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Stufenpotentiale qualitativ

Im Dokument Ψ( ~r,t =0) | | = ~k 2 πλ (Seite 10-0)

2.5 Zeitunabhängiges Potential

2.5.1 Stufenpotentiale qualitativ

2m ∆Ψ(~r, t) + V (~r)Ψ(~r, t)

| {z }

Ableitung nach ~ r

Ansatz:

Ψ(~r, t) = φ(~r) · χ(t) 1

χ(t) i ~ ∂

∂t χ(t)

| {z }

F unktion von t

= 1 φ( r) ~ ( − ~ 2

2m ∆φ(~r, t) + V (~r)φ(~r))

| {z }

F unktion von ~ r

= konst! = ~ ω

für

χ(t) : i ~

∂t χ(t) = ~ ωχ(t) → χ(t) = A · e iωt

Gleihungfür

φ(~r) : − 2m ~ 2 ∆φ(~r, t) + V (~r)φ(~r)) = ~ ω

|{z}

E

φ(~r)

ZeitunabhängigeShrödingergleihung:

( − ~ 2

2m ∆ + V (~r))

| {z }

Hamiltonoperator H

φ(~r) = Eφ( r) ~

EigenwertgleihungdeslinearenOperatorsH.

E:Eigenwert,

φ

: Eigenfunktion.

Ψ(~r, t) = φ(~r)e iωt

stationärerZustand,da

| Ψ | 2 = const.

2.5.1 Stufenpotentialequalitativ

EindimensionaleBewegung(Grak)

stationäreShrödingergleihung:

[ − 2m ~

²

d

²

dx

²

+ V (x)]ϕ(x) = Eϕ(x) [ dx d

²

²

+ 2m ~

²

(E − V (x))]ϕ(x) = 0

Analogiezurük: ElektrisheFeld

E(~r, t) = ~ ~eE (x)e iωt

WellengleihungimMedium mitBrehungsindexn:

[ d

²

dx

²

− n

²

c

²

d

²

dt

²

]E(x)e iωt = 0 [ d

²

dx

²

+ n

²

ω

²

c

²

]E(x) = 0

QM:

2m

~ 2 (E − V ) = n 2 c ω 2 2

n 2

( > 0 transparentes

< 0 totalref lektierendes M edium n 2 > 0 : [ dx d 2 2 + k 2 ]E(x) = 0 k = ω c

n 2 ; E(x) ∝ e ( ± ikx) n 2 < 0 : [ dx d 2 2 − ρ 2 ]E(x) = 0ρ = ω c

− n 2 ; E(x) ∝ e ± ρx

Beispiele:

Figure1:

2.4.1Stufe.png

Brehungsindex;

n 1 = c √ 2mE

;

n 2 = c p

2m(E − V 0 )

,

E > V 0 :

QM:WahrsheinlihkeitP reektiert; Wahrsheinlihkeit(1-P):

transmittiert

Totalreexion,aber: EindringeninGrenzshiht(gedämpfteWelle). QM:

Wahrsheinlihkeit

6 = 0,

dasTeilhenin derRegion2zunden.

2. Barriere:

Figure2:

2.4.1Barriere.png

Tunneleekt;

0 < E < V 0

3. Potentialtopf

Figure3:

2.4.1Potentialtopf.png

(a)

− V 0 < E < 0

Energiequantisierung

(b)

E > 0

teilweise Transmission,teilweiseReexion

(i)

E > V [ dx d

²

²

+ k 2 ]ϕ(x) = 0 k = q 2m

~

²

(E − V ) ϕ(x) = Ae ikx + Be ikx A, B ǫ C

(ii)

E < V [ dx d

²

²

− ρ

²

]ϕ(x) = 0 ρ bzw. κ = q

2m

~

²

(V − E) ϕ(x) = Ce ρx + De ρx C, D ǫ C

(iii)

E = V ϕ(x) = E + F x E, F ǫ C

2.5.2.1Anshlussbedingungen

V(x)mit Unstetigkeitbeix=a.

Sei

V ρ

in

[a − δ; a + δ] ∀ δ

beshränkt;einmaligintegriert

dx | a+δ − dx | a − δ = ´ a+δ a − δ

2m

~

²

(V δ (x) − E)ϕ(x)dx

beshränkt rehteSeite

0für

δ → 0

dx | a+δ = dx | a − δ = ⇒ ϕ = dx

iststetigbeix=a

= ⇒ ϕ

ebenfallsstetigbeix=a

2.5.2.2Potentialstufe

V (x) = V 0 E(x) = { V 0 x > 0 0 x ≤ 0 E > V 0 :

I:

d

²

ϕ

dx

²

+ k 1

²

ϕ = 0 , k 1 = q

2m

~

²

E

II:

d

²

ϕ

dx

²

+ k 2

²

ϕ = 0 , k 2 = q

2m

~

²

(E − V 0 ) ϕ I (x) = A 1 e ik 1 x + A 1 e ik 1 x

ϕ II (x) = A 2 e ik 2 x + A 2 e ik 2 x

Teilhen kommtvonlinks

= ⇒ A 2 = 0

i)

ϕ I (0) = ϕ II (0) : A 1 + A 1 = A 2

ii)

ϕ I (0) = ϕ II (0) : K 1 (A 1 − A 1 ) = K 2 A 2

A A 1 1 = k k 1 1 +k k 2 2

A 2

A 1 = k 1 2k +k 1 2

;wähle

A 1 = 1

Reexionskoezienten:

φ(x; x ≤ 0) = e (ik 1 x) + k k 1 k 2

1 +k 2 e ( ik 1 x) φ(x; x > 0) = k 1 2k +k 1 2 e (ik 2 x)

Transmissionskoezient:

T = k k 2

1 | A A 2 1 | 2 = (k 4k 1 k 2

1 +k 2 )2

R+T=1;TotalreexionT=0

ˆ (b)

E < V 0

(II):

d 2 φ

dx 2 − ρ 2 φ = 0; ρ = q

2m

~ 2 (V 0 − E)

k 2 → iρ

;

φ II (x) = B 2 e (ρx) + B 2 e (ρx) ;

Beshränkungvon

φ ⇒ B 2 = 0

ˆ

A 1

A 1 = k k 1 1 +iρ ; B A 2 1 = k 2k 1 +iρ 1 → R = | A A 1 1 | 2 = 1

ˆ

φ(x; x < 0) = (A 1 =1) e (ik 1 x) + k k 1 1 +iρ e ik 1 x

ˆ

φ(x; x ≥ 0) = (A 1 =1) k 2k 1 +iρ 1 e ρx

ˆ

V 0 → ∞ (ρ → ∞ )

;

A 1 → − A 1 ; B 2 → 0

ˆ

φ(x = 0) = 0; φ | ∞ Schwelle ≡ 0

2.5.2.3Tunneleekt, Potentialshwelle

V (x) = V 0 Θ(a − | x | )

(bild)

E < V 0 :

ϕ(x) =

 

 

x < a Ae ikx + Be ikx

− a ≤ x ≤ a Ce κx + De κx x > a F e ikx + Ge ikx

Mit

k = q

2mE

~

und

κ =

q 2m(V 0 − E)

~

(κ , ρ)

Anshluÿbedingung beix=-a

(i)

ϕ I (x = − a) = ϕ II (x = − a) : Ae iKa + Be iKa = Ce κa + De κa

(ii)

ϕ I ( − a) = ϕ II ( − a) : ik(Ae iKa − Be iKa ) = − κ(Ce κa − De κa )

Entsprehendbeix=a

Betrahten: vonlinkseinlaufendes TeilhenG=0

(Rehnung)

A = F (cosh2ρa + 2 sinh2ρa)e 2ika B = F ( 2 )sinh2ρa

wobei:

ǫ = ρ kk ρ

;

η = ρ k + k ρ

DenitionTransmissionsamplitude:

S = F A = arsh(2ρa)+ e −2ika iǫ 2 sinh(2ρa)

T = | S | 2 = 1

1+(1+ ǫ 4 2 )sinh 2 (2ρa) = 4E(V 0 E)

4E(V 0 − E)+V 0 2 sinh 2 ( √

2m(V 0 − E)2a ~

Grenzfall:

ρa >> 1

sehrhoheundsehrbreiteShwelle

→ T = e ( 4

2m(V 0 − E) a ~ )

2.5.3 Potentialtopf

V (x) = − V 0 θ( a 2 − | x | ) V 0 ≤ E ≤ 0 : ϕ ′′ − κ

²

ϕ κ = q

2m

~ (V 0 − E)

für

| x | > a 2 ϕ ′′ + k

²

ϕ k = q

2m

~ (E + V 0 )

für

| x | ≤ a 2 ϕ I = B 1 e κx + B 1 e κx

ϕ III = B 3 e κx + B 3 e κx ϕ II = A 2 e ikx + A 2 e ikx

Beshränktheit

B 3 ≡ 0

x = − a 2 (B 1 = 0)

xistnegativdarauffolgtdieBeshränktheitvon

ϕ I

ϕ ( I ) x = − a 2

= ϕ ( II ) x = − a 2

= ⇒ A 2 = e ( κ+ik) a 2 κ+ik 2ik B 1

= ⇒ A 2 = − e (κ+ik) a 2 κ 2ik ik B 1

Anshlussbedingungbei

x = a 2

:

ˆ

B 3

B 1 = e 4ikκ κa

(κ + ik)

²

e ika − (κ − ik)

²

e ka

ˆ

B 3

B 1 = κ

²+k²

2kκ sin ka B 3 = 0

κ − ik κ+ik

2

= e 2ika

Energiequantisierung

1.

κ − ik

κ+ik = − e ika κ k = tan( ka 2 ) ; k 0 = q

2mV 0

~

²

= √ k

²

+ κ

²

1

cos

²

( ka 2 ) = 1 + tan

²

( ka

2 ) = κ

²

+ k

²

k

²

=

k 0

k 2

( | cos( ka 2 ) | = k k 0 tan( ka 2 ) > 0

(Grak),ShnittpunktemitWelle=Geradenlösungen

2.

κ − ik κ+ik = e ika

( | sin( ka 2 ) | = k k 0

tan ka 2 < 0

Literatur(zurVollständigkeit-.-)

ˆ S.Groÿmann:Funktioanalanalysis im Hinblik auf Anwendungen in der

Physik

ˆ Ahieser,Glasmann: TheoriederlinearenOperatorenimHilbertraum

Ziel: AbstrakteBeshreibungdesZustandesalsElementeinesZustands(Hilbert)

RaumsundderMessgröÿenduhthermitisheOperatorenunabhängigvoneiner

Basis.

3.1 Zustandsraum der Wellenfunktion

L 2 ≡ { quadratintegrable F untktionen }

→ F = { gen¨ ugend regul¨ are F kten ∈ L 2 }

1.

F

isteinlinearerRaum

Ψ 1 ( r), ~ Ψ 2 (~r) ∈ F

⇒ Ψ(~r) = λ 1 Ψ 1 + λ 2 Ψ 2 ∈ F λ 1,2 konst ∈ C

da

| Ψ(~r) | 2 quadratintegrabel | Ψ | 2 = | λ 1 | 2 | Ψ 1 | 2 + | λ 2 | 2 | Ψ 2 | 2 = 2Reλ 1 λ 2 Ψ 1 Ψ 2 <

| λ 1 || λ 2 | ( | Ψ 1 | 2 + | Ψ2 | 2 )

Ψ | 2 <

FunktionderenIntegralkonvergiert 2. Skalarprodukt

φ(~r), Ψ(~r) ∈ F

(φ, Ψ) = ˆ

d 3 (~r)Ψ(~r)

| {z }

C

Eigenshaften:

(φ, Ψ) = (Ψ, φ)

(ϕ, λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) = λ 1 (ϕ, ψ 1 ) + λ 2 (ϕ, ψ 2 )

bezüglih der zweiten

Kompo-nentelinear

(λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 , ψ) = λ 1 (ϕ 1 , ψ)+λ 2 (ϕ 2 , ψ)

bezüglihderersten

Komponen-teantilinear

Falls

(ϕ, ψ) = 0 ϕ

und

ψ

zueinanderorthogonal

(ψ, ϕ) ≥ 0 = ´

d

³

ψ (ψ, ψ) = 0 ⇔ ψ(~r) = 0

Normin

F

:

| ψ | = (ψ, ψ) 1 2

ShwarzsheUngleihung

| (ψ 1 , ψ 2 ) | ≤ | ψ 1 || ψ 2 |

[Norm:

ψ 1 − | 2 ψ 2 | 1 ) ψ 2

1. LineareOperatoren

LinearerOperatorA:

φ(~r) = A · Ψ(~r)

,

φ, Ψ(~r) ∈ F A(λ 1 Ψ 1 + λ 2 Ψ 2 ) = λ 1 AΨ 1 + λ 2 AΨ 2 ; λ 1,2 ∈ C

Beispiele:

(a) Ortsoperator

χ : X Ψ(x, y, z) = xΨ(x, y, z)

(b) Dierntialoperator

D x D x Ψ(x, y, z) = ∂x Ψ(x, y, z)

() Partätsoperator

Π : ΠΨ(x, y, z) = Ψ( − x, − y, − z)

(d) HamiltonoperatorH:

HΨ(x, y, z) = ( − 2m ~ 2 ∆ + V (x, y, z)Ψ(x, y, z)

2. ProduktevonOperatoren

(a) A,BlineareOperatoren;Produkt (Def.):

(AB)ψ (~r) = A (Bψ (~r))

| {z }

ϕ( r) ~

Kommutator:vonAundB:[A,B℄=AB-BA

Bsp:

[χ, D x ] ψ (~r) = x ∂x − ∂x x

ψ(x, y, z) = − ψ(x, y, z)

⇒ [χ, D x ] = − 1

oder

χ, ~ i D x

= i ~

(b) OrthonormierteBasis

VektorharakterisiertdurhKomponentenbzgl.einer

orthonormier-tenBasis

{ u i }

;

u i (~r) ǫ F

Orthonormiert:

(u i ; u j ) = δ ij

ψǫ F : ψ(~r) = P

i c i u i (~r)

3. KomponenteneinerFkt.inBzg.auf eineBasis

{ u i (~r) } ψ (~r) = P

i c i u i (~r)

´ d

³

r · u j ψ (~r) = P

i c i

ˆ

d

³

ru j u i

| {z }

δ ij

= c j

c j = ´

d

³

r · u j (~r) ψ (~r) ψ =

P

i c i u i

(u j , ψ) = P

i c i (u i , u j )

| {z }

δ ij

c j = (u j , ψ)

4. SkalarproduktinKomponentenshreibweise

φ(~r) = P

i b i u j (~r) Ψ(~r) = P

i c i u j (~r)

´ d 3 rΨ(~r) Ψ(~r) = P

i b i c i

speziell:

(Ψ, Ψ) = P

| c i | 2

5. Vollständigkeitsrelation:

∀ Ψ ∈ F

gilt:

Ψ(~r) = P

i c j u i (~r) = P

i

´ d 3 r u i (~r )Ψ(~r )u i (~r) = ´

d 3 rΨ(~r) P

i u i (~r)u i (~r)

| {z }

F(~ r, ~ r )

=

´ d 3 r Ψ(~r )F (~r, ~r ) ∀ Ψ

Vollständigkeitsrelation

X

i

u i (~r)u j (~r ) = δ(~r − ~r )

EbeneWelle(eindimensional):

V p (x) ≡ 1 ~ e ipx ~

mit

p , Index

ZerlegungeinesWellepaketesnahebnenWellen

,

Entwiklungnah

Ba-sis

{ v p }

Verallgemeinerungauf beliebige kontinuierliheBasis

{ w α (~r) }

Basis Index Komp.

Ψ

Bezeihnung

u i (~r)

i

c i P

i c i u i (~r)

allgemein

v

ÿ

(~r)

p

Ψ(p) ˜ ´

dp Ψ(p)v ˜ p (~r)

Impulsdarstellung

ζ r ~ 0 (~r) ~r 0 Ψ(~r 0 ) ´

d~r 0 Ψ(~r 0 )ζ r 0 (~r)

Ortsdarstellung

ω En (~r)

n

c n P

n c n ω En (~r)

Energiedarstellung(gebundene)

ω E (~r)

E (E)

´

dE c(E)ω E (~r)

Energiedarstellung(Streuzustände)

(i)EbeneWellen(eindimensional)

1. ZustandeinesTeilhensharakterisiertduhWellenfunktion

Ψ(~r)

bzw.durh

KomponentenbezügliheinerbestimmtenBasis.

Analogie: Vektor

~a im R 3

bzg. einerBasis

{ ~e 1 ~e 2 , ~e 3 } ~a = (a 1 , a 2 , a 3 ) =

a

hatdie BedeutundunabhängigvonderBasis;

~a · ~b

liefertin jederBasis

dasgleiheResultat.

~a · ~b = P

i a i b i = P

i a j b j = P

i,k,l a k O jk b l O jl = P

j,k,l a k b l O jl O T kj

O · O T =Λ = P

k,l a k b l δ kl = P

k a k b k

2. Ket undBra

Beshreibung einesZustandesohneBezugauf dieOrtsvariable.

(a) Ket

Ket =ElementeinesZustandsraumsH(Hilbertraum)symbolisiert

| a >

Speziell: Fürjedes

ψ (~r) ǫ F ⇐⇒ | ψ > ǫH

(b) Bra

ZujedemKet

| ϕ >

gehörteinBra:

< ϕ |

, derzusammen miteinem

beliebigenket

| ψ >

einekomplexeZahldeniert:

< ϕ | ψ >=

komplexeZahl=SkalarproduktAnm.:Analogiewäre Vek-torundkonjugiertkomplexerVektor

Esgilt:

< ϕ | ψ > ∗ =< ψ | ϕ >

< ϕ | λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 >= λ 1 < ϕ | ψ 1 > +λ 2 < ϕ | ψ 2 >

mit

λ 1 λ 2 ǫ C

< λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 | ψ >= λ 1 < ϕ 1 | ψ > +λ 2 < ϕ 2 | ψ >

Skalarproduktist inBezugaufvorderenFaktorantilinear:

Bemerkung: Werden auh (als math. Hilfsmittel)verallgemeinerte

ket zulassen;z.B.

| ξ x 0 >

,

| v p 0 >

3. LineareOperatoren

LinearerOperatorordnetjedem

| Ψ > ∈ H

einenket

| Ψ > ∈ H

sozu,dass

deZusammenhanglinearist:

| Ψ >= A

|{z}

Operator

| Ψ >

istwieder ket

A(λ i | Ψ i > +λ 2 | Ψ 2 >) = λ 1 A | Ψ 1 + λ 2 A | Ψ 2 > λ 1,2 ∈ C

Produktzweier linearerOperatoren, AB,istdeniertdurh:

(AB) | Ψ >=

A(B | Ψ >)

I.A.

AB 6 = BA

Kommutator

[A, B] = AB − BA 6 = i.a. 0

einerseitsSalarproduktvon

< Ψ | mit | Ψ = A | Ψ >

:

| Ψ >

| {z }

<φ | (A | Ψ>

andererseitsMatrixelementvonAzwishen

| φ > und | Ψ > .

IsteineZahl

dielinearvon

| Ψ >,

antilinearvon

| φ >

abhängt.

Gegebensei

| Ψ 1 >

und

< φ 1 |

fest.Danndeniert

| Ψ 1 >< φ 1 |

einenlinearen

Operatoraufeinembeliebigenket

| Ψ >

durh

| Ψ >

| {z }

ket

< φ 1 | Ψ >

| {z }

Zahl

Die

Anwen-dungvon

| Ψ 1 >< φ 1 |

führtaufeinenanderenket

stellteinenOperator

dar.

Beikets,bras,OperatorenistdieReihenfolge wihtig!

< a | b >

Skalarprodukt

| b >< a |

Operator

AnalogieVektoren

< a | b >

Analogie

(a i ...a n )

Projektionvon

| ϕ >

auf

ψ

Anwendung desProjektorsaufeinenUnterraum:

Seien

| ψ 1 >, ..., | ψ 2 >

orthonormierteket:

< ψ i | ψ j >= δ ij

für

1 ≤ i, j ≤ q

Projektionvon

| ϕ >

aufUnterraum

H q

4. HermitesheKonjugation

Aangewandtauf

| Ψ >

liefertA

| Ψ >

Denitionvon

A + (linear) : | Ψ >= A | Ψ > ↔ < Ψ | =< Ψ | A +

Esfolthierraus:Skalarprodukt

h Ψ | φ i = h φ | Ψ i → h Ψ | A + | φ i = h φ | A | Ψ i

Beahte:

A | Ψ >= | AΨ >

Shreibweise

< AΨ | =< Ψ | A +

Eigenshaften:

A + ) + = A

(λA) + = λ A + λ ∈ C (AB) + = B + A +

| φ >= AB | Ψ >= A | χ >

< φ | =< Ψ | (AB) + =< χ | A + =< Ψ | B + A +

Anmerkungen:

Λ ,

Einheitsmatrix

+transponiertundkomplexkonjugiert

*komplexkonj.

zuAadjungierterOperator

A + :

φ | A + | ψ

= h ψ | A | φ i

Eigenshaften:

(A + ) + = A (λA) + = λ A + , λ ∈ C ;

(AB) + = B + A +

BetrahenOperator:

| u >< c |

Esist

( | u >< v | ) + = | v >< u |

Beweis:

< ϕ | ( | u >< v | ) + | ψ >= (< ψ | u >< v | ϕ >)

=< ψ | u > < v | ϕ > =< ϕ | v >< u | ψ >

Speziell:

( | u >< u | ) + = | u >< u |

DerProjektionsoperatoristhermitesh

HermitesheOperatoren:

A + = A h ϕ | A | ψ i =

ψ | A + | ϕ

= h ψ | A | ϕ i

A = A T ↔ A + = A

WahleinerDarstellungentsprihtderWahleinerorthonormierten(diskret;

kon-tinuierlihe)BasisimZustandsraumH

( {| ket > } )

ZuständewerdendargestelltdurhKomponentenbzgl.dieserBasis.

Operatorenwerdendargestelltdurh Matrizenbzgl.dieserBasis.

Orhonormierungsbedingungen:

{| u i > }

diskret(kontinuierliheIndizes: ana-log)

< u i | u j >= δ ij

Vollständigkeitsrelation:

{| u i > }

bildeteineBasisinH,wennjeder

| ψ > ∈ H

aufgenau eineWeise nah

| u i >

entwikeltwerdenkann.

| ψ >= P

i c i | u i >

und

c j = h u j | ψ i

| ψ >= P

i h u i | ψ i | u i >= P

i | u i >< u i | ψ >= ( P

i | u i >< u i | ) | ψ >

Sei

Λ

EinheitsoperatorinH:

P { u i } = P

i | u i >< u i | = Λ ←

Vollständigkeitsrelation 3.3.1 Darstellung der ket, Bra, undOperatore

ˆ

→ Ket | ψ >

in der durh die Basiskets

{| u i > }

harakterisierten Darstel-lungentsprihtdereinspaltigen Matrix

  h u 1 | ψ i

.

.

.

h u n | ψ i

  =

  c 1

.

.

.

c n

 

ˆ

→ Bra < ψ |

inderdurh

{| u i > }

har.Darstellung:einzeiligeMatrix

( h ψ | u 1 i ... h ψ | u n i ) = (c 1 ...c n )

ˆ

→ Operator A

inderdurh

{| u i > }

harakterisiertenDarstellung:

A ij =<

u i | A | u j >

h u i | AB | u j i = h u i | A I B | u j i =

u i | AP { k } B | u j

= P

k h u i | A | u k i h u k | B | u j i = P

k A ik B kj →

Matrixmultiplikation

ˆ

→ M atrixdarstellung | ψ >= A | Ψ >

in der

{| u i > }

Darstellung:

c i = h u i | ψ i = h u i | A | ψ i =

u i | AP { u j } | ψ

= P

j h u i | A | u j i h u j | ψ i = P

j A ij c j

ˆ Darstellungvon

h φ | A | ψ i

inder

{| u i > }

Darstellung:

h φ | A | ψ i = P

ij h φ | u i i h u i | A | u j i h u j | ψ i = P

ij b i A ij c j

ˆ DarstellungdeszuAhermitesh konjugiertenOperators

A +

inder

{| u i > }

Darstellung:

(A + ) ij = A ji

[

(A + ) ij = h u i | A + | u j i = h u j | A | u i i = A ji

ˆ FürhermiteshenOperator

A + = A :

A ij = A ji

und

A ii = A ii

IngegebenerDarstellungsindbra,ketundOperatorendurh eineMatrix

dar-gestellt.

Darstelungswehsel

dieselbenObjekte sinddurh eineandere Matrix

darge-stellt.Frage:WiehängendieseMatrizenzusammen?

ÜbergangvonBasis

{| u i > }

zuBasis

{| t k > }

:festgelegtdurhKomponentender neuenBasisvektorenbzgl.deralten Basis:

| t k >= P

VerallgemeinerungderDrehungaufkomplexeVektoren.

orthogonaleDrehmatrix:

A T A = Λ

ˆ NeueKomponentendes

ket | ψ >:

ˆ NeueKomponentendesbra:

h φ | t k i = h φ | Λ | t k i =

ˆ NeueKomponenteneinerMatrix:

A KL = h t k | A | t l i =

3.4 Eigenwert-Gleihungen / Observablen

3.4.1 Eigenwerte/Eigenvektoren

Denition:

Ket | ψ >

sei Eigenvektor(oderEigenket) des linearenOperators A, wennmit einerkomplexenZahl

λ

diefolgendeBeziehunggilt:

A | ψ >=

GesamtheitderEigenwerte:SpektrumvonA.

ˆ

λ

einfaherEigenwert

zu

λ

gehörigeEV isteindeutigfestgelegt (bisauf

einenkonst.Faktor:

| ψ >

seiEVzuA mitEW

λ; α ∈ C

A(α | ψ >) = αA | ψ >= αλ | ψ >= λ(α | ψ >); e | ψ >

kann dranmultipli-ziertwerden.)

ˆ

λ

istg-fah entartet

glinearunabhängige EVzu

λ : | φ >; i = 1....g

Diesespanneneineng-dimensionalenEigenraumauf (jede

Liearkombina-tionistwiederEV)denn:

| ψ >= P g

i=1 c i | ψ i >

istEVvonA zu

λ; c i ∈ C : A | ψ >= P g

i=1 c i A | ψ i >= P g

i=1 c i λ | ψ i >= λ P g

i=1 c i | ψ >= λψ >

Beispiel:Projektionsoperator

P ψ = | ψ >< ψ | h ψ | ψ i = 1

EW-Gleihung:

P ψ | φ >= λ | φ > → | ψ >< ψ | φ >= λ | φ >

EVvon

P ψ :

| ψ >, λ = 1 | ψ >< ψ | ψ >= λ | ψ >

allezu

| ψ >

orthogonalen

kets | φ >

mit

λ = 0 | ψ >< ψ | φ >= λ | φ >

Spektrumvon

P psi : 0, 1

Bemerkung:konjungierteEW-Gleihung:

< ψ | A + = λ < ψ |

3.4.2 Bestimmungder EW undEV eines Operators

BeshränkenunsaufZustandsraummit endl.DimensionenN

WähleneinebestimmteDarstellung

{| u i > } : c i ≡ h u i | ψ i A ij = h u i | A | u j i

h u i | A | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j h u i | A | u j i h u j | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P

j A ij c j = λc i ⇔ P

j A ij c j = P

j λc j δ ij ⇔ X

j

(A ij − λδ ij )c j = 0

HomogenesGleihungssystem:

Hat nur dannLösung

6 = 0

,wenn

Det(A ij − λ ij ) = 0

CharakteristisheGleihung/Säkulärgleihung

FürNxN-Matrizen:GleihungN-tenGradesfür

λ → N

Wurzeln:reell,

kom-plex,einfahodervielfah.

Durh beliebigen Basiswehsel zeigt man, dass die harakteristishe

Glei-hungunabhängigvonderBasisist.DieEWeinesOperatorssinddieLösungen

seinerharakteristishenGleihung.

FürhermitesheOperatorengilt:

Falls EW

λ

n-fah entartet ist

existieren n linearunabh. EV zu

λ

.

Di-mension des zugehörigen Eigenraums ist n. ( Operator ist diagonalisierbar

)

ImfolgendenseiAhermitesh:

A = A t

(i)DieEigenwerteeinesheriteshenOperatorssindreel.

Dennesgilt:

A | ψ >= λ | ψ >

fürEV

| ψ >

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ h ψ | ψ i = h ψ | A | ψ i =

ψ | A T | ψ

|{z} =

A hermitesch

h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ

istreell

Füralle

ϕ

:

h ψ | A | ψ i =

ϕ | A T | ψ

|{z} =

A hermitesch

h ϕ | A | ψ i =

|{z}

h ϕ | ψ i∗ = h ψ | ϕ i

λ h ψ | ϕ i = λ h ψ | ϕ i h ψ | A | ϕ i = λ h ψ | ϕ i

oderAwirktnahlinks

< ψ | A = λ < ψ |

(ii) Zwei Eigenvektoreneines hermiteshenOperatorszu vershiedenen

Eigen-werten stehenorthogonal.

A | ψ >= λ | ψ >

A | ϕ >= µ | ϕ >

< φ | A | ψ >=

( λ h φ | ψ i nach rechts

µ h φ | ψ i nach links → (λ − µ) h φ | ψ i = 0, F ur λ ¨ 6 = µ → h φ | ψ i = 0

Denition: Ein hermitesher Operator A ist eine Observable, wenn dessen

EigenvektorenimZustandsraumeineBasisbilden.D.h.jederZustandkannnah

EigenvektorenderObservablenentwikeltwerden.

Beispiele:

1. Hamilton-Operator:Energie-Eigenzuständesindvollständig.

2. Projektionsoperator

P ψ ≡ | ψ >< ψ |

mit

< ψ | ψ >= 1

(a)

P ψ

isthermitesh. EinEW=1,alleanderenEW=0

(b)

| ψ >= P ψ | φ >

| {z }

≡| φ i >

+ ( I − P ψ ) | φ >

| {z }

≡ φ 2

| φ 1 >= P ψ | φ >

ist EV von

P ψ

zum EW 1. Denn

P ψ (P ψ | φ >)

| {z }

| φ 1 >

=

P ψ | φ >= P ψ | φ >

| {z }

| φ 1 >

| φ 2 >= (1 − P ψ ) | φ >

ist EV von

P ψ

zum EW 0. Denn

P ψ | φ 2 >=

P ψ (1 − P ψ ) | φ >= (P ψ − P ψ 2

|{z}

P ψ

) | φ >= 0 | φ 2 >

Jeder

ket | ψ >

kannnahdenEVvon

P ψ

entwikeltwerden

→ P ψ

istObservable.

Satz1: Esgelte

[A, B] = AB − BA = 0

und

A | ψ >= λ | ψ > ⇒ B | ψ >

istEV

vonAmit demselbenEW.

Denn:

A | ψ >= λ | ψ > BA | ψ >= Bλ | ψ >

|{z}

[A,B]

A (B | ψ >) = λ (B | ψ >)

Satz2: Esgelte

[A, B] = 0

;

A | ψ 1 >= λ 1 | ψ 1 > ; A | ψ 2 >= λ 2 | ψ 2 > ⇒ h ψ 2 | B | ψ 1 i = 0

mit

λ 1 6 = λ 2

Denn

0 = h ψ 2 | AB − BA | ψ 1 i = λ 2 h ψ 2 | B | ψ 1 i− λ 1 h ψ 2 | B | ψ 1 i = (λ 1 − λ 2 ) h ψ 2 | B | ψ 1 i ; λ 1 6 = λ 2

Behauptung

ZentralerSatz:

Satz3: Falls[A,B℄=0

ExistierteineothonormierteBasis mitBasisvektoren, diesimultanEigenvektorenzuAundBsind.

(i)

| u i >

seiEVzuAmit niht-entartetemEW

a i

.

B | u i >

istEVzuA

Alsoproportionalzu

| u i >

;Koezient=

b i ⇒ B | u i >= b i | u i >

(ii)Sei

a i

m-fahentartet

| u i j >, j = 1...m ; A | u i j = a i | u i j >

orthonormiert

u i j | u i k

= δ jk

;

j, k = 1...m B | u i j >

istEVzuA

B | u i j >= P m

k=1 β jk | u i k > β jk

isthermitesh(Bhermitesh)undsomit

diag-onalisierbardurhunitäreTransformation.

U 1 βU = β diag =

  β 1

.

.

.

β m

 

WählealsoneueBasis-Vektoren

| u ˆ i l >= P

j U lj 1 | u i j >

| u ˆ i l >

istEV zuAmitEW

a i

IstEVzuBmitEW

β l ,

denn

P

j BU lj 1 | u i j >= P

j,l U lj 1 β jl | u i l ′ >= X

j,l ,n

U lj 1 β jk (U

| {z }

(β diag ) ln

U nl 1 ′ | u i l ′ >

| {z }

| u ˆ i n >

B | u ˆ i l >= P

n (b diag ) lu | u ˆ i n >= β l | u ˆ i l >

VollständigerSatz kommutierender Observabler(v.S.k.O)

1. Alle Operatorenvertaushenuntereinander

2. Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren reiht aus, um (bis auf

einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.

Bzw:WenneineorthonormierteBasisgemeinsamerEVexistiertunddiese

Basis(bisaufeinenFaktor) eindeutigist.

DieseEigenvektorensindsomiteindeutigdurhdieEW haraktersisiert.

Beispiele:

ˆ EindimensionalePotentiale:

χ

oderP

A,B

(a i , b i ) e | ψ > | h ψ | ψ i = I

ˆ DreidimensionaleProbleme: X,Y,Zoder

P x , P y , P z

drehinvariantes Poten-tial

H, L 2 , L z

(siehespäter)

Bemerkungen:

Wenn

O

mit allen Operatoren eines vollständigen Satzes vertausht,ist er keineFunktion dieserOperatoren.

1-dimensionales

O

vertaushtmitX

O

istFkt. vonX.

ket (oderauhbra)werdenoftdurhdieEWeinesvollst. Satzes

harak-terisiert:

ˆ

| p >

entsprihtderebenenWellemit Impulsp

ˆ

| E o >

entsprihtdemGrundzustand desH-Operators

| n, l, m >

entsprihtEigenzustandmitEnergie

∼ n 2

,Drehimpuls

L 2 = l · (l + 1) ~ L z = m ~

WihtigeBeispiele:

ˆ ObservableImpuls

Basis

v o (~r)

| {z }

| p o ~ >

= (2π ~ ) 3/2 e i/~ p ~ 0 ~ r { Eigenzust¨ ande, | p ~ 0 > } = Basis

orthonormiert:

D ~ p 0 | p ~ 0 E

= δ

~ p 0 − p ~ 0

vollständig:

´ d 3 p 0 | p ~ 0 ih p ~ o | = I | ψ >= ´

d 3 p 0 | p ~ 0 > h p ~ 0 | ψ i

und

h p ~ 0 | ψ i = ´

d 3 r · v p ~ 0 (~r)ψ(~r) Impulsdarstellung : h p ~ 0 | ψ i = ˜ ψ(p 0 )

ˆ ObservableOrt:

{ Eigenzust¨ ande | ~r 0 > } = Basis

orthonormiert:

< ~r 0 | ~r 0 = δ(~r 0 − ~r 0 )

vollständig:

ˆ

d 3 r 0 | ~r 0 i h ~r

0

| = 1

| ψ >=

ˆ

d 3 r 0 | ~r 0 > h ~r 0 | ψ i

Ortsdarstellung:

h ~r 0 | ψ i = ψ(~r 0 )

ImfolgendenlassenwirdieIndizes

” 0 ”

weg.

ˆ ObservableEnergie:

ˆ

{ Eigenzust¨ ande | E n > } = Basis

Energiedarstellung:

h E n | ψ i

Funktioneines Operators:

f (A)

ˆ IneinerDarstellung,inderAdiagonalist

h i | A | j i = a i δ ij =

Beispiel:

e ia P ~

PImpulsoperator,aKonstante

P | p 0 >= p 0 | p 0 >

D p 0 | V (X ) | p 0 E

= ´

dx 1 dx 2 h p o | x 1 i

| {z }

V p

0 (x 1 )

h x 1 | V (X ) | x 2 i

| {z }

V (x 2 )δ(x 1 − x 2 )= h x 1 | V (X) | x 2 i

D x 2 | p 0 E

| {z }

V p ′ 0

(x 2 )

= ´

dx 1 dx 2 V p 0 (x 1 )V p

0 (x 2 )V (x 2 )δ (x 1 − x 2 )

= ´

dx 1 V p 0 (x 1 )V p

0 (x 1 )V (x 1 ) = ´ dx 1 1

2π~ e (i/ ~ )p 0 x 1 e (i/ ~ )p 0 x 1 V (x 1 )

= √ 1 2π ~

´ dx 1 √ 1

2π ~ e (i/~)(p 0 p 0 )x 1 V (x 1 )

= ˜ V

p 0 − p o / √

2π ~ v p 0 (x) = √ 1

2π~ e ip o x ~ h p 0 | H | ψ i = ´

dp 0 h p 0 | H | p 0 i h p o | ψ i

= ´

dp 0 2m p 0 2 δ(p 0 − p 0 ) h p 0 | ψ i + ´ dp o

√ 2π~ V ˜ (p 0 − p 0 ) h p 0 | ψ i

| {z }

ψ(p ˜ 0 )

h p 0 | H | ψ i = 2m p 2 0 ψ(p ˜ 0 ) + ´ dp o

√ 2π~ V ˜ (p 0 − p 0 ) ˜ ψ(p 0 )

→ h p 0 | H | ψ i = E h p 0 | ψ i

Integralgleihung

4 Die Grundpostulate der QM

KlassishesSystem:vollständigharakterisiertdurhgeneralisierteKoordinaten

unddiezugehörigenkonjungiertenImpulse

(q i (t 0 ), p i (t 0 )), i = 1, 2, 3 [p i = ∂q ∂L i ]

BeliebigeZeit:

q i (t 0 ), p i (t 0 )

+Hamiltongleihungen.

dq i

dt = ∂H ∂p i dp dt i = − ∂H ∂q i ; H = H (q i , p i , t)

4.1 Die Postulate (1925/26)

1. P1:DerZustandeinesphysikalishenSystemszueinembestimmten

Zeit-punkt

t 0

wirddurheinen

ket | ψ(t 0 ) > ∈ H

deniert

2. P2: Jede messbare physikalishe Gröÿe (Ort, Impuls, Energie,... ) wird

durheinenimZustandsraumH wirkendenhermitishenOperator A

be-shrieben:Observable

3. P3:DiemöglihenMesswertederObservablenAsindihreEigenwerte

Bemerkung:

ˆ Aisthermitesh

MesswertevonAsindreell

ˆ Falls das Spektrum von A diskret ist sind die möglihen Resultate

beiderMessungvonAquantisiert

4. P4:

BeiderMessungderphysikalishenGröÿe

A

ineinemnormierten

Zu-stand

| ψ >:

Wahrsheinlihkeit,den nihtentarteten EW

a n

der

zu-gehörigenObservlablenA zundengegebendurh:

P (a n ) = | < u n | ψ > | 2 ; [A | u n >= a n | u n >]

ˆ g-fahentartetes,diskretes Spektrum:

P(a n ) = P g

i=1 | < u i n | ψ > | 2 g n

istderEntartungsgradvon

a n

,

{| u i n > }

SystemvonorthonormiertenVektoren,bildenimEigenraum

H n

zumEW

a n

vonAeineBasis.

ˆ Niht-entartetes,kontinuierlihesSpektrum

DieWahrsheinlihkeitdafür,dassdieMessungeinenWertzwishen

α

und

α + dα

liefert ist:

d P(α)

| {z }

W ahrscheinlichkeitsdichte

= | < V α | ψ >

| 2 dα; EV der Observablen A mit EW α = V α

Beispiel:

dω(x) = | h x | ψ i | 2 dx = | ψ(x) | 2 dx

dω(p) = | h p | ψ i | 2 dp = | ψ(p) ˜ | 2 dp

5. P5:ReduktiondesWellenpakets

NahderMessungmitResultat

a n

istderZustanddesSystemsunmittelbar nahderMessunggleihderauf1normiertenProjektionvon

| ψ >

aufden

zu

a n

gehörenden Eigenraum:

ψ ⇒ √ P n | ψ>

h ψ | P n | ψ i ; P n =

Projektor auf den

Zustandmit EW

a n

| ψ >

a n

z}|{ ⇒ 1 pP g n

i=1 | h u i n | ψ i | 2

| {z }

<ψ | P n | ψ>

g n

X

i=1

| u i n >< u i n

| {z }

P n

| ψ >

ˆ JedeweitereMessungvon

A

unmittelbardanahändertdenZustand nihtmehr undliefertdasgleiheResultat(gleiheEW).

ˆ Sukzessive Messung von Observablen aus einem vollständigen Satz

führt auf einen Zstand, derEigenzustand vonallen Operatoren ist.

Dieseristdann eindeutigfestgelegt.

6. P6:ZeitliheEntwiklungdesZustandsvektors

| ψ(t) >

bestimmtdurhdie

Shrödingergleihung:

i ~ ∂

∂t | ψ(t) >= H (t) | ψ(t) >

H(t) -derGesamtenergiezugeordneteObservable,

H= Hamiltonoperator,deraus derklassishen Hamiltonfunktion

gewon-nenwird.

Gröÿenabgeleitetwerden.

Ortsdarstellung:

x i → χ i

p i → P i = ~ i ∂x

Berüksihtige:

[χ i , χ j ] = 0 [P i , P j ] = 0 [P i , χ j ] = ~ i δ ij

Alle anderen Observablen, die klassish Funktionen von x und p sind,

werdendurhdieseSubstitutiongewonnen:Korrespondenzprinzip.

Wdh:Korrespondenzregeln

Ortsdarstellung:

x i → X i

p i → P i = i∂x ~∂ i ; i = 1, 2, 3

und

[x i , x j ] = [P i , P j ] = 0 [P i , X j ] = ~ i δ ij

Beahte:

ˆ Symmetrisierungsregel:

~r~ p → 1 2 ( R ~ ~ P + P ~ ~ R)

( R ~ ~ P ) + = P ~ + R ~ + = P ~ ~ R 6 = R ~ ~ P

ˆ nihtalleGröÿenhabenklassishesAnalogon(z.B.Spin)

4.2 Interpretationderden Messprozessbetreenden

Pos-tulate

Erwartungswerte

(MittelwertdererhaltenenErgebnisse,wenngroÿeAnzahlvonMessungen

dieserGröÿe anSystemenimZustand

| ψ >

durhgeführtwerden).

EinzelneMessunglieferteinenderEW

a n

mit Wahrsheinlihkeit:

ω n = | < u n | ψ > | 2

VieleMessungen:

h A i = P

n a n w n = P

n h ψ | u n i a n h u n | ψ i

= P

n h ψ | A | u n i h u n | ψ i = h ψ | A | ψ i

DerErwartungswertAeinerObservablenimZustand

ψ

erhältmandurh:

h A i = h ψ | A | ψ i

Falls

| ψ >

nihtnormiertistdann:

h A i = h ψ h ψ | A | ψ | ψ i i

InderPraxiswähltmaneinebestimmte Darstellung:

h X i = h ψ | X | ψ i = ´

Standardabweihung (MaÿfürUnshäftederObservablenbeieinerMessung

imnormiertenZustand

| ψ >

)

quadratisheAbweihungvomMittelwert:

h ∆A i = p

Diesgiltauhfür:

Q = x − h ψ | x | ψ i ≡ ∆x

Präparation eines Zustandes und Dihteoperator Messung einer

Ob-servablenA

NahderMessung

| ψ > ǫ

Eigenraumsdesgemessenenentarteten

Eigenwertes,abernihteindeutigbestimmt.

(

| ψ n >= 1

MessungmitvollständigemSatzkontinuierliherObservablen

nah der Messung Zustand eideutig bestimmt durh den gemeinsamen EigenvektorderObservablen

PräparationdesSystembeibekanntemZustand

keit

p i

in einem Zustand

| ψ i >

, wobei die Summer der Wahrsheinlikeiten 1 erbigt:

P

i p i = 1

(statistishesGemish).

Wir wollenvonsolheinem statistishenGEmishden Erwartungswert

be-stimmen:

SpureinesOperators(Denition:)

Spur A = tr A = P

k < φ k | A | φ k >

AusdrukistunabhängigvonderOrthonormalbasis:

P

InsbesondereSp

ρ = P

i,k p i h ϕ k | ψ i i h ψ i | ϕ k i = P

1. Messungeinesentarteten Messwerts

| u i n >

Keine Kenntnis des System vorder Messung

alle Zustände im

Eigen-raumsindgleih wahrsheinlih.

(Entartung

g n

)

ρ = g 1 n P g n

n=1 | u i n >< u i n |

2. Messung von A ohneFeststellung der Messwerte(A diskretes, niht

en-tartetesSpektrum)

statistishesGemish derEigenzustände

| u i >

mit

p i = | h u i | ψ i | 2

,wenndasSystemvorderMessungimZustand

| ψ >

war:

3. Systemimtherodyn. Gleihgewiht:

ρ = Z 1 e H/kT Z = Sp e H/kT → Sp ρ = 1

IneinerONB vonEigenzuständen

| n >: h n | ρ | m i = δ nm Z 1 e E n /kT

= ⇒

ThermodynamikQM Systeme

4.3 Zeitabhängigkeit isolierter quantenmehanisher

Sys-teme

Shrödingergleihung:

i ~

∂t | ψ(t) >= H | ψ(t) >

allgemeineEigenshaften:

| ψ(t 0 ) > | ψ(t) >

eindeutigbestimmt

2. Superpasitionsprinzip:Sind

| ψ 1 (t) >, | ψ 2 (t) >

LösungenzurAnfangsbedingung

| ψ 1 (t 0 ) >

, | ψ 2 (t 0 ) >

,soistauh

λ 1 | ψ 1 (t) > +λ 2 | ψ 2 (t) >

Lösungzur

Anfangs-bedingung

λ 1 | ψ 1 (t 0 ) > +λ 2 | ψ 2 (t 0 ) >

3.

~ → 0 :

klassisheMEhanik

4. ErhaltungderNorm:

d

dt h ψ(t) | ψ(t) i = dt d < ψ(t) |

|

ψ

(t)>+<

ψ

(t)|

dt d | ψ(t) >

= − i 1 ~ h ψ(t) | H + (t) | ψ(t) i + i 1 ~ h ψ(t) | H(t) | ψ(t) i = 0

Zeitentwiklungsoperator

es gibteinenlinearerOperator

U (t, t 0 )

,sodass

| ψ(t) > ≡ U (t, t 0 ) | ψ(t 0 ) >

(*)

h ψ(t) | ψ(t) i = h ψ(t 0 ) | U + (t, t 0 )U(t, t 0 ) | ψ(t 0 ) i =

|{z}

Erhaltung der N orm

h ψ(t 0 ) | ψ(t 0 ) i U + (t, t 0 )U (t, t 0 ) = I

U (t, t 0 )

istunitär

Eigenshaften von

U (t, t 0 ) : U (t, t 0 ) = I U (t, t 0 ) = U (t, t 1 ) U (t 1 , t 0 )

| ψ (t) >= U (t, t 1 ) | ψ (t 1 )

| {z }

U(t 1 ,t 0 ) | ψ(t 0 )>

>= U (t, t 0 ) | ψ (t 0 )

*in Shrödingergleihung

i ~

∂t U (t, t 0 ) = H (t)U (t, t 0 )

⇒ U (t, t 0 ) = 1 − 1 ~

´ t

t 0 dt H (t ) U (t , t 0 )

1. Kontinuitätsgleihungin derOrtsdarstellung

mit:

H = − 2m ~ 2 ∆ + V (~x, t)

;

∂t ψ = H i~ ψ

;

∂t ψ = H i~ ψ

∂t |h ~x | ψ (t) i| 2 = ∂t ψ (~x, t) ψ (~x, t)

= − 2mi ~ (~x, t) ∆ψ (~x, t) − ψ (~x, t) ∆ψ (~x, t))

− ∇ ~ ( 2mi ~ (~ x,t) ∇ ~ ψ(~x, t) − ψ(~x, t) ∇ ~ ψ (~x, t)]

∂t ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0

Bsp:

~v = m p ~ = ~~ im ; ψ = Ae i(~ p~ r Et)/ ~ ρ = | A | 2 ~j = | A | 2 m ~ p

klassish:Stromdihte=Dihte

·

Geshwindigkeit

∂t | h ~x | ψ(t) i | 2 = ∂t | ψ (~x, t)ψ(~x, t)) =

= i 1 ~ (~x, t)Hψ(~x, t) − ψ(~x, t)Hψ (~x, t)

= i~ 1 (~x, t)V (~x, t)ψ(~x, t) − ψ(~x, t)V (~x, t)ψ (~x, t) − 2mi ~ (~x, t)...

(hier

Vorlesung)

∂t ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0

2. ZeitentwiklungvonErwartungswerten

h A i = h ψ | Aψ i

Erhaltungsgröÿe: FallsAnihtexplizitzeitabhängigistundmitH

kum-mutiertist

h A i

eineKonstantederBewegung.

Bsp:Wählespeziell

A = R ~

Ortsoperator,

H = 2m p ~ 2 + V ( R) ~

c n (t) = c n (t 0 )e iEn (t ~ t 0 )

| ψ(t) >= P

n c n (t 0 )e iEn (t ~ t 0 ) | ψ n (t 0 ) >

WihtigeKonsequenz:Fallsnurein

c 6 = 0 h A i (t) = h ψ(t) | A | ψ(t) i = D

ψ n (t 0 )e i Ent ~ | A | e i Ent ~ ψ n (t 0 ) E

= h ψ n (t 0 ) | A | ψ n (t 0 ) i = h A i (t 0 )

Erwartungwerteändernsihniht:StationärerZustand

⇐⇒

sharfe

Ener-gie

3. Shrödingerbild(Darstellung)undHeisenbergbildderZeitabhängikeit

Shrödingerbild: Zuständezeitabhängig

| ψ(t) > S = P

n e i En (t−t ~ 0 ) c n (t 0 ) | ψ n (t 0 ) >= U (t, t 0 ) | ψ(t 0 ) > S

mit

U (t, t 0 ) = e i HS (t ~ t 0 ) = P

n c n (t 0 ) | ψ n (t 0 ) >= | ψ(t 0 ) > S

Obserable

A S (t)

Messung:

h ψ(t) | A S (t) | ψ(t) i S

Heisenbergbild: Zuständezeitunabhängig

| ψ > H = U + (t, t 0 ) | ψ(t) > S

| {z }

U(t,t 0 ) | ψ(t 0 )> S

= | ψ(t 0 ) > S

Messung:

*

ψ(t) | U (t, t 0 )

| {z }

H <ψ |

U + (t, t 0 )A S (t)U (t, t 0 )

| {z }

A H (t)

U + (t, t 0 ) | ψ(t)

| {z }

| ψ> H

+

S

mit

A h (t) ≡ U + (t, t 0 )A S (t)U(t, t 0 )

A H (t)

auh dannzeitabhängig,wenn

A S

imShrödingerbild zeitunab-hängigist.

d

dt A H (t) = dt d (U + (t, t 0 )A S (t)U (t, t 0 ))

= − i~ 1 U + (t, t 0 )H S (t)

UU +

z}|{ · A S (t)U (t, t 0 )+U + (t, t 0 ) ∂t A S (t) · U (t, t 0 )+ i~ 1 U + (t, t 0 )A S (t)H S (t)U (t, t 0 )

= − i~ 1 H H (t)A H (t) + i~ 1 A H (t) |{z} ·

UU +

H H (t) + U + (t, t 0 ) ∂

∂t A S (t)U (t, t 0 )

| {z }

( ∂t A S (t) ) H i ~ d

dt A H (t) = [A H (t), H H (t)] + i ~

∂t A S (t)

H

5.1 Harmonisher Oszillator in der klassishen Mehanik

Teilhen derMassemimPotential

V (x) = 1 2 kx 2

Bewegungsgleihung:

m d dt 2 2 x = − dV dx = − kx

Lösung:

x(t) = x M cos(ωt − ϕ) ω = q

k

m ; x M , ϕ : Anf angsbedingungen

Gesamtenergie:

E = T + V

kinetisheEnergie:

T = 1 2 m x ˙ 2 = 1 22 x 2 M sin 2 (ωt − ϕ)

wirhatten:

i ~

∂t U (t, t 0 ) = H (t)U(t, t 0 )

− i ~

∂t U + (t, t 0 ) = U + (t, t 0 )H (t)

V (x) = 1 22 x 2 H cos 2 (ωt − φ) ⇒ E = 1 22 x 2 M = const.

Bemerkung: Die potentielle Energie U(x) vieler physikalisher Systeme hat

bei

x = x 0

einMinimum

Entwiklungum

x = x 0

(fürkleineShwingungenum

x 0 ) U (x) = U (x 0 )

| {z }

=0

+ U (x 0 )

| {z }

=0,da Min.

· (x − x 0 ) + 1 2 U ”(x 0 )

| {z }

≧0 ≡ mω 2 =k

(x − x 0 ) 2 + ...

5.2 Harmonisher Oszillator in der QM

KlassisheGröÿendurhOperatorenersetzt:

H = 2m p 2 + m 2 ω 2 X 2

Eigenwertgleihung

H | ψ >= E | ψ >

imOrtsraum:

X , P → i dx ~d

Ortsdarstellung(DGL)

h − 2m ~ 2 dx d 2 2 + 1 22 x 2 i

ϕ(x) = Eϕ(x) ( ∗∗ )

5.2.1 Analytishe Lösung der DGL

Setze

x ˆ = x p

~ , ǫ = ~ E ω , ( ∗∗ ) ~ 2 ω h

d 2

dˆ x 2 − ˆ x 2 + 2ǫ i

ϕ(ˆ x) = 0 ( △ )

Verhalten

ϕ(ˆ x)

fürgroÿe

x(ˆ ˆ x 2 ≫ ǫ)

d 2 dˆ x 2 − x ˆ 2

ϕ(ˆ x) = 0

Ansatz:

G ± (ˆ x) = e ± x ˆ 2 2

unabhängigvon

ǫ G ± (ˆ x)

LösungfürfolgendeDGL:

h

d 2

dˆ x 2 − x ˆ 2 ∓ 1 i

G ± (ˆ x) = 0 G” ± (ˆ x) = ± e ± x ˆ 2 2 + ˆ x 2 e ± x ˆ 2 2

asymptotishesVerhalten

x ˆ → ∞ : ˆ x 2 ± 1 ∼ x ˆ 2 − 2ǫ h d 2

dˆ x 2 − x ˆ 2 + 2ǫ i

G ± (ˆ x) = 0

Verhaltenwie

( △ )

Normierbarkeit:nur exponentiellabfallendeLösungen

AnsatzfürDGL:

ϕ(ˆ x) = h(ˆ x)e ˆ x 2 /2

Einsetzen in(

△ ) : h

d 2

dˆ x 2 − 2ˆ x d x + 2ǫ − 1 i

h(ˆ x) = 0 ( △△ )

LösungmitPotenzreihenansatzfür

h(ˆ x)

:

h(ˆ x) = P

m=0 a m x 2m+p

und

a 0 6 = 0, a i = 0

fürnegativei

DiesenAnsatzin

( △△ )

einsetzen:

(2m + p + 2)(2m + p + 1)a 2m+2 = (4m + 2p − 2ǫ + 1)a 2m

normierteLösungnur,fallsdiePotenzreiheabbriht:

nahunten:

a 2 = 0 ⇒ p( − 1 + p)a 0 = 0 und a 0 6 = 0 p = 0, 1

nahoben:

4m + 2p

| {z }

2n

− 2ǫ + 1 = 0

Bedingung:

2ǫ − 1 = 2n ; n = 0, 1, ..

ǫ n = n + 1 ǫ = ~ E ω ; n = 0

geradeLösung

2

mitdieserQuantisierungsbedingungfolgt:

[ dx d 2 2 − 2ˆ x d x + 2n]h n (ˆ x) = 0

Lösung:HermitePolynome

H n (ˆ x) : h n (ˆ x) = N n H n (ˆ x) N n = ( √

πn!2 n ) 1 2 ( mω

~ ) 1 4 H n (ˆ x) = ( − 1) n e x ˆ 2 d n

dˆ x n e x ˆ 2

StationäreZuständedesharmonishenOszillators:

ϕ n (ˆ x) = N n H n (ˆ x)e ˆ x

2 2

zugehörigediskreteEigenwerte:

E n = ~ ω(n + 1 2 )

ˆ

△ E = ~ ω = const.

ˆ

E 0 = 1 2 ~ ω = 0

Nullpunktsenergie;QMkleinsteEnergie

6 = 0

5.2.2 Algebraishe Methode

ZulösenEigenwertgleihung:

p 2 2m + 1

2 mω 2 x 2

| {z }

Hamiltonoperator

ϕ (x) = Eϕ (x)

denieredimensionsloseGröÿen:

ˆ

x = p

~ x p ˆ = √ 1

m ~ ω p

mit

[ˆ x, p] = ˆ i H ˆ = 1 H = 1 2

ˆ x 2 + ˆ p 2

; ǫ = E/ ~ ω

und

a = 1 2 (ˆ x + i p) ˆ a = 1 2 (ˆ x − iˆ p) ˆ

x = 1 2 a + a

ˆ

p = i 2 a − a

dimensionsloseEigenwertgleihung

H ˆ | ϕ ν >= ǫ ν | ϕ ν >

(1)

Es gilt:

1.

[a, a ] = 1 2 [ˆ x + iˆ p, x ˆ − iˆ p] = 2 i [ˆ p, x] ˆ − 2 i [ˆ x, p] = 1 ˆ

2.

N = a a = 1 2 x ˆ + ˆ p 2 + i xˆ ˆ p − i pˆ ˆ x

= 1 2 x ˆ 2 + ˆ p 2 − 1

wobei Nder

Beset-zungsoperatorist

3.

H ˆ = a a + 1 2 = N + 1 2

= ⇒

Eigenzuständevon

H ˆ

sindauhEigenzustände vonNundumgekehrt Lösenvon5.2.2istäquivalentzurLösungderEigenwertgleihung

N | ϕ ν >= ν | ϕ ν >

denndiesentspriht

H = ˆ H ~ ω = ~ ω N + 1 2

H | ϕ ν >= ~ ω ν + 1 2

| ϕ ν >

| ϕ ν >

sindEigenvektorenvonH undN.Falls

ν

bekanntist:

ǫ ν = E 0

~ ω = ν + 1 2

Problem: Bestimmungvon

ν

und

| ϕ ν >

Eigenshaften von

N, a, a

:

1.

[N, a] = a a, a

= a [a, a] + a , a

a = − a

2.

N, a

= a a, a

= a a, a

| {z }

=1

+ a , a

| {z }

=0

a = a

3. FürdieEWvon

ν

vonNgilt:

ν > 0

.Denn

0 6 || (a | ϕ ν )

| {z }

| aϕ ν >

|| 2 =

* aϕ ν |

| {z }

<ϕ ν | a +

aϕ ν

+

= h ϕ ν | a + a | ϕ nu i = h ϕ ν | N | ϕ ν i = ν h ϕ ν | ϕ ν i

| {z }

>0

ν > 0

D.h.derniedrigsteEIgenwertvonN ist

> 0

.Falls

ν = 0 ⇒ a | ϕ 0 >= 0

4. Sei

| ϕ ν >

Eigenzustand zuN mitEigenwert

ν ⇒ a | ϕ ν >

istauhEigenvektroNmitEW

ν − 1 a + | ϕ ν >

istauhEVzuN mitEW

ν + 1

denn

N a + | ϕ ν >= (a + N + a + ) | ϕ ν >= (ν + 1)

| {z }

EW

a + | ϕ ν >

Verlangen,dass

| ϕ ν >

auf1normiertsei:

h a + ϕ ν | a + ϕ ν i = h ϕ ν | aa + | ϕ ν i = h ϕ ν | a + a + 1 | ϕ ν i

= (ν + 1) h ϕ ν | ϕ ν i

| {z }

=1

= ν + 1 a + | ϕ ν >= √

ν + 1 | ϕ ν+1 >

N a + | ϕ ν >= √

ν + 1N | ϕ ν+1 >= √

ν + 1(ν + 1) | ϕ ν+1 >

= (ν + 1)a + | ϕ ν >

analog:

a | ϕ ν >= √

ν | ϕ ν − 1 >

= (ν + 1) a | ϕ ν >

analog

a | ϕ ν >= √

ν | ϕ ν − 1 >

D.h. fallseineEigenfunktion

| ϕ ν >

bekanntist,erhältmandurhsukzessives Anwendenvon

a

und

a

alle anderen!

Bestimmungvon

| ϕ 0 >

Esgilt:

a | ϕ 0 >= 0

undsomitinder Ortsdarstel-lung:

0 = h x | a | ϕ 0 i = 1 2 x ˆ + d x h x | ϕ 0 i

| {z }

ϕ 0 (x)

NormierteLösung:

h x | ϕ 0 i = N 0 e x ˆ 2 /2

mit

N 0 = 1/4

Imfolgenden

ν → n

mit n=0,1,2,...

Wegen

a | ϕ n >= √

n + 1 | ϕ n+1 >

bzw.

| ϕ n+1 >= n+1 1 a | ϕ n >

sindmit

| ϕ 0 >

auhalleanderenLösungenbekannt.

| ϕ n >= 1

√ n a | ϕ n − 1 >= ... ... = 1

√ n! a n

| ϕ 0 >

mitEW:

(n + 1/2) ~ ω

n=0,1,..

AlsoangeregteZustände:

h x, ϕ ˆ n i =

|{z}

h x | a | ϕ 0 i = √ 1 2 ( x ˆ − dˆ d x ) h x | ϕ 0 i

√ 1 n!

D x ˆ | a n

| ϕ 0

E = 1

√ n!2 n (ˆ x − d

dˆ x ) n h ˆ x | ϕ 0 i

LösungdurhRekursion

h x ˆ | ϕ n − 1 i = 1

p (n − 1)!2 n 1 H n − 1 (ˆ x)N 0 e x ˆ

2 2

Rekursionerfülltfürn=1:

h x ˆ | ϕ 0 i = H 0 (ˆ x)N 0 e x ˆ 2 2

Damitalso

h x ˆ | ϕ n i = 1 n2 (ˆ x − dˆ d x ) h x | ϕ n − 1 i

| {z }

√ 1

(n − 1)!2 n − 1 H n − 1 (ˆ x)N 0 e ˆ x

2 2

Verwende:

H n 1 (ˆ x) = 2(n − 1)H n − 2 (ˆ x)

H n (ˆ x) = 2ˆ xH n − 1 − 2(n − 1)H n − 2 = 2ˆ xH n − 1 − H n 1

(*)

h x ˆ | ϕ n i = √ 1

5.3 Quantenmehanik für Spin 1/2

Postulat:

wobei

S x,y,z

Operatoren

ZweiZustände: Basisso,dass

S z

diagonalist

S z | + >= + ~

Zeigen:Zu jedemZustand

| ψ >

existierteineRihtung

~ µ,

sodass

| ψ >

kolli-nearzu

| + > u

Kunstruieren

~u

fürgegebenes

α, β

.

Ansatz:

= ~ 2

cosθ sinθe sinθe − cosθ

S~u ~ | 1 > u = ~ 2 | 1 > u

S~u ~ | 2 > u = − ~ 2 | 2 > u

LösenderEigenwertgleihung

(det( S~u ~ − λ I ) = 0)

Eigenwerte

± ~ 2

unddie zugehörigenEigenvektoren

| 1 > u = cos θ 2 e i φ 2 | + > +sin θ 2 e i φ 2 |− > EW : + ~ 2

| 2 > u = − sin θ 2 e i φ 2 | + > +cos θ 2 e i φ 2 |− > EW : − ~ 2

Wähle:

| α | = cos θ 2

| β | = sin θ 2

0 < θ < π θ = 2arcos | α | φ = ϕ β − ϕ α

χ = ϕ β + ϕ α ϕ α = 1 2 (χ − φ) ; ϕ β = 1 2 (χ + φ)

Wobei:

α = | α | e α β = | β | e β

Lösung:

| ψ >= e iχ/2 | 1 > u

denn

e iχ/2 | 1 > u = e i(ϕ β α )

| α | e i(ϕ β ϕ α )/2 | + > + | β | e i(ϕ β ϕ α )/2 |− >

=

| α | e α | + > + | β | e β |− >

Es gibt zu jedemZustand

| ψ >= α | + > +β |− >

eineRihtung

~u

, so dass

| ψ >

Eigenzustandzu

S~u ~

ist.

5.4 Teilhen mit Spin 1/2 im konstanten Magnetfeld

Sei

B ~ =

 0 0 B 0

potentielleEnergiedesmagnetishen Moments

U = − M ~ ~ B = − γB o S z ⇒ H = ω 0 S z

mit

ω 0 ≡ − γB 0

(Frequenz)

ZeitliheEntwiklung: LöseEW-Gleihung

H | ψ >= E | ψ >

H=2x2Matrixin Diagonalform

H = 2 0

1 0 0 − 1

Also:

H | + >= 2 0 | + >, H |− >= − 2 0 |− >

ZeitliheEntwiklung: t=0ZustandseiEigenzustandvon

S z

| ψ(t = 0) >= | + > ⇒| ψ(t) >= e 0 t/2 | + >

oder

|− > ⇒| ψ(t) >= e 0 t/2 |− >

| ψ(t) >= P

n c n (t 0 )e iE n (t t 0 )/ ~ | ψ n (t 0 ) >

hier:

t 0 = 0

| ψ n (t 0 ) >= | + > E = ~ ω 2 0

| ψ n (t 0 ) >= |− > E = − ~ ω 2 0

Ein Eigenzustand von

S z

bleibt Eigenzustand zu

S z

auh bei Anwesenheit einesMagnetfeldesinz-Rihtung.

| ψ(t = 0) >

seiEigenzustand zu

S~u ~

mit EW=

± ~ 2

.Feldzeigtinz-Rihtung.

AlsozurZeitt=0:

| ψ(t = 0) >= cos θ 2 e i φ 2 | + > +sin θ 2 e +i φ 2 |− >

| ψ(t) >= cos θ 2 e i φ+ω 2 0 t | + > +sin θ 2 e +i φ+ω 2 0 t |− >

ZeitliheÄnderung derrelativenPhasezwishen

| + >

und

|− >

.

Zu jederZeittkönnenwireineRihtung

~u(t)

nden,bezüglihwelher

| ψ(t) >= α(t) | + > +β |− >

Eigenzustandist:

~u =

sinθ(t)cosϕ(t) sinθ(t)sinϕ(t)

cosθ(t)

 α(t) = cos θ 2 e i ϕ+ω 2 0 t β(t) = sin θ 2 e i ϕ 2 0 t

Esgiltoensihtlih:

θ(t) = θ(t 0 ) = θ ϕ(t) = ϕ(t = 0) + ω 0 t

D.h. der Winkel zwishen

B ~

und

~u(θ)

bleibt erhalten

~u

präzediert um die

z-Ahse:Lamor-Präzession(

ω 0 = − γB 0 )

Ferner istdieObservable

S z

eineKonstantederBewegung:

H = ω 0 S z ⇒ S z

vertaushtmit H.

d

dt < S z > (t) = i~ 1 < [S z , H ] > (t)

| {z }

=0

+ < ∂

∂t S z > (t)

| {z }

0

= 0

DerErwartungswertderz-Komponenteistzeitlihkonstant. Test:

< S Z >= ~ 2 < ψ(t) | σ z | ψ(t) >

| {z }

= ~ 2 < + | cos θ 2 e i(Φ+ω 0 t)/2 + < −| sin 2 θ e i(Φ+ω 0 t)/2

·

cos θ

2 e i(Φ+ω 0 t)/2 | + > − sin θ

2 e i(Φ+ω 0 t)/2 |− >

| {z }

= ∗

= ~ 2 cos 2 θ 2 − sin 2 θ 2

= ~ 2 cosθ

zeitlihkonstant

Hingegensind

S x

,

S y

keineKonstantenderBewegung

h ψ (t) | S x | ψ (t) i = ... = ~ 2 sinθcos (Φ + ω 0 t) S x = ~ 2 0 1

1 0

h ψ (t) | S y | ψ (t) i = ... = ~ 2 sinθsin (Φ + ω 0 t) S y = ~ 2

0 − i

i 0

DieErwartungswertevon

S x , S y , S z

verhaltensihwiedieKomponenteneines klassishenDrehimpulses mit dem Betrag

~

2

, der zu einerLamordrehung an-geregtwird.

WiegroÿisdieWahrsheinlihkeitP(t) zumZeitpunkt tden EW

± ~ 2

in

~u

-Rihtungzunden?

P ++ (t) = |h ψ(t = 0) | ψ(t) i| 2

=

WiegroÿistdieWahrsheinlihkeit

~ 2

in

~u −

Rihtungzunden.

P + (t) = ... =

BetrahtenSystemin einem2-dimensionalenZustandsraum.

Dieallgemeinehermiteshe2x2Matrix:

H =

Paulimatrizen

BehandlunginengerAnalogiezum Spin-

1 2

-System

Anm.:

B~σ ~ =

Betrahtezunähst

H 0

diagonalmit

H 0 =

E 1 0 0 E 2

wählealsBasis

{| 1 >; | 2 > }

Anm.:

< i | j >= δ ij i, j = 1, 2 | 1 >< 1 | + | 2 >< 2 | = 1

AddierenunWehselwirkungzwishendenZuständen

H = H 0 + W

mitderhermiteshenMatrix(Annahme:Wzeitunabhängig)(hermitesh)(

W = W

)

E 1 , E 2

sind die möglihen Energien des Systems und die Zustände

| 1 >, | 2 >

stationär

MitKopplung:

1. MögliheEnergiensindnihtmehr

E 1 , E 2

sondern

E + , E

sind

dieEigenwertevonH

2.

| 1 >, | 2 >

nihtmehrstationär.Imallgemeinenkeine Eigenzu-ständezuH. DieKopplung/Störunginduziert#

Eigenzustände und EW von H

InderBasis

| 1 >, | 2 >

istderHamilton-OperatorH gegebendurh:

(H) =

E 1 + W 11 W 12

W 21 E 2 + W 22

DiagonalisierungderEigenwerte

E ± = 1 2 (E 1 + W 11 + E 2 + W 22 ) ± 1 2 q

(E 1 + W 11 − E 2 − W 22 ) 2 + 4 | W 12 | 2 W ij = 0 E ± = E 1/2

Eigenvektoren:

| ψ + >= cos θ 2 e i ϕ 2 | 1 > +sin θ 2 e i ϕ 2 | 2 >

| ψ >= − sin θ 2 e i ϕ 2 | 1 > +cos θ 2 e i ϕ 2 | 2 >

θ, ϕ : tan θ = E 1 +W 2 11 | W 12 E | 2 W 22

wobei

0 ≤ θ ≤ π W 12 = | W 12 | e

Vereinfahungen:

1.

W 11 , W 22

tauhennurin derKombination(

E 1 + W 11

),(

E 2 + W 22

)auf

könnenin

E 1

,

E 2

absorbiertwerden.

2. Energie-NullpunktdesSystemsbeliebig wähle:

(bild)

⇒ E 1 = − E 2 , E 1 + E 2 = 0

,

E 1 − E 2 = 2∆

neuerHamilton-Operator:

∆ W 12

W 21 − ∆

= ∆σ z +Re (W 12 ) σ x − Im (W 12 ) σ y =

Re (W 12 )

− Im (W 12 )

 ~σ σ z =

1 0 0 − 1

,

σ x = 1 0

0 1

,

σ y =

0 − i

i 0

undalso:

E ± = ± q

2 + | W 12 | 2 tan θ = | W 12 |

Interpretation:

| W 12 | ≪ ∆ : E ± = ±

∆ + | W 2∆ 12 | 2

kleineVershiebungderEnergie

Θ = | W 12 | ≪ 1

| ψ + >= | 1 > +

kleineBeimishungvon

| 2 >

(* bisaufglobalePhase)

| ψ >= | 2 > +

kleineBeimishungvon

| 1 >

1.

W 12 ≫ △

(starkeKopplung)

E ± = ±

| W 12 | + 2 | W 2 12 |

giltinsbesonderefür

△ = 0

△ = 0 ,

EntartungderungestörtenNiveaus

tanθ ≫ 1 ⇒ θ ≅ π

2

| ψ + > ≅

e −i ϕ 2 | 1>+(e −i ϕ 2 | 1>

2

| ψ > ≅

− e i ϕ 2 | 1>+(e i ϕ 2 | 1>

2

(bild)

Ist der Grundzustand eines physikalishen Systems doppelt entartet (und

hinreihend weit von den anderen Niveaus entfernt), senkt jede rein

niht-diagonale Kopplung zwishen den beiden zugehärigen Zuständen dei Energie

diesesGrundzustandsab

erwirdalsostabiler.

6 Drehimpuls

InderklassishenMehanikistderDrehipulseineErhaltungsgröÿe

(auhimZentralpotential:

F ~ || ~r → d~ dt L = M ~ = ~r × F ~ = ~ 0

)

Notation:

L ~

jegliherDrehimpuls derklassishesÄquivalenthat

S ~

Spin

J ~

beliebigerDrehimpuls

6.1 Vertaushungsrelationen für den Bahndrehimpuls

klassish

~ L = ~x × p ~ ⇔ L i = ǫ ijk x j p k

d.h.

L 1 = x 2 p 3 − x 3 p 2 , L 2 = x 3 p 1 − x 1 p 3

,

L 3 = x 1 p 2 − x 2 p 1

QM:

X, ~ ~ P

Operatoren,dieVertaushungsrelationengehorhen. Aberz kommu-tiertmit

P y

,Ymit

P z

et.

Wirkönnenshreiben

L ~ = X ~ × P ~ ~ L

isthermitesh

AnwendungderVertaushungsrelation:

[X i , P j ] = i ~ δ ij i, j = 1, 2, 3

liefert:

[L x , L y ] = [Y P z − ZP y, ZP x − XP z ] = [Y P z , ZP x ] + [ZP y , XP z ]

= Y [P z , Z]

| {z }

− i ~

P x + X [Z, P z ] P y = − i ~ Y P x + i ~ XP y = i ~ L z

AnalogeRehnungliefert:

[L x , L y ] = i ~ L z

[L y , L z ] = i ~ L x

[L x , L z ] = i ~ L y

[L i , L j ] = i ~ ǫ ijk L k

(*)

Die folgende Überlegungengelten für jeden Satz von Operatoren mit

Ver-taushungsrelation(*).Imfolgenden:

J i , i = 1, 2, 3

Wirdenieren:

J ~ 2 = J 1 2 + J 2 2 + J 3 2

isthermitish, da

J 1 , J 2 , J 3

hermitish

[ J ~ 2 , J i ] = 0, i = 1, 2, 3

daz.B.

[J 1 2 , J 2 ] = 0

[J 2 2 , J 1 ] = J 2 [J 2 , J 1 ]+[J 2 , J 1 ]J 2 = J 2 ( − i ~ J 3 )+( − i ~ J 3 )J 2 = − i ~ (J 2 J 3 +J 3 J 2 ) [ J ~ 2 , J 1 ] = [J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 , J 1 ] = 0

6.2 Eigenwerte und Eigenzustände

WirsuhenvollständigenSatz kommutierenderObswervablen: dürfenhiernur

~ L 2

undeinesvon

L i

nehmen.

Wirwählen

J ~ 2

und

J 3 = J 2

Denition

J ± : J + = J x + iJ y

(nihthermitesh)

J = J x − iJ y

Werden

J ± , J z , ~ J 2

benützen.

Vertaushungsrelation:

[J z , J + ] = [J z , J x ] + i[J z , J y ] = i ~ J y + i( − ~ J x ) = ~ J +

[J z , J ] = − ~ J [J + , J + ] = 2 ~ J z

[J 2 , J + ] = 0

v.S.k.O(vollständigerSatzkommutierenderObservablen):

H, ~ L 2 , L z

Denition:

J + = J x + iJ y

J = J x − iJ y

[J 2 , J ± ] = 0

Ferner:

J + J = J x 2 + J y 2 − i [J x , J y ]

| {z }

i~J z

= J x 2 + J y 2 + ~ J z = J 2 − J z 2 + ~ J z

J J + = ... = J x 2 + J y 2 − ~ J z = J 2 − J z 2 − ~ J z

J ~ 2 = 1 2 (J + J + J J + ) + J z 2

J ~ 2

istdieQuadratsummehermitisherOperatoren.

Esfolgt,dassfürjedenZustand

| ψ >:

ψ J 2

ψ

0

ψ

J 2 ψ

= P 3 i=1

ψ J i 2

ψ

= k J 1 | ψ > k 2 + k J 2 | ψ k 2 + k J 3 | ψ > k 2 ≥ 0

DamitsindalsoalleEigenwerte

λ

von

J 2 ≥ 0.

Kannmanshreibenals

λ = ~ 2 j(j + 1)

wobei

j ≥ 0

Eigenwerte

J z : m ~

Eigenwertgleihungfür

J ~ 2 , J z

IndexkuntersheidetzwishendenvershiedenenEV, diezudenselben

EW

j(j + 1) ~ 2

und

m ~

von

J 2

und

J z

gehören.

ZulösendeEW-Gleihungen:

J ~ 2 | k, j, m >= ~ 2 j(j + 1) | k, j, m >

J z | k, j, m >= ~ m | k, j, m >

Eigenwertevon

J 2 , J z

:Zunähstsind3Lemmaszubeweisen:

1. Lemma1:

Wenn

~ 2 j(j + 1)

und

m ~

dieEWvon

J 2

und

J z

sind,diezumselbenEV

| k, j, m >

gehören,danngilt:

− j ≤ m ≤ j

Beweis:

k J ± | k, l, m > k 2 ≥ 0

⇒ h k, j, m | J J + | k, j, m i = k, j, m

J 2 − J z 2 − ~ J z k, j, m

= ~ j(j + 1) − m 2 ~ 2 − m ~ 2 h k, j, m | J + J | k, j, m i =

k, j, m

J 2 − J z 2 + ~ J z k, j, m

= ~ j(j + 1) − m 2 ~ 2 + m ~ 2

(*)

⇒ j(j + 1) − m(m + 1) = (j − m)(j + m + 1) ≥ 0

⇒ j(j + 1) − m(m − 1) = (j − m + 1)(j + m) ≥ 0

d.h

− j ≤ m ≤ j

( − (j + 1) ≤ m ≤ j

− j ≤ m ≤ j + 1

2. Lemma2:

Sei

| k, l, m >

EV von

J 2 , J z

mit EW

~ 2 j(j + 1), m ~

(a) Falls

m = − j : J | k, l, m >= 0

(b) Falls

m > − j : J | k, l, m >

niht-vershwindender EV von

J 2

und

J z

mitEW

~ 2 j(j + 1)

und

(m − 1) ~

Beweis:

(a) Gemäÿ(*)QuadratderNormvon

J | k, l, m >:

~ 2 j(j + 1) − ~ 2 m(m − 1) = 0

für

m = − j m = − j ⇒

AlleVektoren

J | k, j, − j >= 0. ( △ )

umgekehretzeigtman:

J | k, j, m >= 0 ⇒ m = − j J +

angwendenauf(

△ )

J + J | k, l, m > ⇒ ( ) ~ j(j + 1) − m 2 ~ 2 + m ~ 2

|k,j,m>=0

⇒ (j > 0) m = − j

(b) Sei

m > − j : ( ∗ ) ⇒ J | k, j, m > 6 = 0

, daQuadratderNorm

6 = 0

zuzeigen:EVvon

J 2 , J z

[J 2 , J ] = 0 [J 2 , J ] | k, j, m >= 0

J 2 J | k, j, m >= J J 2 | k, j, m >= ~ 2 j(j + 1)J . | k, j, m >

⇒ J | k, j, m >

istEVvon

J 2

mitEW

~ 2 j(j + 1)

[J z , J ] = − ~ J = [J z , J ] | k, j, m >= − ~ J | k, j, m >

⇒ J z J | k, j, m >= J J z | k, j, m > − ~ J | k, j, m >

= m ~ J | k, j, m > − ~ J | k, j, m >= (m − 1) ~ J | k, j, m >

⇒ J | k, j, m >

istEVvon

J z

mit

(m − 1) ~

.

3. Lemma3:Sei

| k, j, m >

EVvon

J 2 , J z

mitEW

~ 2 j(j + 1)

und

m ~

. (a) Fallsm=j:

J + | k, j, m >= 0

(b) Fallsm<j:

J + | k, j, m >

nihtvershwindenderEVzu

J 2

und

J z

mit

EW

~ 2 j(j + 1)

und

(m + 1) ~

J ±

sindAuf-undAbsteigeoperatorenbzgl.m.

Bestimmung desSpektrumsvon

J 2

und

J z

:

Sei

| k, j, m >

niht vershwindender EV von

J 2

und

J z

mit EW

~ 2 j(j + 1)

und

m ~ :

LautLemma1gilt:

Esgibtein

p ≥ 0

,sodass

− j ≤ m − p ≤ − j + 1

.

Wir betrahtenSetvonEV

| k, j, m >, J | k, j, m >, , J P | k, j, m >

LautLemma2gilt:

JederdieserEV

(J ) n | k, j, m > (n = 0, 1, ..., p)

istniht-vershwindenderEVvon

J 2

und

J z

mitEW

j(j + 1) ~ 2

. (BeweisdurhIteration)

Wirkenun

J

auf

(J ) P | k, j, m >

Annahme:EW von

J z : ~ (m − p)

seigröÿerals

− j ~ .

D.h.

m − p > − j

Dann ist

J (J ) P | k, j, m > 6 = 0

mitEW

~ 2 j(j + 1), (m − p − 1) ~ :

WiderspruhzuLemma 1,denn esgilt:

m − p − 1 < − j

⇒ m − p = − j.

Dann gehört

(J ) P | k, j, m >

zumEW

− j ~

von

J z

und

J (J ) P | k, j, m >= 0.

(Lemma2)

DieobigeSeriederVektorenistalsobeshränkt.

Eswurdegezeigt:Esgibtein

p ≥ 0

mit

m − p = − j

,pistganzzahlig.

Analogndetman,dasseseinganzzahliges

q ≥ 0

gibt,mit

m+q = j

Insgesamtndetman,dass

p+q = 2j

,d.hjistganz-oderhalbzahlig

undpositiv.

Für gegebenes j sind die einzig möglihen Werte für m die

(2j + 1)

Werte:

− j, − j + 1, ..., +j

.mistdaherhalb-oderganzzahlig.

Konstruktion einerBasis

I.a.sind

J 2 , J z

nihtv.S.k.O(

Index

k)

Wir betrahtenDrehimpuls

J ~

,derimZustandsraum

ǫ

wirkt.

EW-Paar:

j(j + 1) ~ 2 , m ~ :

Set der EV zu diesem EW-Paar

bil-det einen Vektorunterraumvon

ǫ

, genannt

ǫ(j, m), dim(ǫ(j, m)) ≡ g(j, m)

i.a

> 1

,da

J 2 , J z

nihtv.S.k.O.

Wählein

ǫ(j, m)

einebeliebige ONB

{| k, j, m >, k = 1, .., g(j, m) }

Falls

m 6 = j ⇒

es muss einen anderenUnteraum

ǫ(j, m + q)

in

ǫ

existieren,

bestehendausEVzu

J, J ~ z

mitEW

j(j + 1) ~ 2 , (m + 1) ~

Falls

m 6 = − j ⇒ ∃ ǫ(j, m − 1),

EVzu

J 2 , J z

mitEW

(j + 1)j ~ 2 , (m − 1) ~ .

Falls

m 6 = ± j :

konstruierenONB

ǫ(j, m + 1), ǫ(j, m − 1)

ausgenend

vonderin

ǫ(j, m)

gewählten.

Zeigenzunähst:

k 1 6 = k 2 ⇒ J ± | k, j, m > ⊥ J ± | k 2 , j, m >

denn

h k 2 , j, m | J J + | k 1 , j, m i =

k 2 , j, m | J 2 − J z 2 − ~ J z

| k 1 , j, m

= ~ 2 j(j + 1) − m 2 ~ 2 − ~ 2 m

h k 2 , j, m | k 1 , j, m i = 0

Wirhaben

k J + | k 1 , j, m > k 2

| {z }

k| k 1 ,j,m ± > k 2

= [j(j + 1) − m(m ± 1)] ~ 2 h k 1 , j, m | k 1 , j, m i

| {z }

1

Manzeigt,dass

| k, j, m ± 1 >= 1

~ √

j(j+1) − m(m ± 1) J ± | j, k, m >

ONB in

ǫ(j, m ± 1)

bilden.

Mansiehtferner:

g(j, m + 1) = g(j, m − 1) = g(j, m) = g(j)

unabhängigvon

m.

Konstruktioneiner Basis

1. FürjedenWert vonjwähleeinenzujgehörigenUnterraum,

z.B.den,m=j,d.h.

ǫ(j, j).

2. WählehierinbeliebigeONB

{| k, j, j >, k = 1, ..., g(j) }

3. Mit

| k, j, m ± 1 >= 1

~ √

j(j+1) − m(m ± 1) J ± | j, k, m >

konstruieredurhIterationdieBasis,ausdersihdieBasender2janderen

Unterräume

ǫ(j, m)

ergeben.

4. Führediesfürallejaus.

StandardbasisdesZustandrausm

ǫ

mit der

Orthonormierungsrelation

h k, j, m | k , j , m i = δ kk δ jj δ mm

Vollständigkeitsrelation:

P

j

P g(j)

k=1 | k, j, m | ih k, j, m | = 1 ǫ(j, m = j) | 1, j, j > .... | g(j), j, j >

↓ J − ↓ J − ↓ J −

ǫ(j, m = j − 1) | 1, j, j − 1 > ... | g(j), j, j − 1 >

↓ J − ↓ J −

| 1, j, − j > ... | g(j), j, − j >

Darstellung der Drehimpulsoperator Im folgenden verwenden wir die

Räume

ǫ (k, j)

, d.h. wir gruppieren Kets

| k, j, m >

mit festen Werten k und

j.

ˆ dim

ǫ (k, j) = 2j + 1

unabh. vonkundvombetrahtetenphysikal. System

ˆ

ǫ (k, j)

globalinvariantunter

J ~

Suhen nun Matrix, die in einer Standardbasis die Komponente

J U

von

J ~

darstellt.

1. j=0,m=0

J n (0)

reduzierensihZahlen=0

2.

j = 1 2 , m = + 1

2 , m = − 1

| {z 2 }

w¨ ahlen Basisvektoren in dieser Reihenf olge

J z (1/2) = ~ 2

7.1 EW-Gleihung in der Ortsdarstellung

[ | ~ r > }

X, ~ ~ P −

Operator inOrtstarstellung:

ˆ Multiplikationmit

X ~

ˆ Dierentialoperator

~ i ∇ ~ L x = ~ i (y ∂z − z ∂y )

L y = ~ i (z ∂x − x ∂z ) L z = ~ i (x ∂y − y ∂x )

Die Drehimpulsoperatorenwirkennur auf

θ, Φ

nihtauf r Übergangzu

Kugelkoordinaten

mit

r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ Φ ≤ 2π

 

 

x = r · sin θ · cos Φ y = r · sin θ · sin Φ z = r · cos θ

und

d 3 r = r 2 sin θ · dr · dΦ · dθ = r 2 dΩdr

⇒ L x = i ~ sin Φ ∂Θ + tan Θ cos Φ ∂Φ L y = i ~ − cos Φ ∂Θ + tan Θ sin Φ ∂Φ L z = ~ i ∂Φ

sodass

L ~ 2 = − ~ 22

∂Θ 2 + tan 1 θ ∂θ + sin 1 2 θ

2

∂Φ 2

L + = ~ e ∂Θ + i cot θ ∂Φ

( △ ) L = ~ e ∂Θ + i cot θ ∂Φ

WirsuhenFunktionen

ψ(r, θ, Φ)

,die dieEW-gleihungenerfüllen:

− ~ 2

2

∂θ 2 + tan 1 θ ∂θ + sin 1 2 θ

2

∂Φ 2

ψ (r, θ, Φ) = ~ 2 l · (l + 1) ψ (r, θ, Φ)

− i ~

∂Φ ψ (r, θ, Φ) = m ~ ψ (r, θ, Φ)

DarnihtimDierentialoperatorauftritt,sei

Y l m (θ, φ)

gemeinsame

Eigen-funktionzur

L ~ 2 , L z

mitEW

~ 2 l(l + 1)

und

m ~ : L ~ 2 Y l m (θ, φ) = ~ 2 l(l + 1)Y l m (θ, φ)

(*)

L z

|{z}

− i ~ δφ δ

Y l m (θ, φ) = m ~ Y l m (θ, φ)

mit

ψ(r, θ, φ) = f (r) · Y l m (θ, φ)

fürbeliebigeFkt.

(*) Separationsansatz:

Y l m (θ, φ) = F l m (θ)Φ m (φ) Φ m (φ) = e imφ

((*)

− i ~

∂φ Φ m (φ) = m ~ Φ m (φ)

Da

φ ∈ [0, 2π]

und

ψ(r, θ, ψ)

stetigseinmuss,muss

e im2π=1

undm,lganzzahlig.

Esgilt

L + Y l l (θ, φ) = 0

Aus

( △ )

und

Y l m (θ, φ) = F l m (θ)e imφ

d − lcotθ

F l l (θ) = 0 → F l l (θ) = c l (sinθ) l c l cosθ

sinθ l(sinθ) l 1 sinθ − lcotθ = 0

c l

ausNormierungsbedingung Fürjedes

≥ 0 ∃ Y l l (θ, Φ)

mit

Y l l (θ, Φ) = c l · (sin θ) l e imΦ

WiederholtesAnwendenvonL

Y l l 1 , Y l l 2 , ..., Y l l

(zujedemPaar(l,m)nureineEigenfunktion)

Normierung:

ˆ

dΩ | Y l m (θ, Φ) | 2 = ˆ 2π

0

dΦ ˆ π

0

sin dθ | Y l m (θ, Φ) | 2 = 1

2π ˆ

θ | F l m (θ) | 2 sin θ = 1 ˆ

0

= r 2 | f (r) | 2 dr = 1

⇒ c l = ( − 1) l 2 l l! ·

r 2l + 1 4π

Undshlieÿlih nohlängererRehnung: Kugelähenfunktionen

Y l m (θ, Φ) = ( − 1) l 2 l l!

s (2l + 1)

4π · (l + m)!

(l − m)! e imΦ (sinθ) m d l m

(d cos θ) l m (sin θ) 2l

AlternativeForm

Y l m (θ, Φ) = ( − 1) m+ 2 | m |

s (2l + 1)

4π · (l − | m | )!

(l + | m | )! · P l | m | (cos θ) · e imΦ P l m =

assoziierteLégendre Polynome:

P l m (u) = (1 − u 2 ) m/2 du d m m P l (u) P l 0 (u) ≡ P l (u)

P l (u) = ( d l 1) l! l d l

du l (1 − u 2 ) l

Strukturvon

Y l m (θ, φ) :P l m (u) =

Polynoml-tenGradesinm;

l :

gerade

ungerade

gerade

ungerade

Potenz

Y l m = ( − 1) m (Y l m )

Beispiele:

Y 0 0 = √ 1

Y 1 0 = q

3 4π cos θ Y 1 1 = − q

3

8π sin θe Y 2 0 = q

5

16π 3 cos 2 θ − 1 Y 2 1 = q

15

8π sin θ cos θe

Y 2 2 = q 15

32π sin 2 θ · e 2iΦ

Verhaltenunter Parität:

~x → − ~x

d.h.

r → r

,

θ → π − θ

,

Φ → Φ + π Y l m (π − θ, π + θ) = ( − 1) l Y l m (θ, Φ)

Orthogonalität:

´ dΩ Y l m (θ, Φ) Y l m (θ, Φ) = δ ll δ mm

Vollständigkeit:

P

l,m

Y l m (θ, Φ) Y l m , Φ ) = δ (cos θ − cos θ ) δ (Φ − Φ )

Zusammenhangmit ket:

Y l m (θ, Φ) = h θ, φ | l, m i

7.2 DrehimpulsalsErzeugender(Generator)von

Dehnun-gen

InPolarkoordinaten

L z = ~ i ∂Φ

1 + i

~ αL z

f (θ, Φ) =

1 + α ∂

∂Φ

f (θ, Φ + α) α ≪ 1

Fürendlihe

α

(undanalytishef):

e iαL z / ~

| {z }

e α∂/∂Φ

f (θ, Φ) = X ∞ n=0

1 n!

α ∂

∂Φ n

f (θ, Φ) = f (θ, Φ + α)

Allgemein:

e i~ ϕ~ L/ ~ ψ (~x) = ψ (~x )

wobei

X ~

aus

X ~

durh eine Drehung um Rihtung

| ϕ ϕ ~ ~ |

um den Betrag

| ϕ ~ |

hervorgeht.

7.3 Integrale der Bewegung und Symmetrieeigenshaften

AistIntegralderBewegungsindalleErwartungswertezeitlih konstant.

[ dt d h A i (t) = ∂A

∂t

(t) + i~ 1 h [A, H] i ]

Falls

∂A

∂t = 0

und

[A, H ] = 0

istAIntegralderBewegung/Erhaltungsgröÿe Wir betrahten räumlihe Vershiebungen oder Drehungen des QM

Sys-tems.

BetrahtenOrtsvektorderTeilhen.

Bsp.fürDrehungen:

X ~ → X ~ = S ~ X X ~ = S 1 X ~ ( △ ) ψ (x ) = ψ(x)

(*)bestimmt

ψ

SuhenOperator

R s

,sodass

ψ (~x ) = R x ψ(~x )

( ∗ ) → ψ(~x) = R s ψ(~x )

( △ ) → ψ(S 1 X ~ ) = R s ψ(~x ) ∀ ~x

⇒ ψ(S 1 X ~ ) = R s ψ(~x)

bei Parallelvershiebungen ungeändert

H bei Vershiebungen ungeän-dert.

Vershiebung:

X ~ → X ~ = X ~ + δ~a δ~ α ≪ 1

⇒ R V erschiebung ψ(~x) = ψ (~x − δ~a) =

1 − (δ~a) ∇ ~ ψ(~x) =

 

 1 − ~ i δ~a ~~ ∇

|{z} i

~ p

 

 ψ(~x)

InvarianzvonH:

h ψ | H | ψ i

| {z }

h H i

=

ψ | R + v HR v | ψ

ψ = R V ψ

= h ψ | H | ψ i ∀| ψ >

⇒ H = R + s H R s

infenitesimaleTranslation:

R δ~ α = 1 − ~ i δ~ α~ p R δ~ α HR δ~ α =

1 + i

~ δ~ α~ p

H

1 − i

~ δ~ α~ p

= H + i

~ δ~ α h P , H ~ i

+ σ δ~ α 2

= H

Invarianzunter Vershiebung

⇒ h H, ~ P i

= 0

2. IsotropiedesRaumes:InvarianzunterDrehungen

h ψ | H | ψ i =

ψ | R + D HR D | ψ

innitesimal:

R D = 1 − ~ i δ ~ ϕ~ L ⇒ h H, ~ L i

= ~ 0

Wenn

L ~

ErhaltungsgröÿedannfolgtIsotropiedesRaumes 3. HomogenitätderZeit:

∂H

∂t = 0

Histnihtexplizi8tzeitabhängig

⇒ dt d h H i = d

dt H

+ i~ 1 h [H, H] i = 0

d.h.

d

dt h ψ | Hψ i = 0

HKonstantederBewegung

Energieerhaltung 4. Allgemein

unitärerOperator:

U α = e iα/~ · A

WennfüralleZustände

| ψ >

:

h ψ | H | ψ i = h ψ | U α + HU α | ψ i

also

H = U α + HU α ⇒ [H, A] = 0

Undwenn

∂A

∂t = 0

:

ˆ AGenerator

P , ~ ~ L, ...

ˆ

d

dt h ψ | A | ψ i = 0

GiltauhfürinnereSymmetrien(Isospin)

Satz (Noether):

IstU eineSymmetrietransformation,A eineObservable,H der

zeitunab-hängigeHamiltonoperator,dannistdieAzugeordnetephysikalisheGröÿe

eineErhaltungsgröÿe,d.h.

1.

h A i = const.

(erhaltenerErwartungswert)

2. IstdasSystem einmalin einem EigenzustandvonA, bleibt esohne

äuÿereEinwirkungin diesem

3. DieWahrsheinlihkeit,einenbestimmtenEigenwertvonAineinem

beliebigenZustand

| ψ >

zumessen,istzeitunabhängig.

7.4 Rotation eines zweiatomigen Moleküls

7.4.1 Qualitative Betrahtung

EinfahstesBeispiel:

H 2 2e , 2 Kerne

(bild)

adiabatisheNäherung:

FürkleineÄnderungen desKernabstandeskanndieWirkungdurhein

Po-tential

∼ (~r 1 − ~r 2 )

beshriebenwerden

harmonisherOZ (bild)

BetrahtenhierDrehungenumMassenmittelpunkt

Rotationsanregung 7.4.2 Starrer Rotator

1. klassish(bild)

imShwerpunktsystem:

m 1 r 1 = m 2 r 2 r 1

m 2 = m r 2 1 = r m 1 1 +r m 2 2 = m 1 r m 2

µ = m m 1 1 +m m 2 2

reduzierteMasse

µ ≡ r 1 + r 2

Trägheitsmomentbezüglih

O s : I = m 1 r 1 2 +m 2 r 2 2 = (m 1

1 +m 2 ) 2

m 1 m 2 2 + m 2 m 2 1 r 2

DrehungumfesteAhse

~ L

| ~

L |

miteinerWinkelgeshwindigkeit

ω R

| L ~ | = Iω R

Energie:

H = 1 22 R = L ~ 2I 2

imRuhesystemdesMassenmittelpunktesnurkinetisheRotationsenergie)

VerallgemeinerteKoordinaten:

θ, ϕ ,

Rihtungvon

~r

Wellenfunktion:

ψ(θ, ϕ) = h θ, ϕ | ψ i , ´

| ψ | 2 dΩ = 1 H = L ~ 2I 2

(Operator)

h θ, ϕ | H | ψ i = − ~ 2I 2 h

2

∂θ 2 + tanθ 1 ∂θ + sin 1 2 θ

2

∂ϕ 2

i ψ(θ, ϕ)

Eigenfunktionen:

Y m l (θ, ϕ) = h θ, ϕ | lm i , H | l, m >= l(l+1) 2I ~ 2 | l, m >

vorlesung11.juni

1. Quantisierung

H = L ~ 2I 2

Eigenfunktionen:

Y m l (θ, ϕ) = h θϕ | lm i H | lm >= l(l+1)~ 2I 2 | lm >

Konvention:

B = 4πI ~

Rotationskonstante Einheit

s 1 E l = ~ 2 l(l+1) 2I = Bhl(l + 1)

Niveaus:

E l − E l − 1 = Bh2l

2. Interpretation

Implikation fürEMÜbergänge:Kopplung anDipolübergagsmoment

*

l m | Z

|{z}

rcosθ

| lm +

= rδ mm

h δ l ,l − 1

q l 2 − m 2

4l 2 − 1 + δ l ,l+1

q (l+1) 2 − m 2 4(l+1) 2 − m 2

i

cosθ · Y l m (θ, ϕ) = q

l 2 − m 2

4l 2 − 1 Y l m 1 (θ, ϕ) + q

(l+1) 2 − m 2

4(l+1) 2 − m 2 Y l+1 m (θ, ϕ)

(a) Übergängenurzwishen benahbartenNiveaus.Auswahlregeln:

∆m = 0, ∆l = ± 1

h X i : ∆l = ± 1, ∆m = ± 1 h Y i : ∆l = ± 1

(b) Photonfrequenz:

(E l − E l − 1 )/h = 2Bl = ν l,l − 1

8 Zentralpotentiale/Wasserstoatom

8.1 Hamiltonoperator: Zentralpotential, d.h.

V ( ~ r ) → V ( r )

1. klassish:Kraftauf klass.Teilhen:

F ~ = − ∇ ~ V (r) = − dV dr · ~ r r

KraftzeigtinRihtungUrsprung0

d~ U = ~r × ~ p

folgt(Drehimpulssatz)

d~ L

dt = ~ 0 ⇒

Drehimpuls istErhaltungsgröÿe BahndesTeilhensin Ebenedurh

0 ⊥

auf

~ L

wobei

v r = dr dt

undmit

| ~r × ~v | = r | ~v |

hatman

~ L

= | ~r × µ~v | = µr | ~v |

GesamtenergiedesTeilhens:

E = E kin + E pot = µ 2 v r 2 + µ 2 v 2 + V (r) E = 1 2 µv 2 r + 2µr L 2 2 + V (r)

klassisheHamiltonfunktion:

H = p 2 r + 2µr L 2 2 + V (r) p r = ∂v ∂L r = µv r , L = T − V

p r = µ dr dt

kanon. Impuls zur

L ~ 2

auszudrükendurh

r, θ, ϕ

und

p r , p θ , p ϕ

d.h.

L ~ 2 = p 2 θ + sin 1 2 θ p 2 ϕ

2. QM:

EW-Glg. desHamiltonoperators/Shrödingergleihung

h

− 2µ ~ 2 ∆ + V (r) i

ϕ (~r) = Eϕ (~r)

Vnurabh. vonr

Kugelkoordinaten. Mit

∆ = 1 r ∂r 2 2 r + r 1 2

2

∂θ 2 + tan 1 θ ∂θ + sin 1 2 θ

2

∂ϕ 2

L ~ 2

inKugelkoordinaten:

~ L 2 = − ~ 22

∂θ 2 + 1 tan θ

∂θ + 1 sin 2 θ

2

∂ϕ 2

H = − ~ 2 2µ 1 r

2

∂r 2 r + 1

2µr 2 L ~ 2 + V (r)

8.2 Separation der Variablen

L i

wirkennur

θ, ϕ

vertaushenmitjedemOperatordernuraufrwirkt.

h H, ~ L i

= 0 → L i

KonstantederBewegung

ebenso

h H, ~ L 2 i

= 0

.

Da die

L i , ~ L 2

niht alle untereinander vertaushen, verwenden wir nur

~ L 2 , L z

.

H, ~ L 2 , L z

vertaushenpaarweise.

Möglih Basis des Zustandsraumszu nden, derenElemente gleihzeitig Eigenfunktionenzudiesen3Observablensind.

Hϕ(~r) = Eϕ(~r)

L ~ 2 ϕ(~r) = ~ 2 l(l + 1)ϕ(~r) L z ϕ(~r) = ~ mϕ(~r)

D.h.Niveauswerdennah E,l,mklassiziert.Suhen LösungenderForm:

ϕ(~r) = R(r)Y l m (θ, ϕ)

EnergieEhängtabvonlundeinemweiterendiskreten(Bindungszustände)

oderkontinuierlihen(Streuzustände)Indexk:

E kl

ÜbergangzuFunktion u:

R(r) = 1 r u(r)

DieseGleihungistanalogzudereineseindimensionalenProblems,beidem

siheinTeilhenderMasse

µ

ineinemeektivenPotential

V ef f (r) = V (r) + l(l+1) 2µr 2

bewegt.

Ahtung:

r ≥ 0

! und

| u (r) | 2

integrabelbzgl. dr.

Verhaltender Lösungen beikleinemr: Annahme:

V (r)

beir

0

reguläroderwenigersingulärals

1

− 4πδ (r)

nihtLösungenderShrödingerglg.

Bleibt nur Lösung

R (r) ∼ r l .

Also vershwindet

u (r)

beir=0.

u (r) ∼ r 1

(fürl=0).

R (r)

gehtgegeneineKonstante(fürl=0)odervershwindetfürl>0.

AlsofügeDGL dieBedingunghinzu

u kl (0) = 0.

Wellenfkten von H eines Teilhens in einem Zentralpotential

V (r)

hängen

von3Indizes ab:

ϕ klm (r, θ, ϕ) = R (r) Y l m (θ, ϕ)

DieEnergieniveaus

E kl

sind

(2l + 1)

-fahentartet:

zufesetemk,l:

m = − l, − l + 1, ..., +l

DieseEntartungexistiertfüralleFormendesPotentials:wesentlihe

Entar-tung.Möglih,dassEW

E k,l

derRadialgleihungzugegebenenlnohmalsals EW

E k ,l

derdurh

l 6 = l

harakterisiertenRadialgleihungauftritt:zufällige Entartungen (z.B.beiH).

Die Radialgleihung hatfürgegebenesl hähstenseinephysikalish

akzep-tableLösung.

ZurEindeutigkeit:

MitEW von

L 2

Gleihung fürRadialfunktionEW vonHlegt diese Ra-dialfunktioneindeutigfest. Zu gegebenemPaar(l,m) existiertnur eine

Kugel-ähenfunktion

Y l m (θ, ϕ)

.

8.4 System aus 2 Teilhen

2TeilhenohneSpin,Massen

m 1 , m 2

,Ortsvektoren

~r 1 , ~r 2

V = V (~r 1 − ~r 2 )

Klassish:

L(~r 1 , ~r 2 , ~ ˙ r, 1 ~ ˙ r, t) = 2 T − V = 1 2 m 1 ~ ˙ r 2 1 + 1 2 m 2 ~ ˙ r 2 2 − V (~r 1 − ~r 2 )

KonjugierteImpulse:

~ p 1 = ∂L

∂ ~ r 1 =m 1 ~ ˙ r 1 , ~ p 2 = m 2 ~ ˙ r 2

Massenmittelpunkt:

~r G = m 1 m ~ r 1 1 +m +m 2 2 ~ r 2

und

~r = ~r 1 − ~r 2

~r 1 = ~r G + m 1 m +m 2 2 ~r, ~r 2 = ~r G − m 1 m +m 1 2 ~r L(~r G , ~ ˙ G r, ~r, ~r, t) = ˙ 1 2 M ~ ˙ 2 G r + 1 2 µ ~ ˙ r 2 − V (~r)

mitderGesamtmasse

M = m 1 + m 2

undderreduziertenMase

µ = m m 1 1 +m m 2 2

KonjugierteImpulse

~ p G = ∂L

∂ ~ ˙ G r = M ~ ˙ G r = m 1 ~ ˙ r+m 1 2 ~ ˙ r 2 = ~ p 1 +~ p 2

Gesamtipuls

~ p = ∂L

∂ ~ r ˙ = µ ~r ˙ = m 2 m ~ p 1 m 1 p ~ 2

1 +m 2

Relativimpuls

KlassisheHamiltonfunktion

H = P

i=G,rel ~ p i ~ ˙ r i − L H (~r G , ~ p G , ~r, ~ p, t)stem = 2M p ~ 2 G + p ~ 2 + V (~r)

Bewegungsgleihungen

p ~ ˙ i = − ∂H ∂~ r i

~ ˙ G p = − ∂~ ∂H r G = ~ 0

RuhesystemdesMassenmittelpunktsMMP

~ ˙

p = − ∂H ∂~ r = − ∇ ~ V (~r)

WählendasRuhestystemdesMMP:Hamiltonfunkton:

H r = ~ r 2 + V (~r)

QM:Operatoren

R ~ 1 , ~ P 1 , ~ R 2 , ~ P 2

mit

[X 1 , P 1X ] = i ~

[X 2 , P 2X ] = i ~

analog....?

Observablen

R ~ G , ~ R : R ~ G = m 1 m R ~ 1 1 +m +m 2 2 R ~ 2 , ~ R = R ~ 1 − R ~ 2

unddieObservablen

P ~ G = P ~ 1 + P ~ 2 p ~ = m 2 m ~ p 1 1 +m m 1 2 ~ p 2

unddieObservablen

P ~ G = P ~ 1 + P ~ 2 p ~ = m 2 m ~ p 1 1 +m m 1 2 ~ p 2

Im Dokument Ψ( ~r,t =0) | | = ~k 2 πλ (Seite 10-0)