1.2 Historishe Entwiklung
2.1.3 Spektralzerlegung
p = ~ · ~k E = hν = ~ ω
2.1.2 Ausbreitung
I(x) ∝ | E(x) | 2
I(x)= Wahrsheinlihkeitsverteilung der Photonen auf dem Shirm. Die
BahneineseinzelnenPhotonskannnihtmit Siherheitangegebenwerden.
GiltSuperpositionsprinzip:
E 1 (x), E 2 (x)
LösungderMaxwellGLeihungen→ so
auhE(x) = λ 1 E 1 (x) + λ 2 E 2 (x), λ i = konst.
2.1.3 Spektralzerlegung
PolarisiertesLihtmitAusbreitungsgrihtung.
O Z
fällt auf einen Analysator,klassish: p-polarisiertesLihtine ~ p
-Rihtung:E(~r, t) = ~ E 0 ~e p e i(kz − ωt)
Intensität:
E 0 2
, Nah A:E ~ ′ (~r, t) = E 0 ′ ~e x e i(kz − wt)
wobeiE ′ 0 = E 0 e ~ p ~e x = E 0 cosΘ → Intensit¨ at : E 0 ′ 2 = E 0 2 cos 2 Θ
QM:PhotonwirdimAnalysatorgestopptoderdurhgelassen
→
zweimögliheResultate der Messung: Eigenresultate. Einzelresultat kann niht
vorherge-sagtwerden. NahAwürdedasPhotonweitereAnalysatoren(bzgl. x-Rihtung
siher durhlaufen: nah A ist es im Eigenzustand. Es gibt 2 Eigenzustände
für A mit Polarisation in x-Rihtung
∝ ~e x , ~e y
. Für diese Eigenzustände ist das Messresultat siher in A: Durhgang oder Stoppen. Jeder Zustand mitPolarisation
~e p
kann in Eigenstustände vonA zerlegt werden:~e p = cosΘ~e x + sinΘ~e y .
Wahrsheinlihkeitfür durh:cos 2 Θ
für stop:sin 2 Θ
.→ P 3
i=1 P i =
1
. SpektraleZerlegung von~e p
nahEigenzuständen.ν = E h λ = h p
| k ~ | = 2π λ
Einfreies niht relativistishesTeilhen istalso mit einerebenen Welle
os-soziiert.
Ψ(~ r,t) = Ψ 0 exp { i(~k~r − ωt)) = Ψ 0 exp { i
~ (~ p~r − Et) }
KohärentmitInterpretationderGeshwindigkeitderWelle: Punktegleiher
Phase:
~k~r − ωt = const.
~kd~r − ωdt = 0
→ P hasengeschwindigkeit : ω k = E
p = 1 2 v
PropagationsgeshwindigkeitderEnergiederWelle:
→ Gruppengeschwindigkeit : dω dk = dE
dp = v
DiesistdieGeshwindigkeiteinesMatereieteilhensunterBerüksihtigung
von
~ p = mv
undeit
E = ~ p 2 2m
1. KlassisheTajektorie
~x(t) → zeitliche
VeränderliheWellenfunktionψ(~r, t)
2. |
ψ(~r, t) | 2 =
Wahrsheinlihkeitsamplitudeˆ
d 3 r | ψ(~r, t) | 2 = 1
3. KlassisheBewegungsgleihung
→
Shrödingergleihung.SuhenBewegungsgleihungfür
ψ(~r, t)
. Forderungen:1. DGL 1. Ordnung in derZeit, damit
ψ(~r, t)
durhdie Anfangsverteilungψ(~r, t = 0)
bestimmtist.2. Sie muss linearin
ψ
sein, damit Superpositionsprinzip gilt (d.h. Linear-kombinationvonLösungenstellenwieder Lösungendar→
deshalbtretenInterferenzeekte aufwieinderOptik. (Optik: Diesefolgenausder
Lin-earitätderMaxwellgleihungen)
3. Siemuss homogensein, damit
´ ∞
−∞ d 3 r | ψ(~r, t) | 2 = 1
füralle Zeitenerfülltbleibt.
4. Die ebenen Wellen
ψ(~r, t) = c · exp { i(~ p~r − 2m p 2 t)/ ~ }
sollen Lösungen derGleihungsein.
FürdieseebenenWellengilt:
∂
∂t ψ(~r, t) = − ~ ip 2m 2 ψ(~r, t) = ~ i 2m ~ 2 ∆ψ(~r, t
| {z }
− p ~2 2 ∆ψ(~ r,t)
Aus 1.-4. erhalten wir die zeitabhängige Shödingergleihung für ein freies
Teilhen:
i ~ ∂
∂t Ψ(~r, t) = − ~
2m ∆Ψ(~r, t)
Annahme: Teilhen derMassemunterliegteinemPotential
V (~r, t)
− 2m ~ 2 ∆Ψ(~r, t) + V (~r, t)Ψ(~r, t) = i ~ ∂
∂t Ψ(~r, t)
2.4 Wellenpakete
| ~ k | = 2 λ π
2.4.1 Freies Teilhen(v=0)
i ~ ∂
∂t Ψ(~r, t) = − ~ 2
2m ∆Ψ(~r, t)
Lösung:
Ψ(~r, t) = Ae i( ~ k~ r − ωt) ; A = const und ω = ~k 2m 2
deBroglie-Beziehung:
~ p = ~ ~k; E = ~ ω
damit(wie inklassisherMehanik)
~ ω = E = 2m ~ p 2
Ferner
| Ψ(~r, t) | 2 = | A | 2 = const
. (*)D.h. die Aufenthalswahrsheinlihkeit imganzenRaumgleih.LineareDGL:Superpositionsprinzip: Jeder Linearkombinationvonebenen
WellendesTyps(*)istwiedereineLösung.
ÜberlagerungebeneerWellen
≡
Wellenpaket.Ψ(~r, t) = (2π) 1 3/2
´ d 3 kg (~k)e i( ~ k~ r − ωt)
(A)g(~k)(kann ∈ C)
,musshinreihendregulärseinBeifester Zeit
t 0
(perKonvention(t 0 = 0)
)Ψ(~r, 0) = ´
d 3 kg(~k)e i( ~ k~ r)
Zu einer bestimmten Zeit kann zu
Ψ(~r, t)
immer die Fouriertransformierte angegebenwerden. DieGleihung(A)legtΨ(~r, t)
füralleZeitentfest.2.4.2 Zusammenhang
Ψ(~r, t = 0)
undg(k)Ansatz:
| g(k) | e iα(k)
Annahme:
α(k)
seiimIntervall[k 0 − ∆k 2 , k 0 + ∆k 2 ]
,indem|g(k)|nennenswert vonnullvershiedenist,hinreihendregulär(Grak)
→
Linearisierungvonα(k)
umk = k 0
für∆k ≪ 1 |
Taylor:
α(k) ≅ α(k 0 ) + (k − k 0 ) ( dα dk ) | k 0
| {z }
≡− x 0
+Θ(∆k) 2
O.B.d.A.eindimensional:
Ψ(x, t = 0) = ´ dk
√ 2π g(k)
|{z}
| g(k) | e iαk
e ikx ≈ ´ dk
√ 2π | g(k) | e iα(k 0 ) − (k − k 0 )x 0 +kx) = e i(α(k 0 )+k 0 x) ´ dk
√ 2π | g(k) | e i(k − k 0 )(x
Falls
x = x 0
nurpositiveBeiträge→ | Ψ |
maximal. Fallsx − x 0 ≫ 1
|{z} ∆k
k − k 0
. Viele
Oszillationen des Integranden innerhalb des Integrationsgebiets
⇒ | Ψ |
klein.(Grak)
MaximumdesWellenpaketsimOrtsraumbei
x max = x 0 = − ( dα dk ) k=k 0
(stationäre PhasedesIntegrandenbeix 0
)BreiteimOrtsraum
∆x ∼ ∆k 1
Abfall von
| Ψ(x, 0) |
maht sih bemerkbar, wenne i(k − k 0 )(x − x 0 )
ungefähr eineShwingungausführt,fallskadasIntervall
∆k
durhläuft.∆k(x − x 0 ) ≈ 1
Sei
∆x = x − x 0
dieBreitedesWellenpakets,dann giltalso∆k · ∆x ≥ 1.
Mit
p = ~ k
Heisenbergshe
Unshärferelation
∆x∆p ≥ ~
2.4.3 Zeitlihe Entwiklungeines freien Wellenpakets
2.5 Zeitunabhängiges Potential
Annahme:
V = V (~r) 6 = 0 ⇒
Wir habenE = K = E kin = 2m p 2
→ E = K + V = 2m p 2 + V (~r).
MitdemHamiltonoperatorH=K+V.ShrödingergleihungeinesTeilhensimPotential
V ( r) : ~ i ~ ∂Ψ
∂t = H Ψ
i ~ ∂
∂t Ψ(~r, t)
| {z }
Ableitung nach t
= − ~ 2
2m ∆Ψ(~r, t) + V (~r)Ψ(~r, t)
| {z }
Ableitung nach ~ r
Ansatz:
Ψ(~r, t) = φ(~r) · χ(t) 1
χ(t) i ~ ∂
∂t χ(t)
| {z }
F unktion von t
= 1 φ( r) ~ ( − ~ 2
2m ∆φ(~r, t) + V (~r)φ(~r))
| {z }
F unktion von ~ r
= konst! = ~ ω
⇒
fürχ(t) : i ~ ∂
∂t χ(t) = ~ ωχ(t) → χ(t) = A · e − iωt
Gleihungfür
φ(~r) : − 2m ~ 2 ∆φ(~r, t) + V (~r)φ(~r)) = ~ ω
|{z}
E
φ(~r)
ZeitunabhängigeShrödingergleihung:
( − ~ 2
2m ∆ + V (~r))
| {z }
Hamiltonoperator H
φ(~r) = Eφ( r) ~
EigenwertgleihungdeslinearenOperatorsH.
E:Eigenwert,
φ
: Eigenfunktion.Ψ(~r, t) = φ(~r)e − iωt
stationärerZustand,da
| Ψ | 2 = const.
2.5.1 Stufenpotentialequalitativ
EindimensionaleBewegung(Grak)
stationäreShrödingergleihung:
[ − 2m ~
²d
²dx
²+ V (x)]ϕ(x) = Eϕ(x) [ dx d
²²
+ 2m ~
²
(E − V (x))]ϕ(x) = 0
Analogiezurük: ElektrisheFeld
E(~r, t) = ~ ~eE (x)e − iωt
WellengleihungimMedium mitBrehungsindexn:
[ d
²dx
²− n
²c
²d
²dt
²]E(x)e − iωt = 0 [ d
²dx
²+ n
²ω
²c
²]E(x) = 0
QM:
2m
~ 2 (E − V ) = n 2 c ω 2 2
n 2
( > 0 transparentes
< 0 totalref lektierendes M edium n 2 > 0 : [ dx d 2 2 + k 2 ]E(x) = 0 k = ω c √
n 2 ; E(x) ∝ e ( ± ikx) n 2 < 0 : [ dx d 2 2 − ρ 2 ]E(x) = 0ρ = ω c √
− n 2 ; E(x) ∝ e ± ρx
Beispiele:
Figure1:
2.4.1Stufe.png
Brehungsindex;
n 1 = ~ω c √ 2mE
;n 2 = ~ω c p
2m(E − V 0 )
,E > V 0 :
QM:WahrsheinlihkeitP reektiert; Wahrsheinlihkeit(1-P):transmittiert
Totalreexion,aber: EindringeninGrenzshiht(gedämpfteWelle). QM:
Wahrsheinlihkeit
6 = 0,
dasTeilhenin derRegion2zunden.2. Barriere:
Figure2:
2.4.1Barriere.png
Tunneleekt;
0 < E < V 0
3. Potentialtopf
Figure3:
2.4.1Potentialtopf.png
(a)
− V 0 < E < 0
Energiequantisierung(b)
E > 0
teilweise Transmission,teilweiseReexion(i)
E > V [ dx d
²²
+ k 2 ]ϕ(x) = 0 k = q 2m
~
²(E − V ) ϕ(x) = Ae ikx + Be − ikx A, B ǫ C
(ii)
E < V [ dx d
²²
− ρ
²]ϕ(x) = 0 ρ bzw. κ = q
2m
~
²(V − E) ϕ(x) = Ce ρx + De − ρx C, D ǫ C
(iii)
E = V ϕ(x) = E + F x E, F ǫ C
2.5.2.1Anshlussbedingungen
V(x)mit Unstetigkeitbeix=a.
Sei
V ρ
in[a − δ; a + δ] ∀ δ
beshränkt;einmaligintegriertdϕ
dx | a+δ − dϕ dx | a − δ = ´ a+δ a − δ
2m
~
²(V δ (x) − E)ϕ(x)dx
beshränkt rehteSeite
→
0fürδ → 0
dϕ
dx | a+δ = dϕ dx | a − δ = ⇒ ϕ ′ = dϕ dx
iststetigbeix=a= ⇒ ϕ
ebenfallsstetigbeix=a2.5.2.2Potentialstufe
V (x) = V 0 E(x) = { V 0 x > 0 0 x ≤ 0 E > V 0 :
I:
d
²ϕ
dx
²+ k 1
²ϕ = 0 , k 1 = q
2m
~
²E
II:
d
²ϕ
dx
²+ k 2
²ϕ = 0 , k 2 = q
2m
~
²(E − V 0 ) ϕ I (x) = A 1 e ik 1 x + A ′ 1 e − ik 1 x
ϕ II (x) = A 2 e ik 2 x + A ′ 2 e − ik 2 x
Teilhen kommtvonlinks
= ⇒ A ′ 2 = 0
i)
ϕ I (0) = ϕ II (0) : A 1 + A ′ 1 = A 2
ii)
ϕ ′ I (0) = ϕ ′ II (0) : K 1 (A 1 − A ′ 1 ) = K 2 A 2
→ A A ′ 1 1 = k k 1 1 − +k k 2 2
A 2
A 1 = k 1 2k +k 1 2
;wähleA 1 = 1
Reexionskoezienten:
φ(x; x ≤ 0) = e (ik 1 x) + k k 1 − k 2
1 +k 2 e ( − ik 1 x) φ(x; x > 0) = k 1 2k +k 1 2 e (ik 2 x)
Transmissionskoezient:
T = k k 2
1 | A A 2 1 | 2 = (k 4k 1 k 2
1 +k 2 )2
R+T=1;TotalreexionT=0
(b)
E < V 0
(II):d 2 φ
dx 2 − ρ 2 φ = 0; ρ = q
2m
~ 2 (V 0 − E)
k 2 → iρ
;φ II (x) = B 2 e (ρx) + B 2 ′ e (ρx) ;
Beshränkungvonφ ⇒ B 2 = 0
A ′ 1
A 1 = k k 1 1 − +iρ iρ ; B A ′ 2 1 = k 2k 1 +iρ 1 → R = | A A ′ 1 1 | 2 = 1
φ(x; x < 0) = (A 1 =1) e (ik 1 x) + k k 1 1 − +iρ iρ e − ik 1 x
φ(x; x ≥ 0) = (A 1 =1) k 2k 1 +iρ 1 e − ρx
V 0 → ∞ (ρ → ∞ )
;A ′ 1 → − A 1 ; B 2 → 0
φ(x = 0) = 0; φ | ∞ Schwelle ≡ 0
2.5.2.3Tunneleekt, Potentialshwelle
V (x) = V 0 Θ(a − | x | )
(bild)
E < V 0 :
ϕ(x) =
x < a Ae ikx + Be − ikx
− a ≤ x ≤ a Ce − κx + De κx x > a F e ikx + Ge − ikx
Mit
k = q
2mE
~
undκ =
q 2m(V 0 − E)
~
(κ , ρ)
Anshluÿbedingung beix=-a
(i)
ϕ I (x = − a) = ϕ II (x = − a) : Ae − iKa + Be iKa = Ce κa + De − κa
(ii)
ϕ ′ I ( − a) = ϕ ′ II ( − a) : ik(Ae − iKa − Be iKa ) = − κ(Ce κa − De − κa )
Entsprehendbeix=a
Betrahten: vonlinkseinlaufendes TeilhenG=0
(Rehnung)
A = F (cosh2ρa + iǫ 2 sinh2ρa)e 2ika B = F ( − 2 iη )sinh2ρa
wobei:
ǫ = ρ k − k ρ
;η = ρ k + k ρ
DenitionTransmissionsamplitude:
S = F A = arsh(2ρa)+ e −2ika iǫ 2 sinh(2ρa)
T = | S | 2 = 1
1+(1+ ǫ 4 2 )sinh 2 (2ρa) = 4E(V 0 − E)
4E(V 0 − E)+V 0 2 sinh 2 ( √
2m(V 0 − E)2a ~
Grenzfall:
ρa >> 1
sehrhoheundsehrbreiteShwelle→ T = e ( − 4 √
2m(V 0 − E) a ~ )
2.5.3 Potentialtopf
V (x) = − V 0 θ( a 2 − | x | ) V 0 ≤ E ≤ 0 : ϕ ′′ − κ
²ϕ κ = q
2m
~ (V 0 − E)
für| x | > a 2 ϕ ′′ + k
²ϕ k = q
2m
~ (E + V 0 )
für| x | ≤ a 2 ϕ I = B 1 e κx + B ′ 1 e − κx
ϕ III = B 3 e κx + B 3 ′ e − κx ϕ II = A 2 e ikx + A ′ 2 e − ikx
Beshränktheit
B 3 ≡ 0
x = − a 2 (B 1 ′ = 0)
xistnegativdarauffolgtdieBeshränktheitvonϕ I
ϕ ( I ′ ) x = − a 2
= ϕ ( II ′ ) x = − a 2
= ⇒ A 2 = e ( − κ+ik) a 2 κ+ik 2ik B 1
= ⇒ A ′ 2 = − e − (κ+ik) a 2 κ 2ik − ik B 1
Anshlussbedingungbei
x = a 2
:
B 3
B 1 = e 4ikκ − κa
(κ + ik)
²e ika − (κ − ik)
²e − ka
B ′ 3
B 1 = κ
²+k²2kκ sin ka B 3 = 0
κ − ik κ+ik
2
= e 2ika
Energiequantisierung1.
κ − ik
κ+ik = − e ika κ k = tan( ka 2 ) ; k 0 = q
2mV 0
~
²= √ k
²+ κ
²1
cos
²( ka 2 ) = 1 + tan
²( ka
2 ) = κ
²+ k
²k
²=
k 0
k 2
( | cos( ka 2 ) | = k k 0 tan( ka 2 ) > 0
(Grak),ShnittpunktemitWelle=Geradenlösungen
2.
κ − ik κ+ik = e ika
( | sin( ka 2 ) | = k k 0
tan ka 2 < 0
Literatur(zurVollständigkeit-.-)
S.Groÿmann:Funktioanalanalysis im Hinblik auf Anwendungen in der
Physik
Ahieser,Glasmann: TheoriederlinearenOperatorenimHilbertraum
Ziel: AbstrakteBeshreibungdesZustandesalsElementeinesZustands(Hilbert)
RaumsundderMessgröÿenduhthermitisheOperatorenunabhängigvoneiner
Basis.
3.1 Zustandsraum der Wellenfunktion
L 2 ≡ { quadratintegrable F untktionen }
→ F = { gen¨ ugend regul¨ are F kten ∈ L 2 }
1.
F
isteinlinearerRaumΨ 1 ( r), ~ Ψ 2 (~r) ∈ F
⇒ Ψ(~r) = λ 1 Ψ 1 + λ 2 Ψ 2 ∈ F λ 1,2 konst ∈ C
da
| Ψ(~r) | 2 quadratintegrabel | Ψ | 2 = | λ 1 | 2 | Ψ 1 | 2 + | λ 2 | 2 | Ψ 2 | 2 = 2Reλ 1 λ ∗ 2 Ψ 1 Ψ ∗ 2 <
| λ 1 || λ 2 | ( | Ψ 1 | 2 + | Ψ2 | 2 )
Ψ | 2 <
FunktionderenIntegralkonvergiert 2. Skalarproduktφ(~r), Ψ(~r) ∈ F
(φ, Ψ) = ˆ
d 3 rφ ∗ (~r)Ψ(~r)
| {z }
C
Eigenshaften:
(φ, Ψ) = (Ψ, φ) ∗
(ϕ, λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ) = λ 1 (ϕ, ψ 1 ) + λ 2 (ϕ, ψ 2 )
bezüglih der zweitenKompo-nentelinear
(λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 , ψ) = λ ∗ 1 (ϕ 1 , ψ)+λ ∗ 2 (ϕ 2 , ψ)
bezüglihdererstenKomponen-teantilinear
Falls
(ϕ, ψ) = 0 ϕ
undψ
zueinanderorthogonal(ψ, ϕ) ≥ 0 = ´
d
³rψ ∗ ψ (ψ, ψ) = 0 ⇔ ψ(~r) = 0
Normin
F
:| ψ | = (ψ, ψ) 1 2
ShwarzsheUngleihung
| (ψ 1 , ψ 2 ) | ≤ | ψ 1 || ψ 2 |
[Norm:
ψ 1 − (ψ | 2 ψ ,ψ 2 | 1 ) ψ 2
℄1. LineareOperatoren
LinearerOperatorA:
φ(~r) = A · Ψ(~r)
,φ, Ψ(~r) ∈ F A(λ 1 Ψ 1 + λ 2 Ψ 2 ) = λ 1 AΨ 1 + λ 2 AΨ 2 ; λ 1,2 ∈ C
Beispiele:
(a) Ortsoperator
χ : X Ψ(x, y, z) = xΨ(x, y, z)
(b) Dierntialoperator
D x D x Ψ(x, y, z) = ∂x ∂ Ψ(x, y, z)
() Partätsoperator
Π : ΠΨ(x, y, z) = Ψ( − x, − y, − z)
(d) HamiltonoperatorH:
HΨ(x, y, z) = ( − 2m ~ 2 ∆ + V (x, y, z)Ψ(x, y, z)
2. ProduktevonOperatoren
(a) A,BlineareOperatoren;Produkt (Def.):
(AB)ψ (~r) = A (Bψ (~r))
| {z }
ϕ( r) ~
Kommutator:vonAundB:[A,B℄=AB-BA
Bsp:
[χ, D x ] ψ (~r) = x ∂x ∂ − ∂x ∂ x
ψ(x, y, z) = − ψ(x, y, z)
⇒ [χ, D x ] = − 1
oderχ, ~ i D x
= i ~
(b) OrthonormierteBasis
VektorharakterisiertdurhKomponentenbzgl.einer
orthonormier-tenBasis
{ u i }
;u i (~r) ǫ F
Orthonormiert:
(u i ; u j ) = δ ij
ψǫ F : ψ(~r) = P
i c i u i (~r)
3. KomponenteneinerFkt.inBzg.auf eineBasis
{ u i (~r) } ψ (~r) = P
i c i u i (~r)
´ d
³r · u ∗ j ψ (~r) = P
i c i
ˆ
d
³ru ∗ j u i
| {z }
δ ij
= c j
c j = ´
d
³r · u ∗ j (~r) ψ (~r) ψ =
P
i c i u i
(u j , ψ) = P
i c i (u i , u j )
| {z }
δ ij
c j = (u j , ψ)
4. SkalarproduktinKomponentenshreibweise
φ(~r) = P
i b i u j (~r) Ψ(~r) = P
i c i u j (~r)
´ d 3 rΨ(~r) ∗ Ψ(~r) = P
i b ∗ i c i
speziell:(Ψ, Ψ) = P
| c i | 2
5. Vollständigkeitsrelation:
∀ Ψ ∈ F
gilt:Ψ(~r) = P
i c j u i (~r) = P
i
´ d 3 r ′ u ∗ i (~r ′ )Ψ(~r ′ )u i (~r) = ´
d 3 rΨ(~r) P
i u i (~r)u ∗ i (~r)
| {z }
F(~ r, ~ r ′ )
=
´ d 3 r ′ Ψ(~r ′ )F (~r, ~r ′ ) ∀ Ψ
Vollständigkeitsrelation
X
i
u i (~r)u ∗ j (~r ′ ) = δ(~r − ~r ′ )
EbeneWelle(eindimensional):
V p (x) ≡ √ 2π 1 ~ e ipx ~
mitp , Index
ZerlegungeinesWellepaketesnahebnenWellen
,
EntwiklungnahBa-sis
{ v p }
Verallgemeinerungauf beliebige kontinuierliheBasis
{ w α (~r) }
Basis Index Komp.
Ψ
Bezeihnungu i (~r)
ic i P
i c i u i (~r)
allgemeinv
ÿ(~r)
pΨ(p) ˜ ´
dp Ψ(p)v ˜ p (~r)
Impulsdarstellungζ r ~ 0 (~r) ~r 0 Ψ(~r 0 ) ´
d~r 0 Ψ(~r 0 )ζ r 0 (~r)
Ortsdarstellungω En (~r)
nc n P
n c n ω En (~r)
Energiedarstellung(gebundene)ω E (~r)
E (E)´
dE c(E)ω E (~r)
Energiedarstellung(Streuzustände)(i)EbeneWellen(eindimensional)
1. ZustandeinesTeilhensharakterisiertduhWellenfunktion
Ψ(~r)
bzw.durhKomponentenbezügliheinerbestimmtenBasis.
Analogie: Vektor
~a im R 3
bzg. einerBasis{ ~e 1 ~e 2 , ~e 3 } ~a = (a 1 , a 2 , a 3 ) =
a
hatdie BedeutundunabhängigvonderBasis;~a · ~b
liefertin jederBasisdasgleiheResultat.
~a · ~b = P
i a i b i = P
i a ′ j b ′ j = P
i,k,l a k O jk b l O jl = P
j,k,l a k b l O jl O T kj
O · O T =Λ = P
k,l a k b l δ kl = P
k a k b k
2. Ket undBra
Beshreibung einesZustandesohneBezugauf dieOrtsvariable.
(a) Ket
Ket =ElementeinesZustandsraumsH(Hilbertraum)symbolisiert
| a >
Speziell: Fürjedes
ψ (~r) ǫ F ⇐⇒ | ψ > ǫH
(b) Bra
ZujedemKet
| ϕ >
gehörteinBra:< ϕ |
, derzusammen miteinembeliebigenket
| ψ >
einekomplexeZahldeniert:< ϕ | ψ >=
komplexeZahl=SkalarproduktAnm.:Analogiewäre Vek-torundkonjugiertkomplexerVektorEsgilt:
< ϕ | ψ > ∗ =< ψ | ϕ >
< ϕ | λ 1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 >= λ 1 < ϕ | ψ 1 > +λ 2 < ϕ | ψ 2 >
mitλ 1 λ 2 ǫ C
< λ 1 ϕ 1 + λ 2 ϕ 2 | ψ >= λ ∗ 1 < ϕ 1 | ψ > +λ ∗ 2 < ϕ 2 | ψ >
Skalarproduktist inBezugaufvorderenFaktorantilinear:Bemerkung: Werden auh (als math. Hilfsmittel)verallgemeinerte
ket zulassen;z.B.
| ξ x 0 >
,| v p 0 >
3. LineareOperatoren
LinearerOperatorordnetjedem
| Ψ > ∈ H
einenket| Ψ ′ > ∈ H
sozu,dassdeZusammenhanglinearist:
| Ψ ′ >= A
|{z}
Operator
| Ψ >
istwieder ketA(λ i | Ψ i > +λ 2 | Ψ 2 >) = λ 1 A | Ψ 1 + λ 2 A | Ψ 2 > λ 1,2 ∈ C
Produktzweier linearerOperatoren, AB,istdeniertdurh:
(AB) | Ψ >=
A(B | Ψ >)
I.A.AB 6 = BA
Kommutator
[A, B] = AB − BA 6 = i.a. 0
einerseitsSalarproduktvon
< Ψ | mit | Ψ ′ = A | Ψ >
:| Ψ ′ >
| {z }
<φ | (A | Ψ>
andererseitsMatrixelementvonAzwishen
| φ > und | Ψ > .
IsteineZahldielinearvon
| Ψ >,
antilinearvon| φ >
abhängt.Gegebensei
| Ψ 1 >
und< φ 1 |
fest.Danndeniert| Ψ 1 >< φ 1 |
einenlinearenOperatoraufeinembeliebigenket
| Ψ >
durh| Ψ >
| {z }
ket
< φ 1 | Ψ >
| {z }
Zahl
Die
Anwen-dungvon
| Ψ 1 >< φ 1 |
führtaufeinenanderenket→
stellteinenOperatordar.
Beikets,bras,OperatorenistdieReihenfolge wihtig!
< a | b >
Skalarprodukt| b >< a |
OperatorAnalogieVektoren
< a | b >
Analogie(a i ...a n ) ∗
Projektionvon
| ϕ >
aufψ
Anwendung desProjektorsaufeinenUnterraum:
Seien
| ψ 1 >, ..., | ψ 2 >
orthonormierteket:< ψ i | ψ j >= δ ij
für1 ≤ i, j ≤ q
Projektionvon
| ϕ >
aufUnterraumH q
4. HermitesheKonjugation
Aangewandtauf
| Ψ >
liefertA| Ψ >
Denitionvon
A + (linear) : | Ψ ′ >= A | Ψ > ↔ < Ψ | =< Ψ | A +
Esfolthierraus:Skalarprodukt
h Ψ ′ | φ i = h φ | Ψ ′ i ∗ → h Ψ | A + | φ i = h φ | A | Ψ i ∗
Beahte:
A | Ψ >= | AΨ >
Shreibweise< AΨ | =< Ψ | A +
Eigenshaften:
A + ) + = A
(λA) + = λ ∗ A + λ ∈ C (AB) + = B + A +
| φ >= AB | Ψ >= A | χ >
< φ | =< Ψ | (AB) + =< χ | A + =< Ψ | B + A +
Anmerkungen:
Λ ,
Einheitsmatrix+transponiertundkomplexkonjugiert
*komplexkonj.
zuAadjungierterOperator
A + :
φ | A + | ψ
= h ψ | A | φ i ∗
Eigenshaften:
(A + ) + = A (λA) + = λ ∗ A + , λ ∈ C ;
(AB) + = B + A +
BetrahenOperator:
| u >< c |
Esist
( | u >< v | ) + = | v >< u |
Beweis:
< ϕ | ( | u >< v | ) + | ψ >= (< ψ | u >< v | ϕ >) ∗
=< ψ | u > ∗ < v | ϕ > ∗ =< ϕ | v >< u | ψ >
Speziell:
( | u >< u | ) + = | u >< u |
DerProjektionsoperatoristhermitesh
HermitesheOperatoren:
A + = A h ϕ | A | ψ i ∗ =
ψ | A + | ϕ
= h ψ | A | ϕ i
A ∗ = A T ↔ A + = A
WahleinerDarstellungentsprihtderWahleinerorthonormierten(diskret;
kon-tinuierlihe)BasisimZustandsraumH
( {| ket > } )
ZuständewerdendargestelltdurhKomponentenbzgl.dieserBasis.
Operatorenwerdendargestelltdurh Matrizenbzgl.dieserBasis.
Orhonormierungsbedingungen:
{| u i > }
diskret(kontinuierliheIndizes: ana-log)< u i | u j >= δ ij
Vollständigkeitsrelation:
{| u i > }
bildeteineBasisinH,wennjeder| ψ > ∈ H
aufgenau eineWeise nah
| u i >
entwikeltwerdenkann.| ψ >= P
i c i | u i >
undc j = h u j | ψ i
| ψ >= P
i h u i | ψ i | u i >= P
i | u i >< u i | ψ >= ( P
i | u i >< u i | ) | ψ >
Sei
Λ
EinheitsoperatorinH:P { u i } = P
i | u i >< u i | = Λ ←
Vollständigkeitsrelation 3.3.1 Darstellung der ket, Bra, undOperatore
→ Ket | ψ >
in der durh die Basiskets{| u i > }
harakterisierten Darstel-lungentsprihtdereinspaltigen Matrix
h u 1 | ψ i
.
.
.
h u n | ψ i
=
c 1
.
.
.
c n
→ Bra < ψ |
inderdurh{| u i > }
har.Darstellung:einzeiligeMatrix( h ψ | u 1 i ... h ψ | u n i ) = (c ∗ 1 ...c ∗ n )
→ Operator A
inderdurh{| u i > }
harakterisiertenDarstellung:A ij =<
u i | A | u j >
h u i | AB | u j i = h u i | A I B | u j i =
u i | AP { k } B | u j
= P
k h u i | A | u k i h u k | B | u j i = P
k A ik B kj →
Matrixmultiplikation
→ M atrixdarstellung | ψ ′ >= A | Ψ >
in der{| u i > }
Darstellung:c ′ i = h u i | ψ ′ i = h u i | A | ψ i =
u i | AP { u j } | ψ
= P
j h u i | A | u j i h u j | ψ i = P
j A ij c j
Darstellungvon
h φ | A | ψ i
inder
{| u i > }
Darstellung:h φ | A | ψ i = P
ij h φ | u i i h u i | A | u j i h u j | ψ i = P
ij b ∗ i A ij c j
DarstellungdeszuAhermitesh konjugiertenOperators
A +
inder
{| u i > }
Darstellung:(A + ) ij = A ∗ ji
[
(A + ) ij = h u i | A + | u j i = h u j | A | u i i ∗ = A ∗ ji
℄ FürhermiteshenOperator
A + = A :
A ij = A ∗ ji
undA ii = A ∗ ii
IngegebenerDarstellungsindbra,ketundOperatorendurh eineMatrix
dar-gestellt.
Darstelungswehsel
→
dieselbenObjekte sinddurh eineandere Matrixdarge-stellt.Frage:WiehängendieseMatrizenzusammen?
ÜbergangvonBasis
{| u i > }
zuBasis{| t k > }
:festgelegtdurhKomponentender neuenBasisvektorenbzgl.deralten Basis:| t k >= P
VerallgemeinerungderDrehungaufkomplexeVektoren.
orthogonaleDrehmatrix:
A T A = Λ
NeueKomponentendes
ket | ψ >:
NeueKomponentendesbra:
h φ | t k i = h φ | Λ | t k i =
NeueKomponenteneinerMatrix:
A ′ KL = h t k | A | t l i =
3.4 Eigenwert-Gleihungen / Observablen
3.4.1 Eigenwerte/Eigenvektoren
Denition:
Ket | ψ >
sei Eigenvektor(oderEigenket) des linearenOperators A, wennmit einerkomplexenZahlλ
diefolgendeBeziehunggilt:A | ψ >=
GesamtheitderEigenwerte:SpektrumvonA.
λ
einfaherEigenwert⇔
zuλ
gehörigeEV isteindeutigfestgelegt (bisaufeinenkonst.Faktor:
| ψ >
seiEVzuA mitEWλ; α ∈ C
A(α | ψ >) = αA | ψ >= αλ | ψ >= λ(α | ψ >); e iθ | ψ >
kann dranmultipli-ziertwerden.)
λ
istg-fah entartet⇔
glinearunabhängige EVzuλ : | φ ′ >; i = 1....g
Diesespanneneineng-dimensionalenEigenraumauf (jede
Liearkombina-tionistwiederEV)denn:
| ψ >= P g
i=1 c i | ψ i >
istEVvonA zuλ; c i ∈ C : A | ψ >= P g
i=1 c i A | ψ i >= P g
i=1 c i λ | ψ i >= λ P g
i=1 c i | ψ ′ >= λψ >
Beispiel:Projektionsoperator
P ψ = | ψ >< ψ | h ψ | ψ i = 1
EW-Gleihung:
P ψ | φ >= λ | φ > → | ψ >< ψ | φ >= λ | φ >
EVvon
P ψ :
| ψ >, λ = 1 | ψ >< ψ | ψ >= λ | ψ >
allezu
| ψ >
orthogonalenkets | φ >
mitλ = 0 | ψ >< ψ | φ >= λ | φ >
Spektrumvon
P psi : 0, 1
Bemerkung:konjungierteEW-Gleihung:
< ψ | A + = λ ∗ < ψ |
3.4.2 Bestimmungder EW undEV eines Operators
BeshränkenunsaufZustandsraummit endl.DimensionenN
WähleneinebestimmteDarstellung
{| u i > } : c i ≡ h u i | ψ i A ij = h u i | A | u j i
h u i | A | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P
j h u i | A | u j i h u j | ψ i = λ h u i | ψ i ⇔ P
j A ij c j = λc i ⇔ P
j A ij c j = P
j λc j δ ij ⇔ X
j
(A ij − λδ ij )c j = 0
HomogenesGleihungssystem:
Hat nur dannLösung
6 = 0
,wennDet(A ij − λ ij ) = 0
CharakteristisheGleihung/Säkulärgleihung
FürNxN-Matrizen:GleihungN-tenGradesfür
λ → N
Wurzeln:reell,kom-plex,einfahodervielfah.
Durh beliebigen Basiswehsel zeigt man, dass die harakteristishe
Glei-hungunabhängigvonderBasisist.DieEWeinesOperatorssinddieLösungen
seinerharakteristishenGleihung.
FürhermitesheOperatorengilt:
Falls EW
λ
n-fah entartet ist⇒
existieren n linearunabh. EV zuλ
.Di-mension des zugehörigen Eigenraums ist n. ( Operator ist diagonalisierbar
)
ImfolgendenseiAhermitesh:
A = A t
(i)DieEigenwerteeinesheriteshenOperatorssindreel.
Dennesgilt:
A | ψ >= λ | ψ >
fürEV| ψ >
h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ ∗ h ψ | ψ i = h ψ | A | ψ i ∗ =
ψ | A T | ψ
|{z} =
A hermitesch
h ψ | A | ψ i = λ h ψ | ψ i λ
istreellFüralle
ϕ
:h ψ | A | ψ i =
ϕ | A T | ψ ∗
|{z} =
A hermitesch
h ϕ | A | ψ i ∗ =
|{z}
h ϕ | ψ i∗ = h ψ | ϕ i
λ ∗ h ψ | ϕ i = λ h ψ | ϕ i h ψ | A | ϕ i = λ h ψ | ϕ i
oderAwirktnahlinks< ψ | A = λ < ψ |
(ii) Zwei Eigenvektoreneines hermiteshenOperatorszu vershiedenen
Eigen-werten stehenorthogonal.
A | ψ >= λ | ψ >
A | ϕ >= µ | ϕ >
< φ | A | ψ >=
( λ h φ | ψ i nach rechts
µ h φ | ψ i nach links → (λ − µ) h φ | ψ i = 0, F ur λ ¨ 6 = µ → h φ | ψ i = 0
Denition: Ein hermitesher Operator A ist eine Observable, wenn dessen
EigenvektorenimZustandsraumeineBasisbilden.D.h.jederZustandkannnah
EigenvektorenderObservablenentwikeltwerden.
Beispiele:
1. Hamilton-Operator:Energie-Eigenzuständesindvollständig.
2. Projektionsoperator
P ψ ≡ | ψ >< ψ |
mit< ψ | ψ >= 1
(a)
P ψ
isthermitesh. EinEW=1,alleanderenEW=0(b)
| ψ >= P ψ | φ >
| {z }
≡| φ i >
+ ( I − P ψ ) | φ >
| {z }
≡ φ 2
| φ 1 >= P ψ | φ >
ist EV vonP ψ
zum EW 1. DennP ψ (P ψ | φ >)
| {z }
| φ 1 >
=
P ψ | φ >= P ψ | φ >
| {z }
| φ 1 >
| φ 2 >= (1 − P ψ ) | φ >
ist EV vonP ψ
zum EW 0. DennP ψ | φ 2 >=
P ψ (1 − P ψ ) | φ >= (P ψ − P ψ 2
|{z}
P ψ
) | φ >= 0 | φ 2 >
⇒
Jederket | ψ >
kannnahdenEVvonP ψ
entwikeltwerden→ P ψ
istObservable.
Satz1: Esgelte
[A, B] = AB − BA = 0
undA | ψ >= λ | ψ > ⇒ B | ψ >
istEVvonAmit demselbenEW.
Denn:
A | ψ >= λ | ψ > BA | ψ >= Bλ | ψ >
|{z}
[A,B]
A (B | ψ >) = λ (B | ψ >)
Satz2: Esgelte
[A, B] = 0
;A | ψ 1 >= λ 1 | ψ 1 > ; A | ψ 2 >= λ 2 | ψ 2 > ⇒ h ψ 2 | B | ψ 1 i = 0
mitλ 1 6 = λ 2
Denn
0 = h ψ 2 | AB − BA | ψ 1 i = λ 2 h ψ 2 | B | ψ 1 i− λ 1 h ψ 2 | B | ψ 1 i = (λ 1 − λ 2 ) h ψ 2 | B | ψ 1 i ; λ 1 6 = λ 2
BehauptungZentralerSatz:
Satz3: Falls[A,B℄=0
⇒
ExistierteineothonormierteBasis mitBasisvektoren, diesimultanEigenvektorenzuAundBsind.(i)
| u i >
seiEVzuAmit niht-entartetemEWa i
.B | u i >
istEVzuAAlsoproportionalzu
| u i >
;Koezient=b i ⇒ B | u i >= b i | u i >
(ii)Sei
a i
m-fahentartet| u i j >, j = 1...m ; A | u i j = a i | u i j >
orthonormiert
u i j | u i k
= δ jk
;j, k = 1...m B | u i j >
istEVzuAB | u i j >= P m
k=1 β jk | u i k > β jk
isthermitesh(Bhermitesh)undsomitdiag-onalisierbardurhunitäreTransformation.
U − 1 βU = β diag =
β 1
.
.
.
β m
WählealsoneueBasis-Vektoren
| u ˆ i l >= P
j U lj − 1 | u i j >
| u ˆ i l >
istEV zuAmitEWa i
IstEVzuBmitEW
β l ,
dennP
j BU lj − 1 | u i j >= P
j,l ′ U lj − 1 β jl ′ | u i l ′ >= X
j,l ′ ,n
U lj − 1 β jk (U
| {z }
(β diag ) ln
U nl − 1 ′ | u i l ′ >
| {z }
| u ˆ i n >
B | u ˆ i l >= P
n (b diag ) lu | u ˆ i n >= β l | u ˆ i l >
VollständigerSatz kommutierender Observabler(v.S.k.O)
1. Alle Operatorenvertaushenuntereinander
2. Angabe der Eigenwerte aller dieser Operatoren reiht aus, um (bis auf
einen Faktor) eindeutig einen gemeinsamen Eigenvektor zu bestimmen.
Bzw:WenneineorthonormierteBasisgemeinsamerEVexistiertunddiese
Basis(bisaufeinenFaktor) eindeutigist.
DieseEigenvektorensindsomiteindeutigdurhdieEW haraktersisiert.
Beispiele:
EindimensionalePotentiale:
χ
oderPA,B
(a i , b i ) e iϕ | ψ > | h ψ | ψ i = I
DreidimensionaleProbleme: X,Y,Zoder
P x , P y , P z
drehinvariantes Poten-tialH, L 2 , L z
(siehespäter)Bemerkungen:
Wenn
O
mit allen Operatoren eines vollständigen Satzes vertausht,ist er keineFunktion dieserOperatoren.1-dimensionales
O
vertaushtmitXO
istFkt. vonX.ket (oderauhbra)werdenoftdurhdieEWeinesvollst. Satzes
harak-terisiert:
| p >
entsprihtderebenenWellemit Impulsp
| E o >
entsprihtdemGrundzustand desH-Operators| n, l, m >
entsprihtEigenzustandmitEnergie∼ n 2
,DrehimpulsL 2 = l · (l + 1) ~ L z = m ~
WihtigeBeispiele:
ObservableImpuls
Basis
v o (~r)
| {z }
| p o ~ >
= (2π ~ ) − 3/2 e i/~ p ~ 0 ~ r { Eigenzust¨ ande, | p ~ 0 > } = Basis
orthonormiert:
D ~ p 0 | p ~ ′ 0 E
= δ
~ p 0 − p ~ ′ 0
vollständig:
´ d 3 p 0 | p ~ 0 ih p ~ o | = I | ψ >= ´
d 3 p 0 | p ~ 0 > h p ~ 0 | ψ i
und
h p ~ 0 | ψ i = ´
d 3 r · v p ∗ ~ 0 (~r)ψ(~r) Impulsdarstellung : h p ~ 0 | ψ i = ˜ ψ(p 0 )
ObservableOrt:
{ Eigenzust¨ ande | ~r 0 > } = Basis
orthonormiert:
< ~r 0 | ~r ′ 0 = δ(~r 0 − ~r ′ 0 )
vollständig:
ˆ
d 3 r 0 | ~r 0 i h ~r
0| = 1
| ψ >=
ˆ
d 3 r 0 | ~r 0 > h ~r 0 | ψ i
Ortsdarstellung:
h ~r 0 | ψ i = ψ(~r 0 )
ImfolgendenlassenwirdieIndizes
” 0 ”
weg. ObservableEnergie:
{ Eigenzust¨ ande | E n > } = Basis
Energiedarstellung:
h E n | ψ i
Funktioneines Operators:
f (A)
IneinerDarstellung,inderAdiagonalist
h i | A | j i = a i δ ij =
Beispiel:e ia P ~
PImpulsoperator,aKonstanteP | p 0 >= p 0 | p 0 >
D p 0 | V (X ) | p ′ 0 E
= ´
dx 1 dx 2 h p o | x 1 i
| {z }
V p ∗
0 (x 1 )
h x 1 | V (X ) | x 2 i
| {z }
V (x 2 )δ(x 1 − x 2 )= h x 1 | V (X) | x 2 i
D x 2 | p ′ 0 E
| {z }
V p ′ 0
(x 2 )
= ´
dx 1 dx 2 V p ∗ 0 (x 1 )V p ′
0 (x 2 )V (x 2 )δ (x 1 − x 2 )
= ´
dx 1 V p ∗ 0 (x 1 )V p ′
0 (x 1 )V (x 1 ) = ´ dx 1 1
2π~ e (i/ ~ )p ′ 0 x 1 e − (i/ ~ )p ′ 0 x 1 V (x 1 )
= √ 1 2π ~
´ dx 1 √ 1
2π ~ e (i/~)(p ′ 0 − p 0 )x 1 V (x 1 )
= ˜ V
p 0 − p ′ o / √
2π ~ v p 0 (x) = √ 1
2π~ e ip o x ~ h p 0 | H | ψ i = ´
dp ′ 0 h p 0 | H | p ′ 0 i h p ′ o | ψ i
= ´
dp ′ 0 2m p ′ 0 2 δ(p 0 − p ′ 0 ) h p ′ 0 | ψ i + ´ dp ′ o
√ 2π~ V ˜ (p 0 − p ′ 0 ) h p ′ 0 | ψ i
| {z }
ψ(p ˜ ′ 0 )
h p 0 | H | ψ i = 2m p 2 0 ψ(p ˜ 0 ) + ´ dp ′ o
√ 2π~ V ˜ (p 0 − p ′ 0 ) ˜ ψ(p ′ 0 )
→ h p 0 | H | ψ i = E h p 0 | ψ i
Integralgleihung4 Die Grundpostulate der QM
KlassishesSystem:vollständigharakterisiertdurhgeneralisierteKoordinaten
unddiezugehörigenkonjungiertenImpulse
(q i (t 0 ), p i (t 0 )), i = 1, 2, 3 [p i = ∂q ∂L i ]
BeliebigeZeit:q i (t 0 ), p i (t 0 )
+Hamiltongleihungen.dq i
dt = ∂H ∂p i dp dt i = − ∂H ∂q i ; H = H (q i , p i , t)
4.1 Die Postulate (1925/26)
1. P1:DerZustandeinesphysikalishenSystemszueinembestimmten
Zeit-punkt
t 0
wirddurheinenket | ψ(t 0 ) > ∈ H
deniert2. P2: Jede messbare physikalishe Gröÿe (Ort, Impuls, Energie,... ) wird
durheinenimZustandsraumH wirkendenhermitishenOperator A
be-shrieben:Observable
3. P3:DiemöglihenMesswertederObservablenAsindihreEigenwerte
Bemerkung:
Aisthermitesh
→
MesswertevonAsindreell Falls das Spektrum von A diskret ist sind die möglihen Resultate
beiderMessungvonAquantisiert
4. P4:
BeiderMessungderphysikalishenGröÿe
A
ineinemnormiertenZu-stand
| ψ >:
Wahrsheinlihkeit,den nihtentarteten EWa n
derzu-gehörigenObservlablenA zundengegebendurh:
P (a n ) = | < u n | ψ > | 2 ; [A | u n >= a n | u n >]
g-fahentartetes,diskretes Spektrum:
P(a n ) = P g
i=1 | < u i n | ψ > | 2 g n
istderEntartungsgradvona n
,{| u i n > }
SystemvonorthonormiertenVektoren,bildenimEigenraumH n
zumEWa n
vonAeineBasis. Niht-entartetes,kontinuierlihesSpektrum
DieWahrsheinlihkeitdafür,dassdieMessungeinenWertzwishen
α
undα + dα
liefert ist:d P(α)
| {z }
W ahrscheinlichkeitsdichte
= | < V α | ψ >
| 2 dα; EV der Observablen A mit EW α = V α
Beispiel:
dω(x) = | h x | ψ i | 2 dx = | ψ(x) | 2 dx
dω(p) = | h p | ψ i | 2 dp = | ψ(p) ˜ | 2 dp
5. P5:ReduktiondesWellenpakets
NahderMessungmitResultat
a n
istderZustanddesSystemsunmittelbar nahderMessunggleihderauf1normiertenProjektionvon| ψ >
aufdenzu
a n
gehörenden Eigenraum:ψ ⇒ √ P n | ψ>
h ψ | P n | ψ i ; P n =
Projektor auf denZustandmit EW
a n
| ψ >
a n
z}|{ ⇒ 1 pP g n
i=1 | h u i n | ψ i | 2
| {z }
<ψ | P n | ψ>
g n
X
i=1
| u i n >< u i n
| {z }
P n
| ψ >
JedeweitereMessungvon
A
unmittelbardanahändertdenZustand nihtmehr undliefertdasgleiheResultat(gleiheEW). Sukzessive Messung von Observablen aus einem vollständigen Satz
führt auf einen Zstand, derEigenzustand vonallen Operatoren ist.
Dieseristdann eindeutigfestgelegt.
6. P6:ZeitliheEntwiklungdesZustandsvektors
| ψ(t) >
bestimmtdurhdieShrödingergleihung:
i ~ ∂
∂t | ψ(t) >= H (t) | ψ(t) >
H(t) -derGesamtenergiezugeordneteObservable,
H= Hamiltonoperator,deraus derklassishen Hamiltonfunktion
gewon-nenwird.
Gröÿenabgeleitetwerden.
Ortsdarstellung:
x i → χ i
p i → P i = ~ i ∂x ∂
Berüksihtige:
[χ i , χ j ] = 0 [P i , P j ] = 0 [P i , χ j ] = ~ i δ ij
Alle anderen Observablen, die klassish Funktionen von x und p sind,
werdendurhdieseSubstitutiongewonnen:Korrespondenzprinzip.
Wdh:Korrespondenzregeln
Ortsdarstellung:
x i → X i
p i → P i = i∂x ~∂ i ; i = 1, 2, 3
und
[x i , x j ] = [P i , P j ] = 0 [P i , X j ] = ~ i δ ij
Beahte:
Symmetrisierungsregel:
~r~ p → 1 2 ( R ~ ~ P + P ~ ~ R)
( R ~ ~ P ) + = P ~ + R ~ + = P ~ ~ R 6 = R ~ ~ P
nihtalleGröÿenhabenklassishesAnalogon(z.B.Spin)
4.2 Interpretationderden Messprozessbetreenden
Pos-tulate
Erwartungswerte
(MittelwertdererhaltenenErgebnisse,wenngroÿeAnzahlvonMessungen
dieserGröÿe anSystemenimZustand
| ψ >
durhgeführtwerden).EinzelneMessunglieferteinenderEW
a n
mit Wahrsheinlihkeit:ω n = | < u n | ψ > | 2
VieleMessungen:
h A i = P
n a n w n = P
n h ψ | u n i a n h u n | ψ i
= P
n h ψ | A | u n i h u n | ψ i = h ψ | A | ψ i
DerErwartungswertAeinerObservablenimZustand
ψ
erhältmandurh:h A i = h ψ | A | ψ i
Falls
| ψ >
nihtnormiertistdann:h A i = h ψ h ψ | A | ψ | ψ i i
InderPraxiswähltmaneinebestimmte Darstellung:
h X i = h ψ | X | ψ i = ´
Standardabweihung (MaÿfürUnshäftederObservablenbeieinerMessung
imnormiertenZustand
| ψ >
)quadratisheAbweihungvomMittelwert:
h ∆A i = p
Diesgiltauhfür:
Q ′ = x − h ψ | x | ψ i ≡ ∆x
Präparation eines Zustandes und Dihteoperator Messung einer
Ob-servablenA
⇒
NahderMessung| ψ > ǫ
EigenraumsdesgemessenenentartetenEigenwertes,abernihteindeutigbestimmt.
(
| ψ ′ n >= 1
MessungmitvollständigemSatzkontinuierliherObservablen
→
nah der Messung Zustand eideutig bestimmt durh den gemeinsamen EigenvektorderObservablen⇒
PräparationdesSystembeibekanntemZustandkeit
p i
in einem Zustand| ψ i >
, wobei die Summer der Wahrsheinlikeiten 1 erbigt:P
i p i = 1
(statistishesGemish).Wir wollenvonsolheinem statistishenGEmishden Erwartungswert
be-stimmen:
SpureinesOperators(Denition:)
Spur A = tr A = P
k < φ k | A | φ k >
AusdrukistunabhängigvonderOrthonormalbasis:
P
InsbesondereSp
ρ = P
i,k p i h ϕ k | ψ i i h ψ i | ϕ k i = P
1. Messungeinesentarteten Messwerts
| u i n >
Keine Kenntnis des System vorder Messung
→
alle Zustände imEigen-raumsindgleih wahrsheinlih.
(Entartung
g n
)ρ = g 1 n P g n
n=1 | u i n >< u i n |
2. Messung von A ohneFeststellung der Messwerte(A diskretes, niht
en-tartetesSpektrum)
→
statistishesGemish derEigenzustände| u i >
mitp i = | h u i | ψ i | 2
,wenndasSystemvorderMessungimZustand| ψ >
war:3. Systemimtherodyn. Gleihgewiht:
ρ = Z − 1 e − H/kT Z = Sp e − H/kT → Sp ρ = 1
IneinerONB vonEigenzuständen
| n >: h n | ρ | m i = δ nm Z − 1 e − E n /kT
= ⇒
ThermodynamikQM Systeme4.3 Zeitabhängigkeit isolierter quantenmehanisher
Sys-teme
Shrödingergleihung:
i ~ ∂
∂t | ψ(t) >= H | ψ(t) >
allgemeineEigenshaften:
| ψ(t 0 ) > | ψ(t) >
eindeutigbestimmt2. Superpasitionsprinzip:Sind
| ψ 1 (t) >, | ψ 2 (t) >
LösungenzurAnfangsbedingung| ψ 1 (t 0 ) >
, | ψ 2 (t 0 ) >
,soistauhλ 1 | ψ 1 (t) > +λ 2 | ψ 2 (t) >
LösungzurAnfangs-bedingung
λ 1 | ψ 1 (t 0 ) > +λ 2 | ψ 2 (t 0 ) >
3.
~ → 0 :
klassisheMEhanik4. ErhaltungderNorm:
d
dt h ψ(t) | ψ(t) i = dt d < ψ(t) |
|
ψ
(t)>+<ψ
(t)|dt d | ψ(t) >
= − i 1 ~ h ψ(t) | H + (t) | ψ(t) i + i 1 ~ h ψ(t) | H(t) | ψ(t) i = 0
Zeitentwiklungsoperator
es gibteinenlinearerOperator
U (t, t 0 )
,sodass| ψ(t) > ≡ U (t, t 0 ) | ψ(t 0 ) >
(*)h ψ(t) | ψ(t) i = h ψ(t 0 ) | U + (t, t 0 )U(t, t 0 ) | ψ(t 0 ) i =
|{z}
Erhaltung der N orm
h ψ(t 0 ) | ψ(t 0 ) i U + (t, t 0 )U (t, t 0 ) = I
U (t, t 0 )
istunitärEigenshaften von
U (t, t 0 ) : U (t, t 0 ) = I U (t, t 0 ) = U (t, t 1 ) U (t 1 , t 0 )
| ψ (t) >= U (t, t 1 ) | ψ (t 1 )
| {z }
U(t 1 ,t 0 ) | ψ(t 0 )>
>= U (t, t 0 ) | ψ (t 0 )
*in Shrödingergleihung
i ~ ∂
∂t U (t, t 0 ) = H (t)U (t, t 0 )
⇒ U (t, t 0 ) = 1 − 1 ~
´ t
t 0 dt ′ H (t ′ ) U (t ′ , t 0 )
1. Kontinuitätsgleihungin derOrtsdarstellung
mit:
H = − 2m ~ 2 ∆ + V (~x, t)
;∂t ∂ ψ ∗ = − H i~ † ψ ∗
;∂t ∂ ψ = H i~ ψ
∂
∂t |h ~x | ψ (t) i| 2 = ∂t ∂ ψ (~x, t) ∗ ψ (~x, t)
= − 2mi ~ (ψ ∗ (~x, t) ∆ψ (~x, t) − ψ (~x, t) ∆ψ ∗ (~x, t))
− ∇ ~ ( 2mi ~ [ψ ∗ (~ x,t) ∇ ~ ψ(~x, t) − ψ(~x, t) ∇ ~ ψ ∗ (~x, t)]
→ ∂t ∂ ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0
Bsp:
~v = m p ~ = ~~ im ∇ ; ψ = Ae i(~ p~ r − Et)/ ~ ρ = | A | 2 ~j = | A | 2 m ~ p
klassish:Stromdihte=Dihte
·
Geshwindigkeit∂
∂t | h ~x | ψ(t) i | 2 = ∂t ∂ | ψ ∗ (~x, t)ψ(~x, t)) =
= i 1 ~ (ψ ∗ (~x, t)Hψ(~x, t) − ψ(~x, t)Hψ ∗ (~x, t)
= i~ 1 (ψ ∗ (~x, t)V (~x, t)ψ(~x, t) − ψ(~x, t)V (~x, t)ψ ∗ (~x, t) − 2mi ~ (ψ ∗ (~x, t)...
(hierVorlesung)
∂
∂t ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0
2. ZeitentwiklungvonErwartungswerten
h A i = h ψ | Aψ i
Erhaltungsgröÿe: FallsAnihtexplizitzeitabhängigistundmitH
kum-mutiertist
h A i
eineKonstantederBewegung.Bsp:Wählespeziell
A = R ~
Ortsoperator,H = 2m p ~ 2 + V ( R) ~
c n (t) = c n (t 0 )e − iEn (t ~ − t 0 )
| ψ(t) >= P
n c n (t 0 )e − iEn (t ~ − t 0 ) | ψ n (t 0 ) >
WihtigeKonsequenz:Fallsnurein
c 6 = 0 h A i (t) = h ψ(t) | A | ψ(t) i = D
ψ n (t 0 )e i Ent ~ | A | e i Ent ~ ψ n (t 0 ) E
= h ψ n (t 0 ) | A | ψ n (t 0 ) i = h A i (t 0 )
Erwartungwerteändernsihniht:StationärerZustand
⇐⇒
sharfeEner-gie
3. Shrödingerbild(Darstellung)undHeisenbergbildderZeitabhängikeit
Shrödingerbild: Zuständezeitabhängig
| ψ(t) > S = P
n e − i En (t−t ~ 0 ) c n (t 0 ) | ψ n (t 0 ) >= U (t, t 0 ) | ψ(t 0 ) > S
mit
U (t, t 0 ) = e i HS (t ~ − t 0 ) = P
n c n (t 0 ) | ψ n (t 0 ) >= | ψ(t 0 ) > S
Obserable
A S (t)
Messung:
h ψ(t) | A S (t) | ψ(t) i S
Heisenbergbild: Zuständezeitunabhängig
| ψ > H = U + (t, t 0 ) | ψ(t) > S
| {z }
U(t,t 0 ) | ψ(t 0 )> S
= | ψ(t 0 ) > S
Messung:
*
ψ(t) | U (t, t 0 )
| {z }
H <ψ |
U + (t, t 0 )A S (t)U (t, t 0 )
| {z }
A H (t)
U + (t, t 0 ) | ψ(t)
| {z }
| ψ> H
+
S
mit
A h (t) ≡ U + (t, t 0 )A S (t)U(t, t 0 )
A H (t)
auh dannzeitabhängig,wennA S
imShrödingerbild zeitunab-hängigist.d
dt A H (t) = dt d (U + (t, t 0 )A S (t)U (t, t 0 ))
= − i~ 1 U + (t, t 0 )H S (t)
UU +
z}|{ · A S (t)U (t, t 0 )+U + (t, t 0 ) ∂t ∂ A S (t) · U (t, t 0 )+ i~ 1 U + (t, t 0 )A S (t)H S (t)U (t, t 0 )
= − i~ 1 H H (t)A H (t) + i~ 1 A H (t) |{z} ·
UU +
H H (t) + U + (t, t 0 ) ∂
∂t A S (t)U (t, t 0 )
| {z }
( ∂t ∂ A S (t) ) H i ~ d
dt A H (t) = [A H (t), H H (t)] + i ~ ∂
∂t A S (t)
H
5.1 Harmonisher Oszillator in der klassishen Mehanik
Teilhen derMassemimPotential
V (x) = 1 2 kx 2
Bewegungsgleihung:
m d dt 2 2 x = − dV dx = − kx
Lösung:
x(t) = x M cos(ωt − ϕ) ω = q
k
m ; x M , ϕ : Anf angsbedingungen
Gesamtenergie:
E = T + V
kinetisheEnergie:
T = 1 2 m x ˙ 2 = 1 2 mω 2 x 2 M sin 2 (ωt − ϕ)
wirhatten:
i ~ ∂
∂t U (t, t 0 ) = H (t)U(t, t 0 )
− i ~ ∂
∂t U + (t, t 0 ) = U + (t, t 0 )H (t)
V (x) = 1 2 mω 2 x 2 H cos 2 (ωt − φ) ⇒ E = 1 2 mω 2 x 2 M = const.
Bemerkung: Die potentielle Energie U(x) vieler physikalisher Systeme hat
bei
x = x 0
einMinimumEntwiklungum
x = x 0
(fürkleineShwingungenumx 0 ) U (x) = U (x 0 )
| {z }
=0
+ U ′ (x 0 )
| {z }
=0,da Min.
· (x − x 0 ) + 1 2 U ”(x 0 )
| {z }
≧0 ≡ mω 2 =k
(x − x 0 ) 2 + ...
5.2 Harmonisher Oszillator in der QM
KlassisheGröÿendurhOperatorenersetzt:
H = 2m p 2 + m 2 ω 2 X 2
Eigenwertgleihung
H | ψ >= E | ψ >
imOrtsraum:
X , P → i dx ~d
Ortsdarstellung(DGL)h − 2m ~ 2 dx d 2 2 + 1 2 mω 2 x 2 i
ϕ(x) = Eϕ(x) ( ∗∗ )
5.2.1 Analytishe Lösung der DGL
Setze
x ˆ = x p mω
~ , ǫ = ~ E ω , ( ∗∗ ) ~ 2 ω h
d 2
dˆ x 2 − ˆ x 2 + 2ǫ i
ϕ(ˆ x) = 0 ( △ )
Verhalten
ϕ(ˆ x)
fürgroÿex(ˆ ˆ x 2 ≫ ǫ)
d 2 dˆ x 2 − x ˆ 2
ϕ(ˆ x) = 0
Ansatz:
G ± (ˆ x) = e ± x ˆ 2 2
unabhängigvonǫ G ± (ˆ x)
LösungfürfolgendeDGL:h
d 2
dˆ x 2 − x ˆ 2 ∓ 1 i
G ± (ˆ x) = 0 G” ± (ˆ x) = ± e ± x ˆ 2 2 + ˆ x 2 e ± x ˆ 2 2
asymptotishesVerhalten
x ˆ → ∞ : ˆ x 2 ± 1 ∼ x ˆ 2 − 2ǫ h d 2
dˆ x 2 − x ˆ 2 + 2ǫ i
G ± (ˆ x) = 0
Verhaltenwie( △ )
Normierbarkeit:nur exponentiellabfallendeLösungen
⇒
AnsatzfürDGL:ϕ(ˆ x) = h(ˆ x)e − ˆ x 2 /2
Einsetzen in(
△ ) : h
d 2
dˆ x 2 − 2ˆ x dˆ d x + 2ǫ − 1 i
h(ˆ x) = 0 ( △△ )
LösungmitPotenzreihenansatzfür
h(ˆ x)
:h(ˆ x) = P ∞
m=0 a m x 2m+p
unda 0 6 = 0, a i = 0
fürnegativeiDiesenAnsatzin
( △△ )
einsetzen:(2m + p + 2)(2m + p + 1)a 2m+2 = (4m + 2p − 2ǫ + 1)a 2m
normierteLösungnur,fallsdiePotenzreiheabbriht:
nahunten:
a − 2 = 0 ⇒ p( − 1 + p)a 0 = 0 und a 0 6 = 0 p = 0, 1
nahoben:
4m + 2p
| {z }
2n
− 2ǫ + 1 = 0
Bedingung:2ǫ − 1 = 2n ; n = 0, 1, ..
ǫ n = n + 1 ǫ = ~ E ω ; n = 0
geradeLösung2
mitdieserQuantisierungsbedingungfolgt:
[ dx d 2 2 − 2ˆ x dˆ d x + 2n]h n (ˆ x) = 0
Lösung:HermitePolynome
H n (ˆ x) : h n (ˆ x) = N n H n (ˆ x) N n = ( √
πn!2 n ) − 1 2 ( mω
~ ) 1 4 H n (ˆ x) = ( − 1) n e x ˆ 2 d n
dˆ x n e − x ˆ 2
StationäreZuständedesharmonishenOszillators:
ϕ n (ˆ x) = N n H n (ˆ x)e − ˆ x
2 2
zugehörigediskreteEigenwerte:
E n = ~ ω(n + 1 2 )
△ E = ~ ω = const.
E 0 = 1 2 ~ ω = 0
Nullpunktsenergie;QMkleinsteEnergie6 = 0
5.2.2 Algebraishe Methode
ZulösenEigenwertgleihung:
p 2 2m + 1
2 mω 2 x 2
| {z }
Hamiltonoperator
ϕ (x) = Eϕ (x)
denieredimensionsloseGröÿen:
ˆ
x = p mω
~ x p ˆ = √ 1
m ~ ω p
mit[ˆ x, p] = ˆ i H ˆ = ~ω 1 H = 1 2
ˆ x 2 + ˆ p 2
; ǫ = E/ ~ ω
und
a = √ 1 2 (ˆ x + i p) ˆ a † = √ 1 2 (ˆ x − iˆ p) ˆ
x = √ 1 2 a + a †
ˆ
p = √ i 2 a † − a
⇒
dimensionsloseEigenwertgleihungH ˆ | ϕ ν >= ǫ ν | ϕ ν >
(1)Es gilt:
1.
[a, a † ] = 1 2 [ˆ x + iˆ p, x ˆ − iˆ p] = 2 i [ˆ p, x] ˆ − 2 i [ˆ x, p] = 1 ˆ
2.
N = a † a = 1 2 x ˆ + ˆ p 2 + i xˆ ˆ p − i pˆ ˆ x
= 1 2 x ˆ 2 + ˆ p 2 − 1
wobei Nder
Beset-zungsoperatorist
3.
H ˆ = a † a + 1 2 = N + 1 2
= ⇒
EigenzuständevonH ˆ
sindauhEigenzustände vonNundumgekehrt Lösenvon5.2.2istäquivalentzurLösungderEigenwertgleihungN | ϕ ν >= ν | ϕ ν >
denndiesentspriht
H = ˆ H ~ ω = ~ ω N + 1 2
H | ϕ ν >= ~ ω ν + 1 2
| ϕ ν >
| ϕ ν >
sindEigenvektorenvonH undN.Fallsν
bekanntist:ǫ ν = E 0
~ ω = ν + 1 2
Problem: Bestimmungvon
ν
und| ϕ ν >
Eigenshaften von
N, a, a †
:1.
[N, a] = a † a, a
= a † [a, a] + a † , a
a = − a
2.
N, a †
= a † a, a †
= a † a, a †
| {z }
=1
+ a † , a †
| {z }
=0
a = a †
3. FürdieEWvon
ν
vonNgilt:ν > 0
.Denn0 6 || (a | ϕ ν )
| {z }
| aϕ ν >
|| 2 =
* aϕ ν |
| {z }
<ϕ ν | a +
aϕ ν
+
= h ϕ ν | a + a | ϕ nu i = h ϕ ν | N | ϕ ν i = ν h ϕ ν | ϕ ν i
| {z }
>0
ν > 0
D.h.derniedrigsteEIgenwertvonN ist
> 0
.Fallsν = 0 ⇒ a | ϕ 0 >= 0
4. Sei
| ϕ ν >
Eigenzustand zuN mitEigenwertν ⇒ a | ϕ ν >
istauhEigenvektroNmitEWν − 1 a + | ϕ ν >
istauhEVzuN mitEWν + 1
denn
N a + | ϕ ν >= (a + N + a + ) | ϕ ν >= (ν + 1)
| {z }
EW
a + | ϕ ν >
Verlangen,dass
| ϕ ν >
auf1normiertsei:h a + ϕ ν | a + ϕ ν i = h ϕ ν | aa + | ϕ ν i = h ϕ ν | a + a + 1 | ϕ ν i
= (ν + 1) h ϕ ν | ϕ ν i
| {z }
=1
= ν + 1 a + | ϕ ν >= √
ν + 1 | ϕ ν+1 >
N a + | ϕ ν >= √
ν + 1N | ϕ ν+1 >= √
ν + 1(ν + 1) | ϕ ν+1 >
= (ν + 1)a + | ϕ ν >
analog:
a | ϕ ν >= √
ν | ϕ ν − 1 >
= (ν + 1) a † | ϕ ν >
analoga | ϕ ν >= √
ν | ϕ ν − 1 >
D.h. fallseineEigenfunktion
| ϕ ν >
bekanntist,erhältmandurhsukzessives Anwendenvona
unda †
alle anderen!Bestimmungvon
| ϕ 0 >
Esgilt:a | ϕ 0 >= 0
undsomitinder Ortsdarstel-lung:0 = h x | a | ϕ 0 i = √ 1 2 x ˆ + dˆ d x h x | ϕ 0 i
| {z }
ϕ 0 (x)
NormierteLösung:
h x | ϕ 0 i = N 0 e − x ˆ 2 /2
mitN 0 = mω nπ 1/4
Imfolgenden
ν → n
mit n=0,1,2,...Wegen
a † | ϕ n >= √
n + 1 | ϕ n+1 >
bzw.| ϕ n+1 >= √ n+1 1 a † | ϕ n >
sindmit
| ϕ 0 >
auhalleanderenLösungenbekannt.| ϕ n >= 1
√ n a † | ϕ n − 1 >= ... ... = 1
√ n! a † n
| ϕ 0 >
mitEW:
(n + 1/2) ~ ω
n=0,1,..AlsoangeregteZustände:
h x, ϕ ˆ n i =
|{z}
h x | a † | ϕ 0 i = √ 1 2 ( x ˆ − dˆ d x ) h x | ϕ 0 i
√ 1 n!
D x ˆ | a † n
| ϕ 0
E = 1
√ n!2 n (ˆ x − d
dˆ x ) n h ˆ x | ϕ 0 i
LösungdurhRekursion
h x ˆ | ϕ n − 1 i = 1
p (n − 1)!2 n − 1 H n − 1 (ˆ x)N 0 e − x ˆ
2 2
Rekursionerfülltfürn=1:
h x ˆ | ϕ 0 i = H 0 (ˆ x)N 0 e − x ˆ 2 2
Damitalso
h x ˆ | ϕ n i = √ 1 n2 (ˆ x − dˆ d x ) h x | ϕ n − 1 i
| {z }
√ 1
(n − 1)!2 n − 1 H n − 1 (ˆ x)N 0 e − ˆ x
2 2
Verwende:
H n ′ − 1 (ˆ x) = 2(n − 1)H n − 2 (ˆ x)
H n (ˆ x) = 2ˆ xH n − 1 − 2(n − 1)H n − 2 = 2ˆ xH n − 1 − H n ′ − 1
(*)h x ˆ | ϕ n i = √ 1
5.3 Quantenmehanik für Spin 1/2
Postulat:
wobeiS x,y,z
OperatorenZweiZustände: Basisso,dass
S z
diagonalistS z | + >= + ~
Zeigen:Zu jedemZustand
| ψ >
existierteineRihtung~ µ,
sodass| ψ >
kolli-nearzu
| + > u
Kunstruieren
~u
fürgegebenesα, β
.Ansatz:
= ~ 2
cosθ sinθe − iφ sinθe − iφ − cosθ
S~u ~ | 1 > u = ~ 2 | 1 > u
S~u ~ | 2 > u = − ~ 2 | 2 > u
LösenderEigenwertgleihung
(det( S~u ~ − λ I ) = 0)
Eigenwerte
± ~ 2
unddie zugehörigenEigenvektoren| 1 > u = cos θ 2 e − i φ 2 | + > +sin θ 2 e i φ 2 |− > EW : + ~ 2
| 2 > u = − sin θ 2 e − i φ 2 | + > +cos θ 2 e i φ 2 |− > EW : − ~ 2
Wähle:
| α | = cos θ 2
| β | = sin θ 2
0 < θ < π θ = 2arcos | α | φ = ϕ β − ϕ α
χ = ϕ β + ϕ α ϕ α = 1 2 (χ − φ) ; ϕ β = 1 2 (χ + φ)
Wobei:
α = | α | e iϕ α β = | β | e iϕ β
Lösung:
| ψ >= e iχ/2 | 1 > u
denn
e iχ/2 | 1 > u = e i(ϕ β +ϕ α )
| α | e − i(ϕ β − ϕ α )/2 | + > + | β | e i(ϕ β − ϕ α )/2 |− >
=
| α | e iϕ α | + > + | β | e iϕ β |− >
Es gibt zu jedemZustand
| ψ >= α | + > +β |− >
eineRihtung~u
, so dass| ψ >
EigenzustandzuS~u ~
ist.5.4 Teilhen mit Spin 1/2 im konstanten Magnetfeld
Sei
B ~ =
0 0 B 0
potentielleEnergiedesmagnetishen MomentsU = − M ~ ~ B = − γB o S z ⇒ H = ω 0 S z
mitω 0 ≡ − γB 0
(Frequenz)ZeitliheEntwiklung: LöseEW-Gleihung
H | ψ >= E | ψ >
H=2x2Matrixin Diagonalform
H = ~ω 2 0
1 0 0 − 1
Also:
H | + >= ~ω 2 0 | + >, H |− >= − ~ω 2 0 |− >
ZeitliheEntwiklung: t=0ZustandseiEigenzustandvon
S z
| ψ(t = 0) >= | + > ⇒| ψ(t) >= e − iω 0 t/2 | + >
oder
|− > ⇒| ψ(t) >= e iω 0 t/2 |− >
| ψ(t) >= P
n c n (t 0 )e − iE n (t − t 0 )/ ~ | ψ n (t 0 ) >
hier:
t 0 = 0
| ψ n (t 0 ) >= | + > E = ~ ω 2 0
| ψ n (t 0 ) >= |− > E = − ~ ω 2 0
Ein Eigenzustand von
S z
bleibt Eigenzustand zuS z
auh bei Anwesenheit einesMagnetfeldesinz-Rihtung.| ψ(t = 0) >
seiEigenzustand zuS~u ~
mit EW=± ~ 2
.Feldzeigtinz-Rihtung.AlsozurZeitt=0:
| ψ(t = 0) >= cos θ 2 e − i φ 2 | + > +sin θ 2 e +i φ 2 |− >
| ψ(t) >= cos θ 2 e − i φ+ω 2 0 t | + > +sin θ 2 e +i φ+ω 2 0 t |− >
⇒
ZeitliheÄnderung derrelativenPhasezwishen| + >
und|− >
.Zu jederZeittkönnenwireineRihtung
~u(t)
nden,bezüglihwelher| ψ(t) >= α(t) | + > +β |− >
Eigenzustandist:~u =
sinθ(t)cosϕ(t) sinθ(t)sinϕ(t)
cosθ(t)
α(t) = cos θ 2 e − i ϕ+ω 2 0 t β(t) = sin θ 2 e i ϕ +ω 2 0 t
Esgiltoensihtlih:
θ(t) = θ(t 0 ) = θ ϕ(t) = ϕ(t = 0) + ω 0 t
D.h. der Winkel zwishen
B ~
und~u(θ)
bleibt erhalten~u
präzediert um diez-Ahse:Lamor-Präzession(
ω 0 = − γB 0 )
Ferner istdieObservable
S z
eineKonstantederBewegung:H = ω 0 S z ⇒ S z
vertaushtmit H.d
dt < S z > (t) = i~ 1 < [S z , H ] > (t)
| {z }
=0
+ < ∂
∂t S z > (t)
| {z }
0
= 0
DerErwartungswertderz-Komponenteistzeitlihkonstant. Test:
< S Z >= ~ 2 < ψ(t) | σ z | ψ(t) >
| {z }
∗
= ~ 2 < + | cos θ 2 e i(Φ+ω 0 t)/2 + < −| sin 2 θ e − i(Φ+ω 0 t)/2
·
cos θ
2 e − i(Φ+ω 0 t)/2 | + > − sin θ
2 e i(Φ+ω 0 t)/2 |− >
| {z }
= ∗
= ~ 2 cos 2 θ 2 − sin 2 θ 2
= ~ 2 cosθ
zeitlihkonstantHingegensind
S x
,S y
keineKonstantenderBewegungh ψ (t) | S x | ψ (t) i = ... = ~ 2 sinθcos (Φ + ω 0 t) S x = ~ 2 0 1
1 0
h ψ (t) | S y | ψ (t) i = ... = ~ 2 sinθsin (Φ + ω 0 t) S y = ~ 2
0 − i
i 0
DieErwartungswertevon
S x , S y , S z
verhaltensihwiedieKomponenteneines klassishenDrehimpulses mit dem Betrag~
2
, der zu einerLamordrehung an-geregtwird.WiegroÿisdieWahrsheinlihkeitP(t) zumZeitpunkt tden EW
± ~ 2
in~u
-Rihtungzunden?
P ++ (t) = |h ψ(t = 0) | ψ(t) i| 2
=
WiegroÿistdieWahrsheinlihkeit
− ~ 2
in~u −
Rihtungzunden.P − + (t) = ... =
BetrahtenSystemin einem2-dimensionalenZustandsraum.
Dieallgemeinehermiteshe2x2Matrix:
H =
~σ
Paulimatrizen⇒
BehandlunginengerAnalogiezum Spin-1 2
-SystemAnm.:
B~σ ~ =
Betrahtezunähst
H 0
diagonalmitH 0 =
E 1 0 0 E 2
wählealsBasis
{| 1 >; | 2 > }
Anm.:
< i | j >= δ ij i, j = 1, 2 | 1 >< 1 | + | 2 >< 2 | = 1
AddierenunWehselwirkungzwishendenZuständen
H = H 0 + W
mitderhermiteshenMatrix(Annahme:Wzeitunabhängig)(hermitesh)(
W † = W
)E 1 , E 2
sind die möglihen Energien des Systems und die Zustände| 1 >, | 2 >
stationärMitKopplung:
1. MögliheEnergiensindnihtmehr
E 1 , E 2
sondernE + , E −
sinddieEigenwertevonH
2.
| 1 >, | 2 >
nihtmehrstationär.Imallgemeinenkeine Eigenzu-ständezuH. DieKopplung/Störunginduziert#Eigenzustände und EW von H
InderBasis
| 1 >, | 2 >
istderHamilton-OperatorH gegebendurh:(H) =
E 1 + W 11 W 12
W 21 E 2 + W 22
DiagonalisierungderEigenwerte
E ± = 1 2 (E 1 + W 11 + E 2 + W 22 ) ± 1 2 q
(E 1 + W 11 − E 2 − W 22 ) 2 + 4 | W 12 | 2 W ij = 0 E ± = E 1/2
Eigenvektoren:
| ψ + >= cos θ 2 e − i ϕ 2 | 1 > +sin θ 2 e i ϕ 2 | 2 >
| ψ − >= − sin θ 2 e − i ϕ 2 | 1 > +cos θ 2 e i ϕ 2 | 2 >
θ, ϕ : tan θ = E 1 +W 2 11 | W − 12 E | 2 − W 22
wobei0 ≤ θ ≤ π W 12 = | W 12 | e − iϕ
Vereinfahungen:
1.
W 11 , W 22
tauhennurin derKombination(E 1 + W 11
),(E 2 + W 22
)auf⇒
könneninE 1
,E 2
absorbiertwerden.2. Energie-NullpunktdesSystemsbeliebig wähle:
(bild)
⇒ E 1 = − E 2 , E 1 + E 2 = 0
,E 1 − E 2 = 2∆
neuerHamilton-Operator:
∆ W 12
W 21 − ∆
= ∆σ z +Re (W 12 ) σ x − Im (W 12 ) σ y =
Re (W 12 )
− Im (W 12 )
∆
~σ σ z =
1 0 0 − 1
,
σ x = 1 0
0 1
,
σ y =
0 − i
i 0
undalso:
E ± = ± q
∆ 2 + | W 12 | 2 tan θ = | W ∆ 12 |
Interpretation:
| W 12 | ≪ ∆ : E ± = ±
∆ + | W 2∆ 12 | 2
kleineVershiebungderEnergie
Θ = | W ∆ 12 | ≪ 1
| ψ + >= ∗ | 1 > +
kleineBeimishungvon| 2 >
(* bisaufglobalePhase)| ψ − >= ∗ | 2 > +
kleineBeimishungvon| 1 >
1.
W 12 ≫ △
(starkeKopplung)E ± = ±
| W 12 | + 2 | △ W 2 12 |
giltinsbesonderefür
△ = 0
△ = 0 ,
EntartungderungestörtenNiveaustanθ ≫ 1 ⇒ θ ≅ π
2
| ψ + > ≅
e −i ϕ 2 | 1>+(e −i ϕ 2 | 1>
2
| ψ − > ≅
− e − i ϕ 2 | 1>+(e − i ϕ 2 | 1>
2
(bild)
Ist der Grundzustand eines physikalishen Systems doppelt entartet (und
hinreihend weit von den anderen Niveaus entfernt), senkt jede rein
niht-diagonale Kopplung zwishen den beiden zugehärigen Zuständen dei Energie
diesesGrundzustandsab
→
erwirdalsostabiler.6 Drehimpuls
InderklassishenMehanikistderDrehipulseineErhaltungsgröÿe
(auhimZentralpotential:
F ~ || ~r → d~ dt L = M ~ = ~r × F ~ = ~ 0
)Notation:
L ~
jegliherDrehimpuls derklassishesÄquivalenthatS ~
SpinJ ~
beliebigerDrehimpuls6.1 Vertaushungsrelationen für den Bahndrehimpuls
klassish
~ L = ~x × p ~ ⇔ L i = ǫ ijk x j p k
d.h.
L 1 = x 2 p 3 − x 3 p 2 , L 2 = x 3 p 1 − x 1 p 3
,L 3 = x 1 p 2 − x 2 p 1
QM:
X, ~ ~ P
Operatoren,dieVertaushungsrelationengehorhen. Aberz kommu-tiertmitP y
,YmitP z
et.⇒
WirkönnenshreibenL ~ = X ~ × P ~ ~ L
isthermiteshAnwendungderVertaushungsrelation:
[X i , P j ] = i ~ δ ij i, j = 1, 2, 3
liefert:[L x , L y ] = [Y P z − ZP y, ZP x − XP z ] = [Y P z , ZP x ] + [ZP y , XP z ]
= Y [P z , Z]
| {z }
− i ~
P x + X [Z, P z ] P y = − i ~ Y P x + i ~ XP y = i ~ L z
AnalogeRehnungliefert:
[L x , L y ] = i ~ L z
[L y , L z ] = i ~ L x
[L x , L z ] = i ~ L y
[L i , L j ] = i ~ ǫ ijk L k
(*)Die folgende Überlegungengelten für jeden Satz von Operatoren mit
Ver-taushungsrelation(*).Imfolgenden:
J i , i = 1, 2, 3
Wirdenieren:
J ~ 2 = J 1 2 + J 2 2 + J 3 2
isthermitish, daJ 1 , J 2 , J 3
hermitish[ J ~ 2 , J i ] = 0, i = 1, 2, 3
daz.B.
[J 1 2 , J 2 ] = 0
[J 2 2 , J 1 ] = J 2 [J 2 , J 1 ]+[J 2 , J 1 ]J 2 = J 2 ( − i ~ J 3 )+( − i ~ J 3 )J 2 = − i ~ (J 2 J 3 +J 3 J 2 ) [ J ~ 2 , J 1 ] = [J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 , J 1 ] = 0
6.2 Eigenwerte und Eigenzustände
WirsuhenvollständigenSatz kommutierenderObswervablen: dürfenhiernur
~ L 2
undeinesvonL i
nehmen.Wirwählen
J ~ 2
undJ 3 = J 2
Denition
J ± : J + = J x + iJ y
(nihthermitesh)
J − = J x − iJ y
Werden
J ± , J z , ~ J 2
benützen.Vertaushungsrelation:
[J z , J + ] = [J z , J x ] + i[J z , J y ] = i ~ J y + i( − ~ J x ) = ~ J +
[J z , J − ] = − ~ J − [J + , J + ] = 2 ~ J z
[J 2 , J + ] = 0
v.S.k.O(vollständigerSatzkommutierenderObservablen):
H, ~ L 2 , L z
Denition:
J + = J x + iJ y
J − = J x − iJ y
[J 2 , J ± ] = 0
Ferner:
J + J − = J x 2 + J y 2 − i [J x , J y ]
| {z }
i~J z
= J x 2 + J y 2 + ~ J z = J 2 − J z 2 + ~ J z
J − J + = ... = J x 2 + J y 2 − ~ J z = J 2 − J z 2 − ~ J z
J ~ 2 = 1 2 (J + J − + J − J + ) + J z 2
J ~ 2
istdieQuadratsummehermitisherOperatoren.Esfolgt,dassfürjedenZustand
| ψ >:
ψ J 2
ψ
≥
0ψ
J 2 ψ
= P 3 i=1
ψ J i 2
ψ
= k J 1 | ψ > k 2 + k J 2 | ψ k 2 + k J 3 | ψ > k 2 ≥ 0
⇒
DamitsindalsoalleEigenwerteλ
vonJ 2 ≥ 0.
Kannmanshreibenals
λ = ~ 2 j(j + 1)
wobeij ≥ 0
Eigenwerte
J z : m ~
Eigenwertgleihungfür
J ~ 2 , J z
IndexkuntersheidetzwishendenvershiedenenEV, diezudenselben
EW
j(j + 1) ~ 2
undm ~
vonJ 2
undJ z
gehören.⇒
ZulösendeEW-Gleihungen:J ~ 2 | k, j, m >= ~ 2 j(j + 1) | k, j, m >
J z | k, j, m >= ~ m | k, j, m >
Eigenwertevon
J 2 , J z
:Zunähstsind3Lemmaszubeweisen:1. Lemma1:
Wenn
~ 2 j(j + 1)
undm ~
dieEWvonJ 2
undJ z
sind,diezumselbenEV| k, j, m >
gehören,danngilt:− j ≤ m ≤ j
Beweis:
k J ± | k, l, m > k 2 ≥ 0
⇒ h k, j, m | J − J + | k, j, m i = k, j, m
J 2 − J z 2 − ~ J z k, j, m
= ~ j(j + 1) − m 2 ~ 2 − m ~ 2 h k, j, m | J + J − | k, j, m i =
k, j, m
J 2 − J z 2 + ~ J z k, j, m
= ~ j(j + 1) − m 2 ~ 2 + m ~ 2
(*)⇒ j(j + 1) − m(m + 1) = (j − m)(j + m + 1) ≥ 0
⇒ j(j + 1) − m(m − 1) = (j − m + 1)(j + m) ≥ 0
d.h
− j ≤ m ≤ j
( − (j + 1) ≤ m ≤ j
− j ≤ m ≤ j + 1
2. Lemma2:
Sei
| k, l, m >
EV vonJ 2 , J z
mit EW~ 2 j(j + 1), m ~
(a) Falls
m = − j : J − | k, l, m >= 0
(b) Falls
m > − j : J − | k, l, m >
niht-vershwindender EV vonJ 2
undJ z
mitEW~ 2 j(j + 1)
und(m − 1) ~
Beweis:
(a) Gemäÿ(*)QuadratderNormvon
J − | k, l, m >:
~ 2 j(j + 1) − ~ 2 m(m − 1) = 0
fürm = − j m = − j ⇒
AlleVektorenJ − | k, j, − j >= 0. ( △ )
umgekehretzeigtman:
J − | k, j, m >= 0 ⇒ m = − j J +
angwendenauf(△ )
J + J − | k, l, m > ⇒ ( ∗ ) ~ j(j + 1) − m 2 ~ 2 + m ~ 2
|k,j,m>=0
⇒ (j > 0) m = − j
(b) Sei
m > − j : ( ∗ ) ⇒ J − | k, j, m > 6 = 0
, daQuadratderNorm6 = 0
zuzeigen:EVvon
J 2 , J z
[J 2 , J − ] = 0 [J 2 , J − ] | k, j, m >= 0
J 2 J − | k, j, m >= J − J 2 | k, j, m >= ~ 2 j(j + 1)J . | k, j, m >
⇒ J − | k, j, m >
istEVvonJ 2
mitEW~ 2 j(j + 1)
[J z , J − ] = − ~ J − = [J z , J − ] | k, j, m >= − ~ J − | k, j, m >
⇒ J z J − | k, j, m >= J − J z | k, j, m > − ~ J − | k, j, m >
= m ~ J − | k, j, m > − ~ J − | k, j, m >= (m − 1) ~ J − | k, j, m >
⇒ J − | k, j, m >
istEVvonJ z
mit(m − 1) ~
.3. Lemma3:Sei
| k, j, m >
EVvonJ 2 , J z
mitEW~ 2 j(j + 1)
undm ~
. (a) Fallsm=j:J + | k, j, m >= 0
(b) Fallsm<j:
J + | k, j, m >
nihtvershwindenderEVzuJ 2
undJ z
mitEW
~ 2 j(j + 1)
und(m + 1) ~
J ±
sindAuf-undAbsteigeoperatorenbzgl.m.Bestimmung desSpektrumsvon
J 2
undJ z
:Sei
| k, j, m >
niht vershwindender EV vonJ 2
undJ z
mit EW~ 2 j(j + 1)
undm ~ :
LautLemma1gilt:
Esgibtein
p ≥ 0
,sodass− j ≤ m − p ≤ − j + 1
.Wir betrahtenSetvonEV
| k, j, m >, J − | k, j, m >, , J − P | k, j, m >
LautLemma2gilt:
JederdieserEV
(J − ) n | k, j, m > (n = 0, 1, ..., p)
istniht-vershwindenderEVvon
J 2
undJ z
mitEWj(j + 1) ~ 2
. (BeweisdurhIteration)Wirkenun
J −
auf(J − ) P | k, j, m >
Annahme:EW von
J z : ~ (m − p)
seigröÿerals− j ~ .
D.h.
m − p > − j
Dann ist
J − (J − ) P | k, j, m > 6 = 0
mitEW~ 2 j(j + 1), (m − p − 1) ~ :
WiderspruhzuLemma 1,denn esgilt:
m − p − 1 < − j
⇒ m − p = − j.
Dann gehört
(J − ) P | k, j, m >
zumEW− j ~
vonJ z
und
J − (J − ) P | k, j, m >= 0.
(Lemma2)⇒
DieobigeSeriederVektorenistalsobeshränkt.Eswurdegezeigt:Esgibtein
p ≥ 0
mitm − p = − j
,pistganzzahlig.Analogndetman,dasseseinganzzahliges
q ≥ 0
gibt,mitm+q = j
Insgesamtndetman,dass
p+q = 2j
,d.hjistganz-oderhalbzahligundpositiv.
Für gegebenes j sind die einzig möglihen Werte für m die
(2j + 1)
Werte:− j, − j + 1, ..., +j
.mistdaherhalb-oderganzzahlig.Konstruktion einerBasis
I.a.sind
J 2 , J z
nihtv.S.k.O(Index
k)Wir betrahtenDrehimpuls
J ~
,derimZustandsraumǫ
wirkt.EW-Paar:
j(j + 1) ~ 2 , m ~ :
Set der EV zu diesem EW-Paarbil-det einen Vektorunterraumvon
ǫ
, genanntǫ(j, m), dim(ǫ(j, m)) ≡ g(j, m)
i.a
> 1
,daJ 2 , J z
nihtv.S.k.O.Wählein
ǫ(j, m)
einebeliebige ONB{| k, j, m >, k = 1, .., g(j, m) }
Falls
m 6 = j ⇒
es muss einen anderenUnteraumǫ(j, m + q)
inǫ
existieren,
bestehendausEVzu
J, J ~ z
mitEWj(j + 1) ~ 2 , (m + 1) ~
Falls
m 6 = − j ⇒ ∃ ǫ(j, m − 1),
EVzuJ 2 , J z
mitEW(j + 1)j ~ 2 , (m − 1) ~ .
Falls
m 6 = ± j :
konstruierenONBǫ(j, m + 1), ǫ(j, m − 1)
ausgenendvonderin
ǫ(j, m)
gewählten.Zeigenzunähst:
k 1 6 = k 2 ⇒ J ± | k, j, m > ⊥ J ± | k 2 , j, m >
dennh k 2 , j, m | J − J + | k 1 , j, m i =
k 2 , j, m | J 2 − J z 2 − ~ J z
| k 1 , j, m
= ~ 2 j(j + 1) − m 2 ~ 2 − ~ 2 m
h k 2 , j, m | k 1 , j, m i = 0
Wirhaben
k J + | k 1 , j, m > k 2
| {z }
k| k 1 ,j,m ± > k 2
= [j(j + 1) − m(m ± 1)] ~ 2 h k 1 , j, m | k 1 , j, m i
| {z }
1
Manzeigt,dass
| k, j, m ± 1 >= 1
~ √
j(j+1) − m(m ± 1) J ± | j, k, m >
ONB in
ǫ(j, m ± 1)
bilden.Mansiehtferner:
g(j, m + 1) = g(j, m − 1) = g(j, m) = g(j)
unabhängigvonm.
Konstruktioneiner Basis
1. FürjedenWert vonjwähleeinenzujgehörigenUnterraum,
z.B.den,m=j,d.h.
ǫ(j, j).
2. WählehierinbeliebigeONB
{| k, j, j >, k = 1, ..., g(j) }
3. Mit
| k, j, m ± 1 >= 1
~ √
j(j+1) − m(m ± 1) J ± | j, k, m >
konstruieredurhIterationdieBasis,ausdersihdieBasender2janderen
Unterräume
ǫ(j, m)
ergeben.4. Führediesfürallejaus.
StandardbasisdesZustandrausm
ǫ
mit derOrthonormierungsrelation
h k, j, m | k ′ , j ′ , m ′ i = δ kk ′ δ jj ′ δ mm ′
Vollständigkeitsrelation:
P
j
P g(j)
k=1 | k, j, m | ih k, j, m | = 1 ǫ(j, m = j) | 1, j, j > .... | g(j), j, j >
↓ J − ↓ J − ↓ J −
ǫ(j, m = j − 1) | 1, j, j − 1 > ... | g(j), j, j − 1 >
↓ J − ↓ J −
| 1, j, − j > ... | g(j), j, − j >
Darstellung der Drehimpulsoperator Im folgenden verwenden wir die
Räume
ǫ (k, j)
, d.h. wir gruppieren Kets| k, j, m >
mit festen Werten k undj.
dim
ǫ (k, j) = 2j + 1
unabh. vonkundvombetrahtetenphysikal. System
ǫ (k, j)
globalinvariantunterJ ~
Suhen nun Matrix, die in einer Standardbasis die Komponente
J U
vonJ ~
darstellt.
1. j=0,m=0
J n (0)
reduzierensihZahlen=02.
j = 1 2 , m = + 1
2 , m = − 1
| {z 2 }
w¨ ahlen Basisvektoren in dieser Reihenf olge
J z (1/2) = ~ 2
7.1 EW-Gleihung in der Ortsdarstellung
[ | ~ r > }
X, ~ ~ P −
Operator inOrtstarstellung: Multiplikationmit
X ~
Dierentialoperator
~ i ∇ ~ L x = ~ i (y ∂z ∂ − z ∂y ∂ )
L y = ~ i (z ∂x ∂ − x ∂z ∂ ) L z = ~ i (x ∂y ∂ − y ∂x ∂ )
Die Drehimpulsoperatorenwirkennur auf
θ, Φ
nihtauf r ÜbergangzuKugelkoordinaten
mit
r ≥ 0 ; 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ Φ ≤ 2π
x = r · sin θ · cos Φ y = r · sin θ · sin Φ z = r · cos θ
und
d 3 r = r 2 sin θ · dr · dΦ · dθ = r 2 dΩdr
⇒ L x = i ~ sin Φ ∂Θ ∂ + tan Θ cos Φ ∂Φ ∂ L y = i ~ − cos Φ ∂Θ ∂ + tan Θ sin Φ ∂Φ ∂ L z = ~ i ∂Φ ∂
sodass
L ~ 2 = − ~ 2 ∂ 2
∂Θ 2 + tan 1 θ ∂θ ∂ + sin 1 2 θ
∂ 2
∂Φ 2
L + = ~ e iΦ ∂Θ ∂ + i cot θ ∂Φ ∂
( △ ) L − = ~ e − iΦ − ∂Θ ∂ + i cot θ ∂Φ ∂
WirsuhenFunktionen
ψ(r, θ, Φ)
,die dieEW-gleihungenerfüllen:− ~ 2
∂ 2
∂θ 2 + tan 1 θ ∂θ ∂ + sin 1 2 θ
∂ 2
∂Φ 2
ψ (r, θ, Φ) = ~ 2 l · (l + 1) ψ (r, θ, Φ)
− i ~ ∂
∂Φ ψ (r, θ, Φ) = m ~ ψ (r, θ, Φ)
DarnihtimDierentialoperatorauftritt,sei
Y l m (θ, φ)
gemeinsameEigen-funktionzur
L ~ 2 , L z
mitEW~ 2 l(l + 1)
undm ~ : L ~ 2 Y l m (θ, φ) = ~ 2 l(l + 1)Y l m (θ, φ)
(*)
L z
|{z}
− i ~ δφ δ
Y l m (θ, φ) = m ~ Y l m (θ, φ)
mit
ψ(r, θ, φ) = f (r) · Y l m (θ, φ)
fürbeliebigeFkt.(*) Separationsansatz:
Y l m (θ, φ) = F l m (θ)Φ m (φ) Φ m (φ) = e imφ
((*)− i ~ ∂
∂φ Φ m (φ) = m ~ Φ m (φ)
Da
φ ∈ [0, 2π]
undψ(r, θ, ψ)
stetigseinmuss,musse im2π=1
undm,lganzzahlig.Esgilt
L + Y l l (θ, φ) = 0
Aus
( △ )
undY l m (θ, φ) = F l m (θ)e imφ
⇒ dθ d − lcotθ
F l l (θ) = 0 → F l l (θ) = c l (sinθ) l c l cosθ
sinθ l(sinθ) l − 1 sinθ − lcotθ = 0
c l
ausNormierungsbedingung Fürjedes≥ 0 ∃ Y l l (θ, Φ)
mit
Y l l (θ, Φ) = c l · (sin θ) l e imΦ
WiederholtesAnwendenvonL
Y l l − 1 , Y l l − 2 , ..., Y l − l
(zujedemPaar(l,m)nureineEigenfunktion)
Normierung:
ˆ
dΩ | Y l m (θ, Φ) | 2 = ˆ 2π
0
dΦ ˆ π
0
sin dθ | Y l m (θ, Φ) | 2 = 1
2π ˆ
θ | F l m (θ) | 2 sin θ = 1 ˆ ∞
0
= r 2 | f (r) | 2 dr = 1
⇒ c l = ( − 1) l 2 l l! ·
r 2l + 1 4π
Undshlieÿlih nohlängererRehnung: Kugelähenfunktionen
Y l m (θ, Φ) = ( − 1) l 2 l l!
s (2l + 1)
4π · (l + m)!
(l − m)! e imΦ (sinθ) − m d l − m
(d cos θ) l − m (sin θ) 2l
AlternativeForm
Y l m (θ, Φ) = ( − 1) m+ 2 | m |
s (2l + 1)
4π · (l − | m | )!
(l + | m | )! · P l | m | (cos θ) · e imΦ P l m =
assoziierteLégendre Polynome:P l m (u) = (1 − u 2 ) m/2 du d m m P l (u) P l 0 (u) ≡ P l (u)
P l (u) = ( − d l 1) l! l d l
du l (1 − u 2 ) l
Strukturvon
Y l m (θ, φ) :P l m (u) =
Polynoml-tenGradesinm;l :
gerade
ungerade
⇒
gerade
ungerade
Potenz
Y l − m = ( − 1) m (Y l m ) ∗
Beispiele:
Y 0 0 = √ 1 4π
Y 1 0 = q
3 4π cos θ Y 1 1 = − q
3
8π sin θe iΦ Y 2 0 = q
5
16π 3 cos 2 θ − 1 Y 2 1 = q
15
8π sin θ cos θe iΦ
Y 2 2 = q 15
32π sin 2 θ · e 2iΦ
Verhaltenunter Parität:
~x → − ~x
d.h.
r → r
,θ → π − θ
,Φ → Φ + π Y l m (π − θ, π + θ) = ( − 1) l Y l m (θ, Φ)
Orthogonalität:
´ dΩ Y l m (θ, Φ) Y l m ′ ′ ∗ (θ, Φ) = δ ll ′ δ mm ′
Vollständigkeit:
P
l,m
Y l m (θ, Φ) Y l m (θ ′ , Φ ′ ) = δ (cos θ − cos θ ′ ) δ (Φ − Φ ′ )
Zusammenhangmit ket:
Y l m (θ, Φ) = h θ, φ | l, m i
7.2 DrehimpulsalsErzeugender(Generator)von
Dehnun-gen
InPolarkoordinaten
L z = ~ i ∂Φ ∂
1 + i
~ αL z
f (θ, Φ) =
1 + α ∂
∂Φ
f (θ, Φ + α) α ≪ 1
Fürendlihe
α
(undanalytishef):e iαL z / ~
| {z }
e α∂/∂Φ
f (θ, Φ) = X ∞ n=0
1 n!
α ∂
∂Φ n
f (θ, Φ) = f (θ, Φ + α)
Allgemein:
e i~ ϕ~ L/ ~ ψ (~x) = ψ (~x ′ )
wobei
X ~ ′
ausX ~ ′
durh eine Drehung um Rihtung| ϕ ϕ ~ ~ |
um den Betrag| ϕ ~ |
hervorgeht.
7.3 Integrale der Bewegung und Symmetrieeigenshaften
AistIntegralderBewegungsindalleErwartungswertezeitlih konstant.
[ dt d h A i (t) = ∂A
∂t
(t) + i~ 1 h [A, H] i ]
Falls
∂A
∂t = 0
und[A, H ] = 0
istAIntegralderBewegung/Erhaltungsgröÿe Wir betrahten räumlihe Vershiebungen oder Drehungen des QMSys-tems.
BetrahtenOrtsvektorderTeilhen.
Bsp.fürDrehungen:
X ~ → X ~ ′ = S ~ X X ~ = S − 1 X ~ ′ ( △ ) ψ ′ (x ′ ) = ψ(x)
(*)bestimmtψ ′
SuhenOperator
R s
,sodassψ ′ (~x ′ ) = R x ψ(~x ′ )
( ∗ ) → ψ(~x) = R s ψ(~x ′ )
( △ ) → ψ(S − 1 X ~ ′ ) = R s ψ(~x ′ ) ∀ ~x ′
⇒ ψ(S − 1 X ~ ) = R s ψ(~x)
bei Parallelvershiebungen ungeändert
⇔
H bei Vershiebungen ungeän-dert.Vershiebung:
X ~ → X ~ ′ = X ~ + δ~a δ~ α ≪ 1
⇒ R V erschiebung ψ(~x) = ψ (~x − δ~a) =
1 − (δ~a) ∇ ~ ψ(~x) =
1 − ~ i δ~a ~~ ∇
|{z} i
~ p
ψ(~x)
InvarianzvonH:
h ψ ′ | H | ψ ′ i
| {z }
h H i ′
=
ψ | R + v HR v | ψ
ψ ′ = R V ψ
= h ψ | H | ψ i ∀| ψ >
⇒ H = R + s H R s
infenitesimaleTranslation:
R δ~ α = 1 − ~ i δ~ α~ p R † δ~ α HR δ~ α =
1 + i
~ δ~ α~ p
H
1 − i
~ δ~ α~ p
= H + i
~ δ~ α h P , H ~ i
+ σ δ~ α 2
= H
⇒
Invarianzunter Vershiebung⇒ h H, ~ P i
= 0
2. IsotropiedesRaumes:InvarianzunterDrehungen
h ψ | H | ψ i =
ψ | R + D HR D | ψ
innitesimal:
R D = 1 − ~ i δ ~ ϕ~ L ⇒ h H, ~ L i
= ~ 0
Wenn
L ~
ErhaltungsgröÿedannfolgtIsotropiedesRaumes 3. HomogenitätderZeit:∂H
∂t = 0
Histnihtexplizi8tzeitabhängig⇒ dt d h H i = d
dt H
+ i~ 1 h [H, H] i = 0
d.h.
d
dt h ψ | Hψ i = 0
HKonstantederBewegung⇒
Energieerhaltung 4. AllgemeinunitärerOperator:
U α = e − iα/~ · A
WennfüralleZustände
| ψ >
:h ψ | H | ψ i = h ψ | U α + HU α | ψ i
also
H = U α + HU α ⇒ [H, A] = 0
Undwenn
∂A
∂t = 0
: AGenerator
P , ~ ~ L, ...
d
dt h ψ | A | ψ i = 0
GiltauhfürinnereSymmetrien(Isospin)
Satz (Noether):
IstU eineSymmetrietransformation,A eineObservable,H der
zeitunab-hängigeHamiltonoperator,dannistdieAzugeordnetephysikalisheGröÿe
eineErhaltungsgröÿe,d.h.
1.
h A i = const.
(erhaltenerErwartungswert)2. IstdasSystem einmalin einem EigenzustandvonA, bleibt esohne
2. IstdasSystem einmalin einem EigenzustandvonA, bleibt esohne