m >

ONB in

ǫ(j, m ± 1)

^bilden.

Mansiehtferner:

g(j, m + 1) = g(j, m − 1) = g(j, m) = g(j)

^unabhängig^von

Konstruktioneiner Basis

1. FürjedenWert vonjwähleeinenzujgehörigenUnterraum,

z.B.den,m=j,d.h.

ǫ(j, j).

2. WählehierinbeliebigeONB

{| k, j, j >, k = 1, ..., g(j) }

3. Mit

| k, j, m ± 1 >= ¹

~ √

j(j+1) − m(m ± 1) J _± | j, k, m >

konstruieredurhIterationdieBasis,ausdersihdieBasender2janderen

Unterräume

ǫ(j, m)

^ergeben.

4. Führediesfürallejaus.

StandardbasisdesZustandrausm

ǫ

^mit ^der

Orthonormierungsrelation

h k, j, m | k ^′ , j ^′ , m ^′ i = δ kk ^′ δ jj ^′ δ mm ^′

Vollständigkeitsrelation:

P

j

P g(j)

k=1 | k, j, m | ih k, j, m | = 1 ǫ(j, m = j) | 1, j, j > .... | g(j), j, j >

↓ J − ↓ J − ↓ J −

ǫ(j, m = j − 1) | 1, j, j − 1 > ... | g(j), j, j − 1 >

↓ J − ↓ J −

| 1, j, − j > ... | g(j), j, − j >

Darstellung der Drehimpulsoperator Im folgenden verwenden wir die

Räume

ǫ (k, j)

^, ^d.h. ^wir ^gruppieren ^Kets

| k, j, m >

^mit ^festen ^Werten ^k ^und

dim

ǫ (k, j) = 2j + 1

^unabh. ^von^k^und^vombetrahtetenphysikal. System

ǫ (k, j)

^global^invariant^unter

J ~

Suhen nun Matrix, die in einer Standardbasis die Komponente

J U

^von

J ~

darstellt.

1. j=0,m=0

J n ⁽⁰⁾

^reduzieren^sih^Zahlen⁼⁰

j = ¹ ₂ , m = + 1

2 , m = − 1

| {z 2 }

w¨ ahlen Basisvektoren in dieser Reihenf olge

J z ^(1/2) = ^~ ₂

7.1 EW-Gleihung in der Ortsdarstellung

[ | ~ r > }

X, ~ ~ P −

^Operator ⁱⁿOrtstarstellung:

Multiplikationmit

X ~

Dierentialoperator

~ i ∇ ~ L x = ^~ _i (y _∂z ^∂ − z _∂y ^∂ )

L y = ^~ _i (z _∂x ^∂ − x _∂z ^∂ ) L z = ^~ _i (x _∂y ^∂ − y _∂x ^∂ )

Die Drehimpulsoperatorenwirkennur auf

θ, Φ

^niht^auf ^r ^Übergang^zu

Kugelkoordinaten

mit

r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ Φ ≤ 2π



 

 

x = r · sin θ · cos Φ y = r · sin θ · sin Φ z = r · cos θ

und

d ³ r = r ² sin θ · dr · dΦ · dθ = r ² dΩdr

⇒ L x = i ~ sin Φ _∂Θ ^∂ + _{tan Θ} ^{cos Φ} _∂Φ ^∂ L y = i ~ − cos Φ _∂Θ ^∂ + _{tan Θ} ^{sin Φ} _∂Φ ^∂ L z = ^~ _i _∂Φ ^∂

sodass

L ~ ² = − ~ ² ∂ ²

∂Θ ² + _tan ¹ _θ _∂θ ^∂ + _sin ¹ 2 θ

∂ ²

∂Φ ²

L + = ~ e ^iΦ _∂Θ ^∂ + i cot θ _∂Φ ^∂

( △ ) L ₋ = ~ e ⁻ ^iΦ − _∂Θ ^∂ + i cot θ _∂Φ ^∂

WirsuhenFunktionen

ψ(r, θ, Φ)

^,^die ^dieEW-gleihungenerfüllen:

− ~ ²

∂ ²

∂θ ² + _tan ¹ _θ _∂θ ^∂ + _sin ¹ 2 θ

∂ ²

∂Φ ²

ψ (r, θ, Φ) = ~ ² l · (l + 1) ψ (r, θ, Φ)

− i ~ ^∂

∂Φ ψ (r, θ, Φ) = m ~ ψ (r, θ, Φ)

DarnihtimDierentialoperatorauftritt,sei

Y _l ^m (θ, φ)

^gemeinsame

Eigen-funktionzur

L ~ ² , L z

^mit^EW

~ ² l(l + 1)

^und

m ~ : L ~ ² Y _l ^m (θ, φ) = ~ ² l(l + 1)Y _l ^m (θ, φ)

(*)

L z

|{z}

− i ~ _δφ ^δ

Y _l ^m (θ, φ) = m ~ Y _l ^m (θ, φ)

mit

ψ(r, θ, φ) = f (r) · Y _l ^m (θ, φ)

^für^beliebige^Fkt.

(*) Separationsansatz:

Y _l ^m (θ, φ) = F _l ^m (θ)Φ m (φ) Φ m (φ) = e ^imφ

^((*)

− i ~ ^∂

∂φ Φ m (φ) = m ~ Φ m (φ)

φ ∈ [0, 2π]

^und

ψ(r, θ, ψ)

^stetig^sein^muss^,^muss

e ^im2π=1

^und^m,lganzzahlig.

Esgilt

L + Y _l ^l (θ, φ) = 0

Aus

( △ )

^und

Y _l ^m (θ, φ) = F _l ^m (θ)e ^imφ

⇒ _dθ ^d − lcotθ

F _l ^l (θ) = 0 → F _l ^l (θ) = c l (sinθ) ^l c l cosθ

sinθ l(sinθ) ^l ⁻ ¹ sinθ − lcotθ = 0

c l

^ausNormierungsbedingung Fürjedes

≥ 0 ∃ Y _l ^l (θ, Φ)

mit

Y _l ^l (θ, Φ) = c l · (sin θ) ^l e ^imΦ

WiederholtesAnwendenvonL

Y _l ^l ⁻ ¹ , Y _l ^l ⁻ ² , ..., Y _l ⁻ ^l

(zujedemPaar(l,m)nureineEigenfunktion)

Normierung:

ˆ

dΩ | Y _l ^m (θ, Φ) | ² = ˆ 2π

0 dΦ ˆ π

0 sin dθ | Y _l ^m (θ, Φ) | ² = 1

2π ˆ

θ | F _l ^m (θ) | ² sin θ = 1 ˆ _∞

0 = r ² | f (r) | ² dr = 1

⇒ c l = ( − 1) ^l 2 ^l l! ·

r 2l + 1 4π

Undshlieÿlih nohlängererRehnung: Kugelähenfunktionen

Y _l ^m (θ, Φ) = ( − 1) ^l 2 ^l l!

s (2l + 1)

4π · (l + m)!

(l − m)! e ^imΦ (sinθ) ⁻ ^m d ^l ⁻ ^m

(d cos θ) ^l ⁻ ^m (sin θ) ^2l

AlternativeForm

Y _l ^m (θ, Φ) = ( − 1) ^m+ ² ^| ^m ^|

s (2l + 1)

4π · (l − | m | )!

(l + | m | )! · P _l ^| ^m ^| (cos θ) · e ^imΦ P _l ^m =

assoziierteLégendre Polynome:

P _l ^m (u) = (1 − u ² ) ^m/2 _du ^d ^m m P l (u) P _l ⁰ (u) ≡ P l (u)

P l (u) = ⁽ ⁻ _d l ¹⁾ l! ^l d ^l

du ^l (1 − u ² ) ^l

Strukturvon

Y _l ^m (θ, φ) :P _l ^m (u) =

^Polynom^l-ten^Gradesⁱⁿ^m;

l :

gerade

ungerade

⇒

gerade

ungerade

Potenz

Y _l ⁻ ^m = ( − 1) ^m (Y _l ^m ) ^∗

Beispiele:

Y ₀ ⁰ = √ ¹ 4π

Y ₁ ⁰ = q

3 4π cos θ Y ₁ ¹ = − q

3 8π sin θe ^iΦ Y ₂ ⁰ = q

5 16π 3 cos ² θ − 1 Y ₂ ¹ = q

15 8π sin θ cos θe ^iΦ

Y 2 ² = q 15

32π sin ² θ · e ^2iΦ

Verhaltenunter Parität:

~x → − ~x

d.h.

r → r

θ → π − θ

Φ → Φ + π Y _l ^m (π − θ, π + θ) = ( − 1) ^l Y _l ^m (θ, Φ)

Orthogonalität:

´ dΩ Y _l ^m (θ, Φ) Y _l ^m ′ ^′ ^∗ (θ, Φ) = δ ll ^′ δ mm ^′

Vollständigkeit:

P

l,m

Y _l ^m (θ, Φ) Y _l ^m (θ ^′ , Φ ^′ ) = δ (cos θ − cos θ ^′ ) δ (Φ − Φ ^′ )

Zusammenhangmit ket:

Y _l ^m (θ, Φ) = h θ, φ | l, m i

7.2 DrehimpulsalsErzeugender(Generator)von

Dehnun-gen

InPolarkoordinaten

L z = ^~ _i _∂Φ ^∂

1 + i

~ αL z

f (θ, Φ) =

1 + α ∂

∂Φ

f (θ, Φ + α) α ≪ 1

Fürendlihe

α

^(und^analytishe^f):

e ^iαL ^z ^/ ^~

| {z }

e ^α∂/∂Φ

f (θ, Φ) = X ∞ n=0

1 n!

α ∂

∂Φ n

f (θ, Φ) = f (θ, Φ + α)

Allgemein:

e ^i~ ^ϕ~ ^L/ ^~ ψ (~x) = ψ (~x ^′ )

wobei

X ~ ^′

^aus

X ~ ^′

^durh ^eine ^Drehung ^um ^Rihtung

_| ^ϕ _ϕ ^~ _~ _|

^um ^den ^Betrag

| ϕ ~ |

hervorgeht.

7.3 Integrale der Bewegung und Symmetrieeigenshaften

AistIntegralderBewegungsindalleErwartungswertezeitlih konstant.

[ _dt ^d h A i (t) = _∂A

∂t

(t) + _i~ ¹ h [A, H] i ]

Falls

∂A

∂t = 0

^und

[A, H ] = 0

^ist^A^Integral^der^Bewegung/Erhaltungsgröÿe Wir betrahten räumlihe Vershiebungen oder Drehungen des QM

Sys-tems.

BetrahtenOrtsvektorderTeilhen.

Bsp.fürDrehungen:

X ~ → X ~ ^′ = S ~ X X ~ = S ⁻ ¹ X ~ ^′ ( △ ) ψ ^′ (x ^′ ) = ψ(x)

^(*)^bestimmt

ψ ^′

SuhenOperator

R s

^,^so^dass

ψ ^′ (~x ^′ ) = R x ψ(~x ^′ )

( ∗ ) → ψ(~x) = R s ψ(~x ^′ )

( △ ) → ψ(S ⁻ ¹ X ~ ^′ ) = R s ψ(~x ^′ ) ∀ ~x ^′

⇒ ψ(S ⁻ ¹ X ~ ) = R s ψ(~x)

bei Parallelvershiebungen ungeändert

⇔

^H ^bei Vershiebungen ungeän-dert.

Vershiebung:

X ~ → X ~ ^′ = X ~ + δ~a δ~ α ≪ 1

⇒ R V erschiebung ψ(~x) = ψ (~x − δ~a) =

1 − (δ~a) ∇ ~ ψ(~x) =



 

 1 − ~ ⁱ δ~a ~~ ∇

|{z} i

~ p



 

 ψ(~x)

InvarianzvonH:

h ψ ^′ | H | ψ ^′ i

| {z }

h H i ^′

=

ψ | R ⁺ _v HR v | ψ

ψ ^′ = R V ψ

= h ψ | H | ψ i ∀| ψ >

⇒ H = R ⁺ _s H R s

infenitesimaleTranslation:

R δ~ α = 1 − ~ ⁱ δ~ α~ p R ^† _δ~ _α HR δ~ α =

1 + i

~ δ~ α~ p

H

1 − i

~ δ~ α~ p

= H + i

~ δ~ α h P , H ~ i

+ σ δ~ α ²

= H

⇒

^Invarianz^unter ^V^ershiebung

⇒ h H, ~ P i

= 0

2. IsotropiedesRaumes:InvarianzunterDrehungen

h ψ | H | ψ i =

ψ | R ⁺ _D HR D | ψ

innitesimal:

R D = 1 − ~ ⁱ δ ~ ϕ~ L ⇒ h H, ~ L i

= ~ 0

Wenn

L ~

ErhaltungsgröÿedannfolgtIsotropiedesRaumes 3. HomogenitätderZeit:

∂H

∂t = 0

^Hist^niht^explizi8tzeitabhängig

⇒ dt ^d h H i = _d

dt H

+ _i~ ¹ h [H, H] i = 0

d.h.

d

dt h ψ | Hψ i = 0

^H^Konstante^der^Bewegung

⇒

Energieerhaltung 4. Allgemein

unitärerOperator:

U α = e ⁻ ^iα/~ ^· ^A

WennfüralleZustände

| ψ >

h ψ | H | ψ i = h ψ | U _α ⁺ HU α | ψ i

also

H = U _α ⁺ HU α ⇒ [H, A] = 0

Undwenn

∂A

∂t = 0

AGenerator

P , ~ ~ L, ...

d

dt h ψ | A | ψ i = 0

GiltauhfürinnereSymmetrien(Isospin)

Satz (Noether):

IstU eineSymmetrietransformation,A eineObservable,H der

zeitunab-hängigeHamiltonoperator,dannistdieAzugeordnetephysikalisheGröÿe

eineErhaltungsgröÿe,d.h.

h A i = const.

(erhaltenerErwartungswert)

2. IstdasSystem einmalin einem EigenzustandvonA, bleibt esohne

äuÿereEinwirkungin diesem

3. DieWahrsheinlihkeit,einenbestimmtenEigenwertvonAineinem

beliebigenZustand

| ψ >

^zu^messen,^istzeitunabhängig.

7.4 Rotation eines zweiatomigen Moleküls

7.4.1 Qualitative Betrahtung

EinfahstesBeispiel:

H 2 2e ⁻ , 2 Kerne

(bild)

adiabatisheNäherung:

FürkleineÄnderungen desKernabstandeskanndieWirkungdurhein

Po-tential

∼ (~r 1 − ~r 2 )

^beshrieben^werden

⇒

harmonisherOZ (bild)

BetrahtenhierDrehungenumMassenmittelpunkt

→

Rotationsanregung 7.4.2 Starrer Rotator

1. klassish(bild)

imShwerpunktsystem:

m 1 r 1 = m 2 r 2 r 1

m 2 = _m ^r ² ₁ = ^r _m ¹ ₁ ^+r _m ² ₂ = _m ₁ ^r _m ₂

µ = _m ^m ₁ ¹ _+m ^m ² ₂

^reduzierte^Masse

µ ≡ r 1 + r 2

Trägheitsmomentbezüglih

O s : I = m 1 r ₁ ² +m 2 r ² ₂ = _(m ¹

1 +m 2 ) ²

m 1 m ² ₂ + m 2 m ² ₁ r ²

DrehungumfesteAhse

~ L

| ~

L |

^mit^einerWinkelgeshwindigkeit

ω R

| L ~ | = Iω R

Energie:

H = ¹ ₂ Iω ² _R = ^L ^~ _2I ²

imRuhesystemdesMassenmittelpunktesnurkinetisheRotationsenergie)

VerallgemeinerteKoordinaten:

θ, ϕ ,

^Rihtung^von

~r

Wellenfunktion:

ψ(θ, ϕ) = h θ, ϕ | ψ i , ´

| ψ | ² dΩ = 1 H = ^L ^~ _2I ²

^(Operator)

h θ, ϕ | H | ψ i = − ^~ _2I ² h

∂ ²

∂θ ² + _tanθ ¹ _∂θ ^∂ + _sin ¹ 2 θ

∂ ²

∂ϕ ²

i ψ(θ, ϕ)

Eigenfunktionen:

Y _m ^l (θ, ϕ) = h θ, ϕ | lm i , H | l, m >= ^l(l+1) _2I ^~ ² | l, m >

vorlesung11.juni

1. Quantisierung

H = ^L ^~ _2I ²

Eigenfunktionen:

Y _m ^l (θ, ϕ) = h θϕ | lm i H | lm >= ^l(l+1)~ _2I ² | lm >

Konvention:

B = _4πI ^~

Rotationskonstante Einheit

s ⁻ ¹ E l = ^~ ² ^l(l+1) _2I = Bhl(l + 1)

Niveaus:

E l − E l − 1 = Bh2l

2. Interpretation

Implikation fürEMÜbergänge:Kopplung anDipolübergagsmoment

*

l ^′ m ^′ | Z

|{z}

rcosθ

| lm +

= rδ mm ^′

h δ l ^′ ,l − 1

q l ² − m ²

4l ² − 1 + δ l ^′ ,l+1

q (l+1) ² − m ² 4(l+1) ² − m ²

i

cosθ · Y _l ^m (θ, ϕ) = q

l ² − m ²

4l ² − 1 Y _l ^m ₋ ₁ (θ, ϕ) + q

(l+1) ² − m ²

4(l+1) ² − m ² Y _l+1 ^m (θ, ϕ)

(a) Übergängenurzwishen benahbartenNiveaus.Auswahlregeln:

∆m = 0, ∆l = ± 1

h X i : ∆l = ± 1, ∆m = ± 1 h Y i : ∆l = ± 1

(b) Photonfrequenz:

(E l − E l − 1 )/h = 2Bl = ν l,l − 1

8 Zentralpotentiale/Wasserstoatom

8.1 Hamiltonoperator: Zentralpotential, d.h.

V ( ~ r ) → V ( r )

1. klassish:Kraftauf klass.Teilhen:

F ~ = − ∇ ~ V (r) = − ^dV _dr · ^~ ^r _r

KraftzeigtinRihtungUrsprung0

d~ U = ~r × ~ p

^folgt(Drehimpulssatz)

d~ L

dt = ~ 0 ⇒

^Drehimpuls ^istErhaltungsgröÿe BahndesTeilhensin Ebenedurh

0 ⊥

^auf

~ L

wobei

v r = ^dr _dt

^und^mit

| ~r × ~v | = r | ~v _⊥ |

hatman

~ L

= | ~r × µ~v | = µr | ~v _⊥ |

⇒

GesamtenergiedesTeilhens:

E = E kin + E pot = ^µ ₂ v _r ² + ^µ ₂ v _⊥ ² + V (r) E = ¹ ₂ µv ² _r + _2µr ^L ² 2 + V (r)

klassisheHamiltonfunktion:

H = ^p _2µ ² ^r + _2µr ^L ² 2 + V (r) p r = _∂v ^∂L _r = µv r , L = T − V

p r = µ ^dr _dt

^kanon. ^Impuls ^zu^r

L ~ ²

auszudrükendurh

r, θ, ϕ

^und

p r , p θ , p ϕ

^d.h.

L ~ ² = p ² _θ + _sin ¹ 2 θ p ² _ϕ

2. QM:

EW-Glg. desHamiltonoperators/Shrödingergleihung

h

− 2µ ^~ ² ∆ + V (r) i

ϕ (~r) = Eϕ (~r)

Vnurabh. vonr

⇒

Kugelkoordinaten. Mit

∆ = ¹ _r _∂r ^∂ ² 2 r + _r ¹ 2

∂ ²

∂θ ² + _tan ¹ _θ _∂θ ^∂ + _sin ¹ 2 θ

∂ ²

∂ϕ ²

L ~ ²

ⁱⁿKugelkoordinaten:

~ L ² = − ~ ² ∂ ²

∂θ ² + 1 tan θ

∂

∂θ + 1 sin ² θ

∂ ²

∂ϕ ²

H = − ~ ² 2µ 1 r

∂ ²

∂r ² r + 1

2µr ² L ~ ² + V (r)

8.2 Separation der Variablen

L i

^wirken^nur

θ, ϕ

^vertaushen^mit^jedem^Operator^der^nur^auf^r^wirkt.

h H, ~ L i

= 0 → L i

^Konstante^der^Bewegung

ebenso

h H, ~ L ² i

= 0

Da die

L i , ~ L ²

niht alle untereinander vertaushen, verwenden wir nur

~ L ² , L z

H, ~ L ² , L z

^vertaushen^paarweise.

⇒

^Möglih ^Basis ^des Zustandsraumszu nden, derenElemente gleihzeitig Eigenfunktionenzudiesen3Observablensind.

Hϕ(~r) = Eϕ(~r)

L ~ ² ϕ(~r) = ~ ² l(l + 1)ϕ(~r) L z ϕ(~r) = ~ mϕ(~r)

D.h.Niveauswerdennah E,l,mklassiziert.Suhen LösungenderForm:

ϕ(~r) = R(r)Y _l ^m (θ, ϕ)

EnergieEhängtabvonlundeinemweiterendiskreten(Bindungszustände)

oderkontinuierlihen(Streuzustände)Indexk:

E kl

ÜbergangzuFunktion u:

R(r) = ¹ _r u(r)

DieseGleihungistanalogzudereineseindimensionalenProblems,beidem

siheinTeilhenderMasse

µ

ⁱⁿ^einem^eektiven^Potential

V ef f (r) = V (r) + ^l(l+1) _2µr 2

^bewegt.

Ahtung:

r ≥ 0

^! ^und

| u (r) | ²

^integrabel^bzgl. ^dr.

Verhaltender Lösungen beikleinemr: Annahme:

V (r)

^bei^r

→

⁰

reguläroderwenigersingulärals

1 − 4πδ (r)

^niht^Lösungen^derShrödingerglg.

Bleibt nur Lösung

R (r) ∼ r ^l .

^Also vershwindet

u (r)

^bei^r=0.

u (r) ∼ r ¹

(fürl=0).

R (r)

^geht^gegen^eine^Konstante^(für^l=0)^odervershwindetfürl>0.

AlsofügeDGL dieBedingunghinzu

u kl (0) = 0.

Wellenfkten von H eines Teilhens in einem Zentralpotential

V (r)

^hängen

von3Indizes ab:

ϕ klm (r, θ, ϕ) = R (r) Y _l ^m (θ, ϕ)

DieEnergieniveaus

E kl

^sind

(2l + 1)

^-fah^entartet:

zufesetemk,l:

m = − l, − l + 1, ..., +l

DieseEntartungexistiertfüralleFormendesPotentials:wesentlihe

Entar-tung.Möglih,dassEW

E k,l

^derRadialgleihungzugegebenenlnohmalsals EW

E k ^′ ,l ^′

^der^durh

l 6 = l ^′

harakterisiertenRadialgleihungauftritt:zufällige Entartungen (z.B.beiH).

Die Radialgleihung hatfürgegebenesl hähstenseinephysikalish

akzep-tableLösung.

ZurEindeutigkeit:

MitEW von

L ² →

^Gleihung ^fürRadialfunktionEW vonHlegt diese Ra-dialfunktioneindeutigfest. Zu gegebenemPaar(l,m) existiertnur eine

Kugel-ähenfunktion

Y _l ^m (θ, ϕ)

8.4 System aus 2 Teilhen

2TeilhenohneSpin,Massen

m 1 , m 2

^,Ortsvektoren

~r 1 , ~r 2

V = V (~r 1 − ~r 2 )

Klassish:

L(~r 1 , ~r 2 , ~ ˙ r, 1 ~ ˙ r, t) = 2 T − V = ¹ ₂ m 1 ~ ˙ r ² ₁ + ¹ ₂ m 2 ~ ˙ r ² ₂ − V (~r 1 − ~r 2 )

KonjugierteImpulse:

~ p 1 = ^∂L

∂ ~ r 1 =m 1 ~ ˙ r 1 , ~ p 2 = m 2 ~ ˙ r 2

Massenmittelpunkt:

~r G = ^m ¹ _m ^~ ^r ¹ ₁ ^+m _+m ² ₂ ^~ ^r ²

^und

~r = ~r 1 − ~r 2

~r 1 = ~r G + _m ₁ ^m _+m ² ₂ ~r, ~r 2 = ~r G − _m ₁ ^m _+m ¹ ₂ ~r L(~r G , ~ ˙ G r, ~r, ~r, t) = ˙ ¹ ₂ M ~ ˙ ² _G r + ¹ ₂ µ ~ ˙ r ² − V (~r)

mitderGesamtmasse

M = m 1 + m 2

^und^derreduziertenMase

µ = _m ^m ₁ ¹ _+m ^m ² ₂

KonjugierteImpulse

~ p G = ^∂L

∂ ~ ˙ G r = M ~ ˙ G r = m 1 ~ ˙ r+m 1 2 ~ ˙ r 2 = ~ p 1 +~ p 2

Gesamtipuls

~ p = ^∂L

∂ ~ r ˙ = µ ~r ˙ = ^m ² _m ^~ ^p ¹ ⁻ ^m ¹ ^p ^~ ²

1 +m 2

Relativimpuls

KlassisheHamiltonfunktion

H = P

i=G,rel ~ p i ~ ˙ r i − L H (~r G , ~ p G , ~r, ~ p, t)stem = _2M ^p ^~ ² ^G + ^p _2µ ^~ ² + V (~r)

Bewegungsgleihungen

p ~ ˙ i = − ^∂H _∂~ _r _i

~ ˙ _G p = − ∂~ ^∂H r G = ~ 0

^Ruhesystem^desMassenmittelpunktsMMP

~ ˙

p = − ^∂H _∂~ _r = − ∇ ~ V (~r)

WählendasRuhestystemdesMMP:Hamiltonfunkton:

H r = ^~ _2µ ^r ² + V (~r)

QM:Operatoren

R ~ 1 , ~ P 1 , ~ R 2 , ~ P 2

^mit

[X 1 , P 1X ] = i ~

[X 2 , P 2X ] = i ~

analog....?

Observablen

R ~ G , ~ R : R ~ G = ^m ¹ _m ^R ^~ ¹ ₁ ^+m _+m ² ₂ ^R ^~ ² , ~ R = R ~ 1 − R ~ 2

unddieObservablen

P ~ G = P ~ 1 + P ~ 2 p ~ = ^m ² _m ^~ ^p ¹ ₁ ⁻ _+m ^m ¹ ₂ ^~ ^p ²

ManndetdieKummutator-Relationen:

[X G , P GX ] = i ~ [X, P X ] = i ~

{ R, P ~ }

^vertausht^mit

{ R ~ G , ~ P G }

Hamilton-Operator:

H = _2M ^P ^~ ^G ² + _2µ ^~ ^p ² + V ( R) ~

d.h.

H = H G + H r

^mit

H G = _2M ^P ^~ ^G ²

^und

H r = ^P _2µ ^~ ² + V ( R) ~

und

[H G , H r ] = 0

^das^heiÿt^es^gibt^eine^Basis^aus^EV^zu ^H,^diegleihzeitig EVzu

H G

^und

H r

^sind.^Wir^suhen^die^Lösungen^des^Systems

H G | ϕ >= E G | ϕ > H r | ϕ >= E r | ϕ >

^mit

E = E G + E r

8.5 Das Wasserstoatom

besteht aus einem Proton mit

m P = 1, 7 · 10 ⁻ ²⁷ kg

^und ^einem ^Elektron ^mit

m e = 9, 1 · 10 ⁻ ³¹

^kg ^mit^der^Ladung

q P/e = ± 1, 6 · 10 ⁻ ¹⁹ C

WWelektrostatish,potentielle Energie

V (r) = − _4πǫ ^q ₀ ¹ _r = − ^e _r ²

r:Abstandzwishenp und

e ⁻ e ² = _4πǫ ^q ₀ ²

Überlegungenaus(Systemaus2Teilhen)BeshränkgungaufRuhesystem

desMMP.Auÿerdem:

µ = _m ^m _e ^e _+m ^m ^p _p = m e (1 − ^m _m _p ^e )

InderOrtsdarstellunghabenwirdieEW-GleihungdesHamiltonOperators:

h

− ^~ 2µ ² ∆ − ^e r 2 i

ϕ(~r) = Eϕ(~r)

WirhabeneinZentralpotential:

ϕ klm (~r) =

R kl (r)

z }| { 1

r u kl (r) · Y _l ^m (θ, ϕ)



 

  − 2µ ^~ ² d ²

dr ² + l(l + 1) ~ ² 2µr ² − e ²

r

| {z }

V ef f (r)



 

 

u kl (r) = E kl u kl (r)

^(*)

und

u kl (0) = 0

(bildvonnemPotential)

E > 0

kontinuierlihesSpektrum

E < 0

^diskretes^Spektrum

Dividieren (*)durh

µe ⁴

2~ ² = E I =

Ionisierungsenergie wählendimensionsloseVariablen:

ρ = _a ^r

0

mitBahn-Radius

a 0 = _µe ^~ ² 2

wirbetrahten

E kl < 0

^und

λ kl = q

− ^E _E ^kl _I h d ²

dρ ² − ^l(l+1) _ρ ² + ² _ρ − λ ² _kl i

u kl (ρ) = 0

LösungderRadialgleihung:VerhaltenfürgroÿeAbstände

ρ : h d ²

dρ ² − λ ² _kl i

u kl (ρ) = 0

Lösungenhiervonsind

u kl (ρ) ∼ e ⁽ ^± ^)λ ^kl ^ρ

modulo Polynomin

ρ

^,⁺^wirdausgeshlossenwegenNormierbarkeit.

Ansatzfür

u kl (ρ) = e ⁻ ^λ ^kl ^ρ Y kl (ρ)

DGLfür

Y kl :

u ^′′ _kl = λ ² _kl e ⁻ ^λ ^kl ^ρ Y kl + ( − 2λ kl )e ⁻ ^λ ^kl ^ρ y _kl ^′ + e ⁻ ^λ ^kl ^ρ Y _kl ^′′

h d ²

dρ ² − 2λ kl d

dρ − ^l(l+1) ρ ² + ² _ρ i

Y kl (ρ) = 0

^und

Y kl (0) = 0 ( △ )

Potenzreihenansatz:

Y kl (ρ) = ρ ^S P ^∞

q=0

c 1 ρ ^q

^und

c 0 6 = 0

vorausgesetzt.

( △ ) ⇒ s > 0

Ableitungen:

d

dρ Y kl (ρ) = P ^∞

q=0

(q ± s)c q ρ ^q+s ⁻ ¹

d ²

dρ ² Y kl (ρ) = P ^∞

q=0

(q + s)(q + s − 1)c 1 ρ ^q ^± ^s ⁻ ²

Einsetzen inDGLfür

ρ :

^Alle^Koezienten^müssen^gleih^null^sein.

TerminniedrigsterOrdnungin

ρ ∼ ρ ^s ⁻ ²

Koe=0

[ − l(l + 1) + s(s − 1)] c 0 = 0

-(Rehnung)

s = l − 1

^oder

s = − l

^nihtakzeptiert.

Mit

s = l + 1

^und^F^orderung^Koezienten^von

ρ ^q+s ⁻ ² = 0

⇒

Rekursionsformel:

q(q + 2l + 1) = 2 [(q − l)λ kl − 1] c q − 1

Verhaltenfürgroÿe

q : _c _q ^c ^q

− 1 = ¹ _q 2 [(1 + l)λ kl − 1]

q + 2l + 1

| {z }

2λ kl

−→ ^q →∞ 2λ kl

q → 0

Wirhabenalsofür

[(q + l)λ kl − 1] 6 = 0

_c _q ^c ^q

− 1 ∼ ^q ^→∞ ^2λ q ^kl

PotenzreihenentwiklungderFunktion

e ^2ρλ ^kl e ^2ρλ ^kl = P ^∞

q=0

dqρ ^q

^mit

d q = ^(2λ _q! ^kl ⁾ ^q

Hieraus.

d q

d _q−1 = 2 ^λ _q ^kl

VLG: Betrahte Reiheverhält sihfürgroÿe

ρ

^wie

e ^2ρλ ^kl

physikalishniht sinnvoll

→

^Alle ^Fälleauszushlieÿen,fürdiedieReihenihtabbriht

→

^einzig

möglihen Werte von

λ kl

^sind ^die, ^für ^die ^die ^Reihe ^nur ^eine^endlihe ^Anzahl

vonTermen hat,d.h.

Y kl (ρ)

^sih^auf ^ein ^Polynom^reduziert. ^Suhen ^also^k, ^so

dassfür

q = k

(k + l)λ kl − 1 = 0 ⇒ λ kl = _k+l ¹ k ≥ 1

DieeinzigmöglihendiskretenEnergieEW sindalso

λ kl = q

− ^E _E ^kl _I

E kl = − (k+l) ^E ^I ² , k = 1, 2, ....; l = 0, 1, ...

______Vorlesung 18.und21.Junifehlen(Southside)______________

B ~

^konstant

⇒ H = H 0 + H 1 + H 2

H 0 = _2µ ^~ ^p ² + V ( R ~

^);

H 1 = − ^µ ~ ^B ~ L · B ~ µ B = ^~ _2µ ^q

H 2 = ^q ² _8µ ^B ^~ ² R ~ ² _⊥ ; ∆E 0 ≫ ∆E 1 ≫ ∆E 2

InterpretationdesparamagnetsihenTerms

magnetishesMoment

M ~ ,

^das^zu^einer^Ladung^q^auf^einer^Kreisbahn^gehört:

M ~ = _2m ^q _e ~ L ⇒

^QM:Operatorgleihung

M ~ 1 = _2m ^q _e ~ L

sodass:

H 1 = − M ~ · B ~

H 1

^entspriht ^also ^der ^Kopplung ^zwishen ^dem magnetishen Feld

B ~

^und

dematomarenmagnetishenMoment

H 1

paramagntish Kopplungsterm:

DieEWeinerjeden Komponentedesmagnetishen Moments

µ B

^gibt^die GröÿenordnungdeszurBahnbewegunggehörenden ma-gnetishenMomentes

Elektron hat auh einen inneren Spin

M ~ S = 2 ^µ _~ ^B S ~

^, ^2=g,

gyroma-gnetsihesVerhältnis

InterpretationdesdiamagntetishenTerms

Sei Drehimpuls=0(Grundzustand)

H 1 = 0.

^Bleibt

H 2

^. ^Homogenes

Ma-gnetfeldmodiziertWahrsheinlihkeitsstrom.MitzugehörigemelektrishenStrom

istmagnetishesMoment

D M ~ dia

E

antiparallelzu

B ~

^verbunden

→

^positive

Kol-lungsenergie.

M ~ ^dia

^istproportionalzurGröÿedesmagnetishenFeldes.Eshandeltsihum dasdurh

B ~

^induzierte^magnetsihe^Moment^im^Atom.^Entgegen

B ~ −

^Rihtung

B ~

^wird^geshwäht^(Lenzshe^Regel).

Kopplungsenergiemit

B ~

⁽

B ~

^langsamangeshaltet)

−

9 Streutheorieinder niht-relativistishen

Quan-tenmehanik

Streuexperimente:Information über Wehselwirkung (WW) zwishen

(funda-mentalen)Teilhen.

VerhalteninStreuexperimenten

1. Hohenergiephysik

L<1fm

∼ 10 ⁻ ⁵ A

^°

E>16eV

Streuproben

Bsp:

e ⁺ e ⁻ : LEP (CERN ) ∼

^200GeV

PP:LHC14TeV

P P

^Tevatron^2Te^V

2. Kernphysik

∼ 10f m

^(atomkern)

∼ 1M eV

Bsp:Gold-GoldKollisionen

∼ 100GeV

Quark-GluonPlasma 3. Atomphysik

∼ 1

∼ eV

Bsp:OptisheSpektroskopie

4. PhysikderkondensiertenMaterie

L ∼ → ∞ E ∼ meV − eV

Bsp: Röntgenstreuung, Photoemission, Optishe Spektroskopie,

Neutro-nenstrahlung

9.0.1 Strahl von Teilhen auf Stationäres Target

skizze)

Vorteil:BeigenügenderDihtedesTargetsvollerGebrauhdeseinlaufenden

Strahls

Nahteil:EnergieimShwerpunktsystemreduziert

Laborsystem:

E = ¹ ₂ mv ²

Shwerpunktsystem:

E = ¹ ₂ m ^v ₄ ² · 2 = ¹ ₄ mv ²

Vorteil:EnergieimShwerpunktsystem

E = P

Strahlenergien

Nahteil:StarkeFokussierungamWW-Punkterforderlih,umgenügend

ho-heRatenzuerziehlen

Wir betrahten nur elastishe Streuung: Innere Zustände der Teilhen

un-verändert

Potentialstreuung: FolgendeAnnahmenfürStreuungamtarget

1. TeilhenhatkeinSpin

2. InnereStrukturderTeilhenunberüksihtig

3. Target istsehrdünn,Mehrfahstreuprozessesindvernahlässigbar

4. KeineKohärenzzwishenanvershiedenenTarget-Teilhen

gestreu-tenWellen

5. WW zwishen Teilhen durh

V (~r 1 − ~r 2 )

beshreibbar

⇒

^im

Ruhe-systemdes Shwerpunkts: Streuung eines Teilhens mitredzuzierter

Masse

µ

^am^Potential

V = V (~r), ~r = ~r 1 − ~r 2

Niht-relativistisheBehandlung

9.1 Stationäre Streuzustände

ZweiBeshreibungsmöglihkeiten:

1. Wellenpakete(einzelnesTeilhen)

2. StationäreStreuwelle(Teilhenstrahl)

Beideäquivalent.2.meistenseinfaher.Zu2.:

H = H 0 + V (~r) H 0 = _2µ ^~ ^p ²

Annahme:

V (~r)

^falle^für

| ~r | → ∞

^shneller^ab^als

_| ~ ¹ r |

SuheLösungen

ψ(~r, t) = ϕ(~r)e ⁻ ^iEt/~

^mit

Hϕ = Eϕ

E > 0

(E=kinetisheENergieweitwegvomSteuzentrum)

⇔

△ + k ² − V (~r)

ϕ(~r) = 0 ( ∗ )

mit

U (~r) := ^2µ _~ 2 V (~r)

^und

E := ^~ _2µ ² ^k ²

ImAllgemeinen:

∞

^viele^Lösungen^von^(*)^zu^gegebenem^E!

Idee:RandbedingungenentsprehndderphyiskalishenSituation.

Ansatz:WeitwegvomStreuzentrum

V ⋍ 0 H ⋍ H 0

fürgroÿe

| ~r |

ϕ ^{(dif f} _k ⁾ (~r) ⋍ e ^ikz

|{z}

einlauf end

+ f k (θ, ϕ) · e ^ikr

| {z r }

auslauf end

e ^ikz ,

^Ebene^Welleⁱⁿ ^z-Rihtung

e ^ikz ,

Teihenstrahlinz-Rihtung löst(*)fürgroÿe

| ~r |

e ^ikr

r ,

^Kugelwelle

△ + k ² _e ^ikr

r = 0

f k (θ, ϕ) ^e ^ikr _r ,

^Kugelwelle^mitrihtungsabhängigerIntensität.

,

^Gestreuter^Strahl

löst(*)ebenfallsfürgroÿe

| ~r |

f k (θ, ϕ)

^löstStreuamplitude

Experiment:Bestimmungvon

| f k (θ, ϕ) | ²

Theorie:Zusammenhang

f k (θ, ϕ) ↔ V (~r)

Kannzeigen:DieseRandbedingungenxierenLösungeindeutig!

(An-nahmean

V (~r)

^wihtig!)

BeshreibungdurhWellenpakete:(ZurVereinfahungnur inz-Rihtung)

ψ(~r, t) = ˆ ∞

0 A(k)ϕ ^{(dif f)} _k (~r)e ⁻ ^iE ^k ^t/ ^~ dk

Amit Maximumbei

k 0

^(bild^mit ^peak^an^k_0,^k^x-ahse,^A^y-ahse)

ψ(~r, t) ⋍ ˆ _∞

0 dkA(k)e ^ikz e ⁻ ^iE ^k ^t/hbar + ˆ _∞

0 A(k)f k (θ, ϕ) e ^ikr

r e ⁻ ^iE ^k ^t/~

BewegungdeMaxima: MIt

v g = ^~k _µ ⁰

^und^r^groÿ,

Z einl. (t) = v g t, r ausl. (θ, ϕ, t) = − α ^′ _k (θ, ϕ)

| {z }

<0

+v g t

t < 0

^kein^Maximumⁱⁿ auslaufenderWelle.

(bildvonWellewihesihinz-Rihtungfortbewegt;beiErreihendes

Streu-zentrums hatdie Welle eineForm,die sih niht so leiht interbretierenlässt;

theta=WinkelvomStreuzentrumaus,Peaksineinembest.Abstandvom

Streu-zentrum)

9.2 Stromdihten, Streuquershnitt

InterpretationderStreuwellenalsTeilhenströme:

ZurWellenfunktion

ϕ(~r)

^gehöriger^Strom:

J ~ (~r) = 1 µ Re

ϕ ^∗ ~

i ∇ ~ ϕ

ϕ ^{(dif f} ⁾ ,

^r^groÿ:

DenitiondesStromquershnitts

≡

Wirkungsquershnitts

dσ

dΩ := ^J ^a ^· ⁽ ^△ _J _e ^Ωr ² ⁾ _△ ¹ _Ω = | f (θ, ϕ) | ²

⁼^(ZahlbeobahteterTeilhenimDetektor/

△ Ω

^/Zeiteinheit)/(ZahleinlaufenderTeilhen/FläheF/Zeiteinheit) Dimension:

f ∼ L, _dΩ ^dσ ∼ F l¨ ache!

σ total := ´ _dσ

dΩ dΩ

⁼^totalerWirkungsquershnitt

ImExperimentmisstmanZählraten,diezu

J e

^sowie^zur^Anzahl^der

Streu-zentrenproportionalsind.

WiederholungderletzetenVorlesung:

Stromdihten,Streuquershnitt

r ²

^nurⁱⁿ auslaufenderradialerRihtung StromdurhFläheFnahauÿen

´

F dF ~ j e = 0

ˆ

SheinbarerKoniktmitStromerhaltung!

Lösung.INterferenztermzwisheneinfallender

(φ k (~r))

^und^gestreuter

(ψ k (~r))

Welle.

+h..=dasgleihenohmalnurhermitishkonjugiert

Im Dokument Ψ( ~r,t =0) | | = ~k 2 πλ (Seite 24-0)

Bestimmung der EW und EV eines Operators

3.4 Eigenwert-Gleihungen / Observablen

3.4.2 Bestimmung der EW und EV eines Operators

{| u i > } : c i ≡ h u i | ψ i A ij = h u i | A | u j i

h u i | A | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j h u i | A | u j i h u j | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j A ij c j = λc i ⇔ P

j A ij c j = P

j λc j δ ij ⇔ X

j

(A ij − λδ ij )c j = 0

6 = 0

Det(A ij − λ ij ) = 0

λ → N

λ

⇒

λ

A = A t

A | ψ >= λ | ψ >

| ψ >

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ ∗ h ψ | ψ i = h ψ | A | ψ i ∗ =

ψ | A T | ψ

|{z} =

A hermitesch

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ

ϕ

h ψ | A | ψ i =

ϕ | A T | ψ ∗

|{z} =

A hermitesch

h ϕ | A | ψ i ∗ =

|{z}

h ϕ | ψ i∗ = h ψ | ϕ i

λ ∗ h ψ | ϕ i = λ h ψ | ϕ i h ψ | A | ϕ i = λ h ψ | ϕ i

< ψ | A = λ < ψ |

A | ψ >= λ | ψ >

A | ϕ >= µ | ϕ >

< φ | A | ψ >=

( λ h φ | ψ i nach rechts

µ h φ | ψ i nach links → (λ − µ) h φ | ψ i = 0, F ur λ ¨ 6 = µ → h φ | ψ i = 0

P ψ ≡ | ψ >< ψ |

< ψ | ψ >= 1

P ψ

| ψ >= P ψ | φ >

| {z }

≡| φ i >

+ ( I − P ψ ) | φ >

| {z }

≡ φ 2

| φ 1 >= P ψ | φ >

P ψ

P ψ (P ψ | φ >)

| {z }

| φ 1 >

=

P ψ | φ >= P ψ | φ >

| {z }

| φ 1 >

| φ 2 >= (1 − P ψ ) | φ >

P ψ

P ψ | φ 2 >=

P ψ (1 − P ψ ) | φ >= (P ψ − P ψ 2

|{z}

P ψ

) | φ >= 0 | φ 2 >

⇒

ket | ψ >

P ψ

→ P ψ

[A, B] = AB − BA = 0

A | ψ >= λ | ψ > ⇒ B | ψ >

A | ψ >= λ | ψ > BA | ψ >= Bλ | ψ >

|{z}

[A,B]

A (B | ψ >) = λ (B | ψ >)

[A, B] = 0

A | ψ 1 >= λ 1 | ψ 1 > ; A | ψ 2 >= λ 2 | ψ 2 > ⇒ h ψ 2 | B | ψ 1 i = 0

λ 1 6 = λ 2

0 = h ψ 2 | AB − BA | ψ 1 i = λ 2 h ψ 2 | B | ψ 1 i− λ 1 h ψ 2 | B | ψ 1 i = (λ 1 − λ 2 ) h ψ 2 | B | ψ 1 i ; λ 1 6 = λ 2

⇒

A = A ^t

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ ^∗ h ψ | ψ i = h ψ | A | ψ i ^∗ =

ψ | A ^T | ψ

ϕ | A ^T | ψ _∗

h ϕ | A | ψ i ^∗ =

λ ^∗ h ψ | ϕ i = λ h ψ | ϕ i h ψ | A | ϕ i = λ h ψ | ϕ i

P ψ (1 − P ψ ) | φ >= (P ψ − P _ψ ²

| u ⁱ _j >, j = 1...m ; A | u ⁱ _j = a i | u ⁱ _j >

u ⁱ _j | u ⁱ _k

j, k = 1...m B | u ⁱ _j >

B | u ⁱ _j >= P m

k=1 β jk | u ⁱ _k > β jk

U ⁻ ¹ βU = β diag =

| u ˆ ⁱ _l >= P

j U _lj ⁻ ¹ | u ⁱ _j >

| u ˆ ⁱ _l >

j BU _lj ⁻ ¹ | u ⁱ _j >= P

j,l ^′ U _lj ⁻ ¹ β jl ^′ | u ⁱ _l ′ >= X

j,l ^′ ,n

U _lj ⁻ ¹ β jk (U

U _nl ⁻ ¹ ′ | u ⁱ _l ′ >

| u ˆ ⁱ _n >

B | u ˆ ⁱ _l >= P

n (b diag ) lu | u ˆ ⁱ _n >= β l | u ˆ ⁱ _l >

(a i , b i ) e ^iϕ | ψ > | h ψ | ψ i = I

H, L ² , L z

∼ n ²

L ² = l · (l + 1) ~ L z = m ~

= (2π ~ ) ⁻ ^3/2 e ^i/~ ^p ^~ ⁰ ^~ ^r { Eigenzust¨ ande, | p ~ 0 > } = Basis

D ~ p 0 | p ~ ^′ ₀ E

~ p 0 − p ~ ^′ ₀

´ d ³ p 0 | p ~ 0 ih p ~ o | = I | ψ >= ´

d ³ p 0 | p ~ 0 > h p ~ 0 | ψ i

d ³ r · v _p ^∗ _~ ₀ (~r)ψ(~r) Impulsdarstellung : h p ~ 0 | ψ i = ˜ ψ(p 0 )

< ~r 0 | ~r ^′ ₀ = δ(~r 0 − ~r ^′ ₀ )

d ³ r 0 | ~r 0 i h ~r

d ³ r 0 | ~r 0 > h ~r 0 | ψ i