Separation der Variablen - Ψ( ~r,t =0) |

~ L

= | ~r × µ~v | = µr | ~v _⊥ |

⇒

GesamtenergiedesTeilhens:

E = E kin + E pot = ^µ ₂ v _r ² + ^µ ₂ v _⊥ ² + V (r) E = ¹ ₂ µv ² _r + _2µr ^L ² 2 + V (r)

klassisheHamiltonfunktion:

H = ^p _2µ ² ^r + _2µr ^L ² 2 + V (r) p r = _∂v ^∂L _r = µv r , L = T − V

p r = µ ^dr _dt

^kanon. ^Impuls ^zu^r

L ~ ²

auszudrükendurh

r, θ, ϕ

^und

p r , p θ , p ϕ

^d.h.

L ~ ² = p ² _θ + _sin ¹ 2 θ p ² _ϕ

2. QM:

EW-Glg. desHamiltonoperators/Shrödingergleihung

h

− 2µ ^~ ² ∆ + V (r) i

ϕ (~r) = Eϕ (~r)

Vnurabh. vonr

⇒

Kugelkoordinaten. Mit

∆ = ¹ _r _∂r ^∂ ² 2 r + _r ¹ 2

∂ ²

∂θ ² + _tan ¹ _θ _∂θ ^∂ + _sin ¹ 2 θ

∂ ²

∂ϕ ²

L ~ ²

ⁱⁿKugelkoordinaten:

~ L ² = − ~ ² ∂ ²

∂θ ² + 1 tan θ

∂

∂θ + 1 sin ² θ

∂ ²

∂ϕ ²

H = − ~ ² 2µ 1 r

∂ ²

∂r ² r + 1

2µr ² L ~ ² + V (r)

8.2 Separation der Variablen

L i

^wirken^nur

θ, ϕ

^vertaushen^mit^jedem^Operator^der^nur^auf^r^wirkt.

h H, ~ L i

= 0 → L i

^Konstante^der^Bewegung

ebenso

h H, ~ L ² i

= 0

Da die

L i , ~ L ²

niht alle untereinander vertaushen, verwenden wir nur

~ L ² , L z

H, ~ L ² , L z

^vertaushen^paarweise.

⇒

^Möglih ^Basis ^des Zustandsraumszu nden, derenElemente gleihzeitig Eigenfunktionenzudiesen3Observablensind.

Hϕ(~r) = Eϕ(~r)

L ~ ² ϕ(~r) = ~ ² l(l + 1)ϕ(~r) L z ϕ(~r) = ~ mϕ(~r)

D.h.Niveauswerdennah E,l,mklassiziert.Suhen LösungenderForm:

ϕ(~r) = R(r)Y _l ^m (θ, ϕ)

EnergieEhängtabvonlundeinemweiterendiskreten(Bindungszustände)

oderkontinuierlihen(Streuzustände)Indexk:

E kl

ÜbergangzuFunktion u:

R(r) = ¹ _r u(r)

DieseGleihungistanalogzudereineseindimensionalenProblems,beidem

siheinTeilhenderMasse

µ

ⁱⁿ^einem^eektiven^Potential

V ef f (r) = V (r) + ^l(l+1) _2µr 2

^bewegt.

Ahtung:

r ≥ 0

^! ^und

| u (r) | ²

^integrabel^bzgl. ^dr.

Verhaltender Lösungen beikleinemr: Annahme:

V (r)

^bei^r

→

⁰

reguläroderwenigersingulärals

1 − 4πδ (r)

^niht^Lösungen^derShrödingerglg.

Bleibt nur Lösung

R (r) ∼ r ^l .

^Also vershwindet

u (r)

^bei^r=0.

u (r) ∼ r ¹

(fürl=0).

R (r)

^geht^gegen^eine^Konstante^(für^l=0)^odervershwindetfürl>0.

AlsofügeDGL dieBedingunghinzu

u kl (0) = 0.

Wellenfkten von H eines Teilhens in einem Zentralpotential

V (r)

^hängen

von3Indizes ab:

ϕ klm (r, θ, ϕ) = R (r) Y _l ^m (θ, ϕ)

DieEnergieniveaus

E kl

^sind

(2l + 1)

^-fah^entartet:

zufesetemk,l:

m = − l, − l + 1, ..., +l

DieseEntartungexistiertfüralleFormendesPotentials:wesentlihe

Entar-tung.Möglih,dassEW

E k,l

^derRadialgleihungzugegebenenlnohmalsals EW

E k ^′ ,l ^′

^der^durh

l 6 = l ^′

harakterisiertenRadialgleihungauftritt:zufällige Entartungen (z.B.beiH).

Die Radialgleihung hatfürgegebenesl hähstenseinephysikalish

akzep-tableLösung.

ZurEindeutigkeit:

MitEW von

L ² →

^Gleihung ^fürRadialfunktionEW vonHlegt diese Ra-dialfunktioneindeutigfest. Zu gegebenemPaar(l,m) existiertnur eine

Kugel-ähenfunktion

Y _l ^m (θ, ϕ)

8.4 System aus 2 Teilhen

2TeilhenohneSpin,Massen

m 1 , m 2

^,Ortsvektoren

~r 1 , ~r 2

V = V (~r 1 − ~r 2 )

Klassish:

L(~r 1 , ~r 2 , ~ ˙ r, 1 ~ ˙ r, t) = 2 T − V = ¹ ₂ m 1 ~ ˙ r ² ₁ + ¹ ₂ m 2 ~ ˙ r ² ₂ − V (~r 1 − ~r 2 )

KonjugierteImpulse:

~ p 1 = ^∂L

∂ ~ r 1 =m 1 ~ ˙ r 1 , ~ p 2 = m 2 ~ ˙ r 2

Massenmittelpunkt:

~r G = ^m ¹ _m ^~ ^r ¹ ₁ ^+m _+m ² ₂ ^~ ^r ²

^und

~r = ~r 1 − ~r 2

~r 1 = ~r G + _m ₁ ^m _+m ² ₂ ~r, ~r 2 = ~r G − _m ₁ ^m _+m ¹ ₂ ~r L(~r G , ~ ˙ G r, ~r, ~r, t) = ˙ ¹ ₂ M ~ ˙ ² _G r + ¹ ₂ µ ~ ˙ r ² − V (~r)

mitderGesamtmasse

M = m 1 + m 2

^und^derreduziertenMase

µ = _m ^m ₁ ¹ _+m ^m ² ₂

KonjugierteImpulse

~ p G = ^∂L

∂ ~ ˙ G r = M ~ ˙ G r = m 1 ~ ˙ r+m 1 2 ~ ˙ r 2 = ~ p 1 +~ p 2

Gesamtipuls

~ p = ^∂L

∂ ~ r ˙ = µ ~r ˙ = ^m ² _m ^~ ^p ¹ ⁻ ^m ¹ ^p ^~ ²

1 +m 2

Relativimpuls

KlassisheHamiltonfunktion

H = P

i=G,rel ~ p i ~ ˙ r i − L H (~r G , ~ p G , ~r, ~ p, t)stem = _2M ^p ^~ ² ^G + ^p _2µ ^~ ² + V (~r)

Bewegungsgleihungen

p ~ ˙ i = − ^∂H _∂~ _r _i

~ ˙ _G p = − ∂~ ^∂H r G = ~ 0

^Ruhesystem^desMassenmittelpunktsMMP

~ ˙

p = − ^∂H _∂~ _r = − ∇ ~ V (~r)

WählendasRuhestystemdesMMP:Hamiltonfunkton:

H r = ^~ _2µ ^r ² + V (~r)

QM:Operatoren

R ~ 1 , ~ P 1 , ~ R 2 , ~ P 2

^mit

[X 1 , P 1X ] = i ~

[X 2 , P 2X ] = i ~

analog....?

Observablen

R ~ G , ~ R : R ~ G = ^m ¹ _m ^R ^~ ¹ ₁ ^+m _+m ² ₂ ^R ^~ ² , ~ R = R ~ 1 − R ~ 2

unddieObservablen

P ~ G = P ~ 1 + P ~ 2 p ~ = ^m ² _m ^~ ^p ¹ ₁ ⁻ _+m ^m ¹ ₂ ^~ ^p ²

ManndetdieKummutator-Relationen:

[X G , P GX ] = i ~ [X, P X ] = i ~

{ R, P ~ }

^vertausht^mit

{ R ~ G , ~ P G }

Hamilton-Operator:

H = _2M ^P ^~ ^G ² + _2µ ^~ ^p ² + V ( R) ~

d.h.

H = H G + H r

^mit

H G = _2M ^P ^~ ^G ²

^und

H r = ^P _2µ ^~ ² + V ( R) ~

und

[H G , H r ] = 0

^das^heiÿt^es^gibt^eine^Basis^aus^EV^zu ^H,^diegleihzeitig EVzu

H G

^und

H r

^sind.^Wir^suhen^die^Lösungen^des^Systems

H G | ϕ >= E G | ϕ > H r | ϕ >= E r | ϕ >

^mit

E = E G + E r

8.5 Das Wasserstoatom

besteht aus einem Proton mit

m P = 1, 7 · 10 ⁻ ²⁷ kg

^und ^einem ^Elektron ^mit

m e = 9, 1 · 10 ⁻ ³¹

^kg ^mit^der^Ladung

q P/e = ± 1, 6 · 10 ⁻ ¹⁹ C

WWelektrostatish,potentielle Energie

V (r) = − _4πǫ ^q ₀ ¹ _r = − ^e _r ²

r:Abstandzwishenp und

e ⁻ e ² = _4πǫ ^q ₀ ²

Überlegungenaus(Systemaus2Teilhen)BeshränkgungaufRuhesystem

desMMP.Auÿerdem:

µ = _m ^m _e ^e _+m ^m ^p _p = m e (1 − ^m _m _p ^e )

InderOrtsdarstellunghabenwirdieEW-GleihungdesHamiltonOperators:

h

− ^~ 2µ ² ∆ − ^e r 2 i

ϕ(~r) = Eϕ(~r)

WirhabeneinZentralpotential:

ϕ klm (~r) =

R kl (r)

z }| { 1

r u kl (r) · Y _l ^m (θ, ϕ)



 

  − 2µ ^~ ² d ²

dr ² + l(l + 1) ~ ² 2µr ² − e ²

r

| {z }

V ef f (r)



 

 

u kl (r) = E kl u kl (r)

^(*)

und

u kl (0) = 0

(bildvonnemPotential)

E > 0

kontinuierlihesSpektrum

E < 0

^diskretes^Spektrum

Dividieren (*)durh

µe ⁴

2~ ² = E I =

Ionisierungsenergie wählendimensionsloseVariablen:

ρ = _a ^r

0

mitBahn-Radius

a 0 = _µe ^~ ² 2

wirbetrahten

E kl < 0

^und

λ kl = q

− ^E _E ^kl _I h d ²

dρ ² − ^l(l+1) _ρ ² + ² _ρ − λ ² _kl i

u kl (ρ) = 0

LösungderRadialgleihung:VerhaltenfürgroÿeAbstände

ρ : h d ²

dρ ² − λ ² _kl i

u kl (ρ) = 0

Lösungenhiervonsind

u kl (ρ) ∼ e ⁽ ^± ^)λ ^kl ^ρ

modulo Polynomin

ρ

^,⁺^wirdausgeshlossenwegenNormierbarkeit.

Ansatzfür

u kl (ρ) = e ⁻ ^λ ^kl ^ρ Y kl (ρ)

DGLfür

Y kl :

u ^′′ _kl = λ ² _kl e ⁻ ^λ ^kl ^ρ Y kl + ( − 2λ kl )e ⁻ ^λ ^kl ^ρ y _kl ^′ + e ⁻ ^λ ^kl ^ρ Y _kl ^′′

h d ²

dρ ² − 2λ kl d

dρ − ^l(l+1) ρ ² + ² _ρ i

Y kl (ρ) = 0

^und

Y kl (0) = 0 ( △ )

Potenzreihenansatz:

Y kl (ρ) = ρ ^S P ^∞

q=0

c 1 ρ ^q

^und

c 0 6 = 0

vorausgesetzt.

( △ ) ⇒ s > 0

Ableitungen:

d

dρ Y kl (ρ) = P ^∞

q=0

(q ± s)c q ρ ^q+s ⁻ ¹

d ²

dρ ² Y kl (ρ) = P ^∞

q=0

(q + s)(q + s − 1)c 1 ρ ^q ^± ^s ⁻ ²

Einsetzen inDGLfür

ρ :

^Alle^Koezienten^müssen^gleih^null^sein.

TerminniedrigsterOrdnungin

ρ ∼ ρ ^s ⁻ ²

Koe=0

[ − l(l + 1) + s(s − 1)] c 0 = 0

-(Rehnung)

s = l − 1

^oder

s = − l

^nihtakzeptiert.

Mit

s = l + 1

^und^F^orderung^Koezienten^von

ρ ^q+s ⁻ ² = 0

⇒

Rekursionsformel:

q(q + 2l + 1) = 2 [(q − l)λ kl − 1] c q − 1

Verhaltenfürgroÿe

q : _c _q ^c ^q

− 1 = ¹ _q 2 [(1 + l)λ kl − 1]

q + 2l + 1

| {z }

2λ kl

−→ ^q →∞ 2λ kl

q → 0

Wirhabenalsofür

[(q + l)λ kl − 1] 6 = 0

_c _q ^c ^q

− 1 ∼ ^q ^→∞ ^2λ q ^kl

PotenzreihenentwiklungderFunktion

e ^2ρλ ^kl e ^2ρλ ^kl = P ^∞

q=0

dqρ ^q

^mit

d q = ^(2λ _q! ^kl ⁾ ^q

Hieraus.

d q

d _q−1 = 2 ^λ _q ^kl

VLG: Betrahte Reiheverhält sihfürgroÿe

ρ

^wie

e ^2ρλ ^kl

physikalishniht sinnvoll

→

^Alle ^Fälleauszushlieÿen,fürdiedieReihenihtabbriht

→

^einzig

möglihen Werte von

λ kl

^sind ^die, ^für ^die ^die ^Reihe ^nur ^eine^endlihe ^Anzahl

vonTermen hat,d.h.

Y kl (ρ)

^sih^auf ^ein ^Polynom^reduziert. ^Suhen ^also^k, ^so

dassfür

q = k

(k + l)λ kl − 1 = 0 ⇒ λ kl = _k+l ¹ k ≥ 1

DieeinzigmöglihendiskretenEnergieEW sindalso

λ kl = q

− ^E _E ^kl _I

E kl = − (k+l) ^E ^I ² , k = 1, 2, ....; l = 0, 1, ...

______Vorlesung 18.und21.Junifehlen(Southside)______________

B ~

^konstant

⇒ H = H 0 + H 1 + H 2

H 0 = _2µ ^~ ^p ² + V ( R ~

^);

H 1 = − ^µ ~ ^B ~ L · B ~ µ B = ^~ _2µ ^q

H 2 = ^q ² _8µ ^B ^~ ² R ~ ² _⊥ ; ∆E 0 ≫ ∆E 1 ≫ ∆E 2

InterpretationdesparamagnetsihenTerms

magnetishesMoment

M ~ ,

^das^zu^einer^Ladung^q^auf^einer^Kreisbahn^gehört:

M ~ = _2m ^q _e ~ L ⇒

^QM:Operatorgleihung

M ~ 1 = _2m ^q _e ~ L

sodass:

H 1 = − M ~ · B ~

H 1

^entspriht ^also ^der ^Kopplung ^zwishen ^dem magnetishen Feld

B ~

^und

dematomarenmagnetishenMoment

H 1

paramagntish Kopplungsterm:

DieEWeinerjeden Komponentedesmagnetishen Moments

µ B

^gibt^die GröÿenordnungdeszurBahnbewegunggehörenden ma-gnetishenMomentes

Elektron hat auh einen inneren Spin

M ~ S = 2 ^µ _~ ^B S ~

^, ^2=g,

gyroma-gnetsihesVerhältnis

InterpretationdesdiamagntetishenTerms

Sei Drehimpuls=0(Grundzustand)

H 1 = 0.

^Bleibt

H 2

^. ^Homogenes

Ma-gnetfeldmodiziertWahrsheinlihkeitsstrom.MitzugehörigemelektrishenStrom

istmagnetishesMoment

D M ~ dia

E

antiparallelzu

B ~

^verbunden

→

^positive

Kol-lungsenergie.

M ~ ^dia

^istproportionalzurGröÿedesmagnetishenFeldes.Eshandeltsihum dasdurh

B ~

^induzierte^magnetsihe^Moment^im^Atom.^Entgegen

B ~ −

^Rihtung

B ~

^wird^geshwäht^(Lenzshe^Regel).

Kopplungsenergiemit

B ~

⁽

B ~

^langsamangeshaltet)

−

9 Streutheorieinder niht-relativistishen

Quan-tenmehanik

Streuexperimente:Information über Wehselwirkung (WW) zwishen

(funda-mentalen)Teilhen.

VerhalteninStreuexperimenten

1. Hohenergiephysik

L<1fm

∼ 10 ⁻ ⁵ A

^°

E>16eV

Streuproben

Bsp:

e ⁺ e ⁻ : LEP (CERN ) ∼

^200GeV

PP:LHC14TeV

P P

^Tevatron^2Te^V

2. Kernphysik

∼ 10f m

^(atomkern)

∼ 1M eV

Bsp:Gold-GoldKollisionen

∼ 100GeV

Quark-GluonPlasma 3. Atomphysik

∼ 1

∼ eV

Bsp:OptisheSpektroskopie

4. PhysikderkondensiertenMaterie

L ∼ → ∞ E ∼ meV − eV

Bsp: Röntgenstreuung, Photoemission, Optishe Spektroskopie,

Neutro-nenstrahlung

9.0.1 Strahl von Teilhen auf Stationäres Target

skizze)

Vorteil:BeigenügenderDihtedesTargetsvollerGebrauhdeseinlaufenden

Strahls

Nahteil:EnergieimShwerpunktsystemreduziert

Laborsystem:

E = ¹ ₂ mv ²

Shwerpunktsystem:

E = ¹ ₂ m ^v ₄ ² · 2 = ¹ ₄ mv ²

Vorteil:EnergieimShwerpunktsystem

E = P

Strahlenergien

Nahteil:StarkeFokussierungamWW-Punkterforderlih,umgenügend

ho-heRatenzuerziehlen

Wir betrahten nur elastishe Streuung: Innere Zustände der Teilhen

un-verändert

Potentialstreuung: FolgendeAnnahmenfürStreuungamtarget

1. TeilhenhatkeinSpin

2. InnereStrukturderTeilhenunberüksihtig

3. Target istsehrdünn,Mehrfahstreuprozessesindvernahlässigbar

4. KeineKohärenzzwishenanvershiedenenTarget-Teilhen

gestreu-tenWellen

5. WW zwishen Teilhen durh

V (~r 1 − ~r 2 )

beshreibbar

⇒

^im

Ruhe-systemdes Shwerpunkts: Streuung eines Teilhens mitredzuzierter

Masse

µ

^am^Potential

V = V (~r), ~r = ~r 1 − ~r 2

Niht-relativistisheBehandlung

9.1 Stationäre Streuzustände

ZweiBeshreibungsmöglihkeiten:

1. Wellenpakete(einzelnesTeilhen)

2. StationäreStreuwelle(Teilhenstrahl)

Beideäquivalent.2.meistenseinfaher.Zu2.:

H = H 0 + V (~r) H 0 = _2µ ^~ ^p ²

Annahme:

V (~r)

^falle^für

| ~r | → ∞

^shneller^ab^als

_| ~ ¹ r |

SuheLösungen

ψ(~r, t) = ϕ(~r)e ⁻ ^iEt/~

^mit

Hϕ = Eϕ

E > 0

(E=kinetisheENergieweitwegvomSteuzentrum)

⇔

△ + k ² − V (~r)

ϕ(~r) = 0 ( ∗ )

mit

U (~r) := ^2µ _~ 2 V (~r)

^und

E := ^~ _2µ ² ^k ²

ImAllgemeinen:

∞

^viele^Lösungen^von^(*)^zu^gegebenem^E!

Idee:RandbedingungenentsprehndderphyiskalishenSituation.

Ansatz:WeitwegvomStreuzentrum

V ⋍ 0 H ⋍ H 0

fürgroÿe

| ~r |

ϕ ^{(dif f} _k ⁾ (~r) ⋍ e ^ikz

|{z}

einlauf end

+ f k (θ, ϕ) · e ^ikr

| {z r }

auslauf end

e ^ikz ,

^Ebene^Welleⁱⁿ ^z-Rihtung

e ^ikz ,

Teihenstrahlinz-Rihtung löst(*)fürgroÿe

| ~r |

e ^ikr

r ,

^Kugelwelle

△ + k ² _e ^ikr

r = 0

f k (θ, ϕ) ^e ^ikr _r ,

^Kugelwelle^mitrihtungsabhängigerIntensität.

,

^Gestreuter^Strahl

löst(*)ebenfallsfürgroÿe

| ~r |

f k (θ, ϕ)

^löstStreuamplitude

Experiment:Bestimmungvon

| f k (θ, ϕ) | ²

Theorie:Zusammenhang

f k (θ, ϕ) ↔ V (~r)

Kannzeigen:DieseRandbedingungenxierenLösungeindeutig!

(An-nahmean

V (~r)

^wihtig!)

BeshreibungdurhWellenpakete:(ZurVereinfahungnur inz-Rihtung)

ψ(~r, t) = ˆ ∞

0 A(k)ϕ ^{(dif f)} _k (~r)e ⁻ ^iE ^k ^t/ ^~ dk

Amit Maximumbei

k 0

^(bild^mit ^peak^an^k_0,^k^x-ahse,^A^y-ahse)

ψ(~r, t) ⋍ ˆ _∞

0 dkA(k)e ^ikz e ⁻ ^iE ^k ^t/hbar + ˆ _∞

0 A(k)f k (θ, ϕ) e ^ikr

r e ⁻ ^iE ^k ^t/~

BewegungdeMaxima: MIt

v g = ^~k _µ ⁰

^und^r^groÿ,

Z einl. (t) = v g t, r ausl. (θ, ϕ, t) = − α ^′ _k (θ, ϕ)

| {z }

<0

+v g t

t < 0

^kein^Maximumⁱⁿ auslaufenderWelle.

(bildvonWellewihesihinz-Rihtungfortbewegt;beiErreihendes

Streu-zentrums hatdie Welle eineForm,die sih niht so leiht interbretierenlässt;

theta=WinkelvomStreuzentrumaus,Peaksineinembest.Abstandvom

Streu-zentrum)

9.2 Stromdihten, Streuquershnitt

InterpretationderStreuwellenalsTeilhenströme:

ZurWellenfunktion

ϕ(~r)

^gehöriger^Strom:

J ~ (~r) = 1 µ Re

ϕ ^∗ ~

i ∇ ~ ϕ

ϕ ^{(dif f} ⁾ ,

^r^groÿ:

DenitiondesStromquershnitts

≡

Wirkungsquershnitts

dσ

dΩ := ^J ^a ^· ⁽ ^△ _J _e ^Ωr ² ⁾ _△ ¹ _Ω = | f (θ, ϕ) | ²

⁼^(ZahlbeobahteterTeilhenimDetektor/

△ Ω

^/Zeiteinheit)/(ZahleinlaufenderTeilhen/FläheF/Zeiteinheit) Dimension:

f ∼ L, _dΩ ^dσ ∼ F l¨ ache!

σ total := ´ _dσ

dΩ dΩ

⁼^totalerWirkungsquershnitt

ImExperimentmisstmanZählraten,diezu

J e

^sowie^zur^Anzahl^der

Streu-zentrenproportionalsind.

WiederholungderletzetenVorlesung:

Stromdihten,Streuquershnitt

r ²

^nurⁱⁿ auslaufenderradialerRihtung StromdurhFläheFnahauÿen

´

F dF ~ j e = 0

ˆ

SheinbarerKoniktmitStromerhaltung!

Lösung.INterferenztermzwisheneinfallender

(φ k (~r))

^und^gestreuter

(ψ k (~r))

Welle.

+h..=dasgleihenohmalnurhermitishkonjugiert

Ziel:Zeige,dassderInterferenztermeinennegativenBeitraginVorwärtsrihtung(

θ = 0)

^liefert.

Fürbeliebige

cosθ 6 = 1

^liefert^der^shnelloszillierendePhasenfaktor

e ^ikr

^nah

FaltungmitdemWellenpaket

A k 0

~k

Null.

DerBeitragnurimBereih

1 ≧ cosθ ≧ 1 − ǫ, ǫ ≪ 1

ˆ

d ~ F ~ J int (~r) = ´

dΩr ² ~e r J ~ int (~r) = N ² ~ k 2mr r ² N ² π ~ r

m 2

ikr e ^ikrx + 1 ikr

1 ikr − x

e ^ikrx

ǫ 0

· f (0) + h.c.

Termmit

e ^ikrǫ

^shnelloszillierend:trägtfürgroÿernahFaltungmit

A k 0 (~k)

nihtbei.StationärePhasenurbeix=0.(VernahlässigenTerm

∼ r ¹ ²

^gegenüber

1 r

^,^da

r ≫ 1

⁾

.... = N ² π ~ kr m

− 2

ikr f (θ = 0) + h.c.

= N ² 4π ~

m Im (f (θ = 0))

= − 4π J ~ e

k Im (f (θ = 0))

⇒ J ~ e

σ tot −

J ~ e

4π

k Im (f (θ = 0)) = 0

⇒

^Optishes^Theorem.

σ tot = ^4π _k Im (f (θ = 0))

Anmerkungen

1. BisGesagtesgiltnurfürPotentialemitendliherReihweite.

Insesonderemuss

σ tot

^endlih ^sein.^(Gilt^also^niht^für

V (r) ∼ ¹ r

⁾

Umgekehrt:PotentialunendliherReihweiter

σ tot = ∞

2. OptishesTheoremgiltauh, wennTeilhenbeiderStreuung

vershwin-den

3. fhatimmerImaginärtiel,wennStreuungauftritt

4. Für

k → 0

^muss

Im (f (θ = 0)) ∼ k

^,^damit

σ tot

^nihtdivergiert.

9.4 Integralgleihung für die gestreute Welle

AufstelleneinerIntegralgleihung,derenLösungdieWellenfktenensind.diezu

denStreuzuständengehört.

EW-GleihungvonH:

∆ + k ²

ϕ(~r) = U (~r)ϕ(~r); V (~r) = ~ ²

2µ U (~r) ( ∗ )

Annahme:esgibteineGreensheFkt.

G(~r)

^des^Operators

∆ + k ²

,so dass

(∆ + k ² )G(~r) = δ(~r)

ϕ(~r) = ϕ 0 (~r) + ˆ

d ³ r ^′ G(~r − ~r ^′ )U (~r ^′ )ϕ(~r ^′ ) ( △ )

mit

ϕ 0 (~r)

^Lösung^der^homogenen^Gleihung

∆ + k ²

ϕ 0 (~r) = 0

ErfülltdieDGL.(Anm:

∆

^wirkt^nur^auf ^Variable

~r

^.)

Denn

∆ + k ²

ϕ 0 (~r) = ∆ + k ² ˆ

d ³ r ^′ G(~r − ~r ^′ )U (~r ^′ )ϕ(~r ^′ )

= ˆ

d ³ r ^′ δ(~r − ~r ^′ )U (~r ^′ )ϕ(~r ^′ ) = U (~r)ϕ(~r)

Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Lösung von (*) die Gleihung

( △ )

erfüllt.

MitderrihtigenWahlvon

ϕ 0 (~r)

^und

G(~r)

^kann^dasasymptotisheVerhalten

ψ k (~r) ∼ ^r ^→∞ e ^ikz + f (θ, ϕ) ^e ^ikr _r

ⁱⁿ ^die^Gleihung^eingebaut^werden.

Die

G _± (~r) = − 4π ¹ · ^e ^± r ^ikr

^sind^Lösungen^von

(∆ + k ² )G(~r) = δ(~r)

_______Vorlesung7.Julifehlt__

Vorlesung09.Juli

V ≡ 0

AsymptotisheVerhalten

ϕ ⁽⁰⁾ _klm ∼ ^kr ^→∞ − r 2k ²

π Y _l ^m (θ, ϕ) e ⁻ ^ikr e ^il ^π ² e ^ikr e ⁻ ^il ^π ² 2ikr

e ^ikz = X ∞ i=0

i ^l p

4π(2l + 1)j l (kr)Y _l ⁰ (θ)

= X ∞ l=0

i ^l (2l + 1)j l (kr)P l (cosθ)

9.4.1 Partialwellen im Potential V(r)

ϕ klm (~r) = R kl (r)Y _l ^m (θ, ϕ) = 1

r u kl (r)Y _l ^m (θ, ϕ)

mit

u kl (r)

^Lösung^derRadialgleihung

− ~ ² 2µ

d ²

dr ² + l(l + 1) ~ ²

2µr ² + V (r)

u kl (r) = ~ ² k ² 2µ u kl (r)

mitBedingung

u kl (0) = 0

Fürgroÿerndetman

u kl (r) ≅ ^r ^→∞ C · sin(kr − l π 2 + δ l )

Pasenvershiebung

δ l

^heiÿt Streuphase.

PhysikalisheBedeutungderStreuphase

ϕ klm (~r) ≅ ^r ^→∞ C sin(kr − l ^π ₂ + δ l )

r Y _l ^m (θ, ϕ)

= − CY _l ^m (θ, ϕ) e ⁻ ^ikr e ^i(l ^π ² ⁻ ^δ ^l ⁾ − e ^ikr e ⁻ ⁱ⁽ ^π ² ⁻ ^δ ^l ⁾ 2ir

Vergleihmit freierKugelwelle:Modikationvon

ϕ ^(r) _klm

˜

ϕ klm (~r) ≅ ^r ^→∞ − Y _l ^m (θ, ϕ) e ⁻ ^ikr e ^il ^π ² − e ^ikr e ⁻ ^il ^π ² e ^2iδ ^l 2ikr

9.4.2 Streuquershnitt als Funktion der Streuphasen

RotationssymmetrieumStreuahsebedeutetkeineAbhängigkeitvon

ϕ ψ k (~r) =

X ∞ l=0

˜ ϕ kl

BestimmungderKoezienten

c l :

Herleitungintuitiv:

V (r) ≡ 0 : ψ k (~r) = e ^ikz

undPartialwellen=freieKugelwellen

e ^ikz = X ∞ i=0

i ^l p

4π(2l + 1)j l (kr)Y _l ⁰ (θ) ( ∗ ) V (r) 6 = 0 : ψ k (~r)

ψ k (~r) = P _∞

l=0 i ^l p

4π(2l + 1) ˜ ϕ klo (~r) ( △ )

Herleitungexplizit:Zeigen,dass

( △ )

^die^gesuhte^Entwiklung^ist

X ∞

l=0

i ^l p

4π(2l + 1) ˜ ϕ klo (~r)

≅ ^r ^→∞ − X ∞ l=0

i ^l p

4π(2l + 1)Y _l ⁰ (θ) e ⁻ ^ikr e ^il ^π ² − e ^ikr e ⁻ ^il ^π ² e ^2iδ ^l 2ikr

Mit

e ^2iδ ^l = 1 + 2ie ^iδ ^l sinδ l

⇒ X ∞ l=0

i ^l p

4π(2l + 1) ˜ ϕ klo (~r)

≅ ^r ^→∞ − X ∞ l=0

i ^l p

4π(2l + 1)Y _l ⁰ (θ)

e ⁻ ^ikr e ^il ^π ² − e ^ikr e ⁻ ^il ^π ² 2ikr − e ^ikr

r 1

k e ⁻ ^il ^π ² e ^iδ ^l sinψ

⇒

k ² (2l + 1)

Partialwellenunitarität PartialwellenundStreuphasenbestimmung

Beitragvon

δ 0 :

^isotrop

Beitragvon

δ 1 : ∼ cos ² θ ⇒

^Messung

⇒ δ 0 , δ 1

Intferenzterm:

∼ cosθ

Konstistenztest:TauhenhöherePotenzenin

cosθ

^auf^?

Wirhatten

f k (θ, ϕ) = P

l (2l + 1)f l P l (cosθ)

mit

f l = ¹ _k e ^iδ ⁱ sinδ l P l (cosθ = 1) = 1

⇒ f k (θ, ϕ) = ¹ _k P

l (2l + 1)e ^iδ ^l sinδ l

und

Im f k (0, ϕ) = ¹ _k P

l (2l + 1)sin ² δ l

Mit

σ l = ^4π _k 2 (2l + 1)sin ² δ l

^und

σ tot = P

l σ l

σ tot = ^4π _k Im f k (0, ϕ)

^Optishes^Theorem

10 Stationäre (zeitunabhängige) Störungstheorie

10.1 Problemstellung

Störungstheorieanwendbar,wennHamiltonoperator vonderForm

H = H 0 + W

EigenzuständeundEWvon

H 0

^bek^annt,^und

W ≪ H 0

H 0 :

ungestörterHamiltonoperator, W:Störung;

SeiWunabhängigvonderZeit:stationäreStörung

W = λ W λ ˆ ≪ 1

^(da^W

≪ H 0 ) λ

⁼Entwiklungsparameter

W ˆ =

Matrixelementevergleihbarmitdenenvon

H 0

Eigenwertgleihungvon

H 0 :

H 0 | ϕ ⁱ _p >= E ⁰ _p | ϕ ⁱ _p >

p:zählt Niveaus(Annahme:diskretesSpektrum)

i:zählt Entartung

0 ,

ungestörtesProblem

| ϕ ⁱ _p >

orthonormiert,vollständig

D ϕ ⁱ _p | ϕ ⁱ _p ^′ ′

E

= δ pp ^′ δ ll ^′

orthonormiert

P

p,i

ϕ ⁱ _p ih ϕ ⁱ _p

= 1

vollständig

Mit Störung:Suhe EW und EZ als Funktion von

λ,

^ausgedrükt

E _p ⁰

^und

| ϕ ⁱ _p >

Hamilton-Operator mitStörung:

H(λ) = H 0 + λ W ˆ

(Skizzemit

E _i ⁰

^auf^der^y-Ahse^und

λ

^auf ^der^x-Ahse)

__________Vorlesung14.Julifehlt___________

vorlesung16.juli

E n (λ) = E _n ⁰ + h ϕ n | W | ϕ n i + X

p,i;p 6 =n

ϕ n | W | ϕ ^′ _p ϕ ^′ _p | W | ϕ n

E _n ⁰ − E _p ⁰ + O (λ ³ )

| ψ n (λ) >= | ϕ n > + X

p 6 =n

ϕ ^′ _p | W | ϕ n

E _n ⁰ − E _p ⁰ | ϕ ⁱ _p > + O (λ ² )

E _n ⁰

^sei

g n −

^fah^entartete(

g n ≥ 1, < ∞ )

Prtoblem:

| 0 >

^ist ^niht ^mehr ^eindeutig ^festgelegt

ǫ 0 = E ⁰ _n

^da

H 0 | 0 >=

ǫ 0 | 0 >

^kann ^durh ^jedeLinearkombinationder

g n

^Vektroen

| ϕ ⁱ _n > (i = 1, ...g n )

enfülltwerden.

Störung:

E _n ⁰

^spaltet ⁱⁿ ^mehrereUnterniveaus auf Anzahl der Unterniveaus

f n : 1 ≤ f n ≤ g n

f n < g n

^einige^Unterräume^entartet

Ausgangspunkt:

H 0 | 1 > + ˆ W | 0 > − (ǫ 1 | 0 > +ǫ 0 | 1 >) = 0

Projektionauf

| ϕ ⁱ _n >, i = 1, ...., g n :

* ϕ ⁱ _n | H 0

| {z }

E ⁰ _n <ϕ ⁱ _n |

| 1 +

+ D

ϕ ⁱ _n | W ˆ | 0 E

− (ǫ ϕ ⁱ _n | 0

+ ǫ 0 ϕ ⁱ _n | 1

= 0

(H 0

^ist^hermitesh)

D

ϕ ⁱ _n | W ˆ | 0 E

= ǫ 1 ϕ ⁱ _n | 0

( ∗ )

| 0 >= P g n

j=1 | ϕ ⁱ _n ih ϕ ⁱ _n | 0 >

( ∗ )

g n

X

j=1

D ϕ ⁱ _n | W ˆ | ϕ ⁱ _n E

| {z } g n + g n M atrixel.

| {z }

≡( ˆ W (n)

ϕ ^j _n | 0

| {z }

V ek − el.d.Dim g n

= ǫ 1

ϕ ⁱ _n | 0

⇒ w ij ϕ j = ǫ 1 ϕ i

EW-Gleihung

h . | W | . i

10.3 Gestörter harmonisher Oszillator

10.3.1 Störungdurh ein linearesPotential

H 0 = p ² 2m + 1

2 mω ² X ²

mitdenEV

| ϕ n >

undEW

E _n ⁰ = (n + 1 2 ) ~ ω

Störung:

W = λ ~ ω X ˆ = λ ~ ω r ωm

~ X λ ≪ 1, ~ ω X ˆ ∼ O (H 0 )

H = H 0 + W

V 0 + H = 1

W = 1

2 ρ ~ ω X ˆ ² = 1

2 ρmω ² X ² ρ ≪ 1 H = H 0 + W = p ²

2m + 1

2 mω ² (1 + ρ)X ² | · 1

2 mω ² X ² ω ^′ ² = ω ² (1 + ρ)

E n = (n + 1

2 ) ~ ω ^′ = (n + 1 2 ) ~ ω p

1 + ρ

EntwiklungderWurzel:

E n = (n + 1 2 ) ~ ω

1 + ρ

2 − ρ ² 8 + ...

Störungstheorie:

W = 1

4 ρ ~ ω(a ⁺ + a) ²

= 1

4 ρ ~ ω(a ⁺² + a ² + a ⁺ a + aa ⁺ )

= 1

4 ρ ~ ω(a ⁺² + a ² + 2a ⁺ a + 1)

niht-vershwindendeBeiträge:

h ϕ n | W | ϕ n i = 1

4 ρ ~ ω(2n + 1) h ϕ n+2 | W | ϕ n i = 1

4 ρ ~ ω p

(n + 2)(n + 1)

h ϕ n − 2 | W | ϕ n i = 1 4 ρ ~ ω p

n(n − 1)

E n = E _n ⁰ + ρ

2 ~ ω(n + 1 2 ) + ρ ²

16 ~ ² ω ² (n + 2)(n + 1)

− ~ ω + ρ ²

16 ~ ² ω ² n(n − 1) 2 ~ ω

= E ⁰ _n + ρ

2 ~ ω(n + 1

2 ) − (n + 1 2 ) ~ ω ρ ²

ρ + ....

= (n − 1 2 ) ~ ω

1 + ρ

2 − ρ ² ρ + ...

Wasserstoatominstatishemel.Feldparallelzurz-Rihtung.

W s = qǫZ

ǫ =

^El.F^eld

1. quadratisherStark-Eekt

Niveaun=1,l=0,m=0Grundzustand

1.Ordung:

h n = 1, l = 0, m = 0 | n = 1, l = 0, m = 0 i ψ _∞ ψ 100 ∼ Y ₀ ⁰ = √ ¹ 4π

W ∼ z, ψ 100

rotationssymm.

= − qǫ ´

d ³ r | f (r) | ² z = 0

2.Ordnung

q ² ǫ ² P

n ^′ 6 =1;l ^′ ,m ^′ |h ⁿ ^′ ^l ^′ ^m ^′ ^| ^z ^| n=1,l=0,m=0 i| ²

(E 1 − E _n′ ) 6 = 0

dennesgibt

n ^′ l ^′ m ^′ >

^mitentgegengesetzeterParitätzu

| 100 >

Im Dokument Ψ( ~r,t =0) | | = ~k 2 πλ (Seite 58-0)

Separation der Variablen

~ L

= | ~r × µ~v | = µr | ~v ⊥ |

⇒

E = E kin + E pot = µ 2 v r 2 + µ 2 v ⊥ 2 + V (r) E = 1 2 µv 2 r + 2µr L 2 2 + V (r)

H = p 2µ 2 r + 2µr L 2 2 + V (r) p r = ∂v ∂L r = µv r , L = T − V

p r = µ dr dt

L ~ 2

r, θ, ϕ

p r , p θ , p ϕ

L ~ 2 = p 2 θ + sin 1 2 θ p 2 ϕ

h

− 2µ ~ 2 ∆ + V (r) i

ϕ (~r) = Eϕ (~r)

⇒

∆ = 1 r ∂r ∂ 2 2 r + r 1 2

∂ 2

∂θ 2 + tan 1 θ ∂θ ∂ + sin 1 2 θ

∂ 2

∂ϕ 2

L ~ 2

~ L 2 = − ~ 2 ∂ 2

∂θ 2 + 1 tan θ

∂

∂θ + 1 sin 2 θ

∂ 2

∂ϕ 2

H = − ~ 2 2µ 1 r

∂ 2

∂r 2 r + 1

2µr 2 L ~ 2 + V (r)

L i

θ, ϕ

h H, ~ L i

= 0 → L i

h H, ~ L 2 i

= 0

L i , ~ L 2

~ L 2 , L z

H, ~ L 2 , L z

⇒

Hϕ(~r) = Eϕ(~r)

L ~ 2 ϕ(~r) = ~ 2 l(l + 1)ϕ(~r) L z ϕ(~r) = ~ mϕ(~r)

ϕ(~r) = R(r)Y l m (θ, ϕ)

E kl

R(r) = 1 r u(r)

µ

V ef f (r) = V (r) + l(l+1) 2µr 2

r ≥ 0

| u (r) | 2

V (r)

→

1

− 4πδ (r)

R (r) ∼ r l .

u (r)

u (r) ∼ r 1

R (r)

u kl (0) = 0.

V (r)

ϕ klm (r, θ, ϕ) = R (r) Y l m (θ, ϕ)

E kl

(2l + 1)

m = − l, − l + 1, ..., +l

E k,l

E k ′ ,l ′

l 6 = l ′

L 2 →

Y l m (θ, ϕ)

m 1 , m 2

~r 1 , ~r 2

V = V (~r 1 − ~r 2 )

L(~r 1 , ~r 2 , ~ ˙ r, 1 ~ ˙ r, t) = 2 T − V = 1 2 m 1 ~ ˙ r 2 1 + 1 2 m 2 ~ ˙ r 2 2 − V (~r 1 − ~r 2 )

~ p 1 = ∂L

∂ ~ r 1 =m 1 ~ ˙ r 1 , ~ p 2 = m 2 ~ ˙ r 2

~r G = m 1 m ~ r 1 1 +m +m 2 2 ~ r 2

~r = ~r 1 − ~r 2

~r 1 = ~r G + m 1 m +m 2 2 ~r, ~r 2 = ~r G − m 1 m +m 1 2 ~r L(~r G , ~ ˙ G r, ~r, ~r, t) = ˙ 1 2 M ~ ˙ 2 G r + 1 2 µ ~ ˙ r 2 − V (~r)

M = m 1 + m 2

µ = m m 1 1 +m m 2 2

= | ~r × µ~v | = µr | ~v _⊥ |

E = E kin + E pot = ^µ ₂ v _r ² + ^µ ₂ v _⊥ ² + V (r) E = ¹ ₂ µv ² _r + _2µr ^L ² 2 + V (r)

H = ^p _2µ ² ^r + _2µr ^L ² 2 + V (r) p r = _∂v ^∂L _r = µv r , L = T − V

p r = µ ^dr _dt

L ~ ²

L ~ ² = p ² _θ + _sin ¹ 2 θ p ² _ϕ

− 2µ ^~ ² ∆ + V (r) i

∆ = ¹ _r _∂r ^∂ ² 2 r + _r ¹ 2

∂ ²

∂θ ² + _tan ¹ _θ _∂θ ^∂ + _sin ¹ 2 θ

∂ ²

∂ϕ ²

L ~ ²

~ L ² = − ~ ² ∂ ²

∂θ ² + 1 tan θ

∂θ + 1 sin ² θ

∂ ²

∂ϕ ²

H = − ~ ² 2µ 1 r

∂ ²

∂r ² r + 1

2µr ² L ~ ² + V (r)

h H, ~ L ² i

L i , ~ L ²

~ L ² , L z

H, ~ L ² , L z

L ~ ² ϕ(~r) = ~ ² l(l + 1)ϕ(~r) L z ϕ(~r) = ~ mϕ(~r)

ϕ(~r) = R(r)Y _l ^m (θ, ϕ)

R(r) = ¹ _r u(r)

V ef f (r) = V (r) + ^l(l+1) _2µr 2

| u (r) | ²

R (r) ∼ r ^l .

u (r) ∼ r ¹

ϕ klm (r, θ, ϕ) = R (r) Y _l ^m (θ, ϕ)

E k ^′ ,l ^′

l 6 = l ^′

L ² →

Y _l ^m (θ, ϕ)

L(~r 1 , ~r 2 , ~ ˙ r, 1 ~ ˙ r, t) = 2 T − V = ¹ ₂ m 1 ~ ˙ r ² ₁ + ¹ ₂ m 2 ~ ˙ r ² ₂ − V (~r 1 − ~r 2 )

~ p 1 = ^∂L

~r G = ^m ¹ _m ^~ ^r ¹ ₁ ^+m _+m ² ₂ ^~ ^r ²

~r 1 = ~r G + _m ₁ ^m _+m ² ₂ ~r, ~r 2 = ~r G − _m ₁ ^m _+m ¹ ₂ ~r L(~r G , ~ ˙ G r, ~r, ~r, t) = ˙ ¹ ₂ M ~ ˙ ² _G r + ¹ ₂ µ ~ ˙ r ² − V (~r)

µ = _m ^m ₁ ¹ _+m ^m ² ₂

~ p G = ^∂L

~ p = ^∂L

∂ ~ r ˙ = µ ~r ˙ = ^m ² _m ^~ ^p ¹ ⁻ ^m ¹ ^p ^~ ²

i=G,rel ~ p i ~ ˙ r i − L H (~r G , ~ p G , ~r, ~ p, t)stem = _2M ^p ^~ ² ^G + ^p _2µ ^~ ² + V (~r)

p ~ ˙ i = − ^∂H _∂~ _r _i

~ ˙ _G p = − ∂~ ^∂H r G = ~ 0

p = − ^∂H _∂~ _r = − ∇ ~ V (~r)

H r = ^~ _2µ ^r ² + V (~r)

R ~ G , ~ R : R ~ G = ^m ¹ _m ^R ^~ ¹ ₁ ^+m _+m ² ₂ ^R ^~ ² , ~ R = R ~ 1 − R ~ 2

P ~ G = P ~ 1 + P ~ 2 p ~ = ^m ² _m ^~ ^p ¹ ₁ ⁻ _+m ^m ¹ ₂ ^~ ^p ²

H = _2M ^P ^~ ^G ² + _2µ ^~ ^p ² + V ( R) ~

H G = _2M ^P ^~ ^G ²

H r = ^P _2µ ^~ ² + V ( R) ~

m P = 1, 7 · 10 ⁻ ²⁷ kg

m e = 9, 1 · 10 ⁻ ³¹

q P/e = ± 1, 6 · 10 ⁻ ¹⁹ C

V (r) = − _4πǫ ^q ₀ ¹ _r = − ^e _r ²

e ⁻ e ² = _4πǫ ^q ₀ ²

µ = _m ^m _e ^e _+m ^m ^p _p = m e (1 − ^m _m _p ^e )

− ^~ 2µ ² ∆ − ^e r 2 i

r u kl (r) · Y _l ^m (θ, ϕ)

  − 2µ ^~ ² d ²

dr ² + l(l + 1) ~ ² 2µr ² − e ²

µe ⁴

2~ ² = E I =

ρ = _a ^r

a 0 = _µe ^~ ² 2

− ^E _E ^kl _I h d ²

dρ ² − ^l(l+1) _ρ ² + ² _ρ − λ ² _kl i

ρ : h d ²

dρ ² − λ ² _kl i

u kl (ρ) ∼ e ⁽ ^± ^)λ ^kl ^ρ