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Separation der Variablen

Im Dokument Ψ( ~r,t =0) | | = ~k 2 πλ (Seite 58-0)

~ L

= | ~r × µ~v | = µr | ~v |

GesamtenergiedesTeilhens:

E = E kin + E pot = µ 2 v r 2 + µ 2 v 2 + V (r) E = 1 2 µv 2 r + 2µr L 2 2 + V (r)

klassisheHamiltonfunktion:

H = p 2 r + 2µr L 2 2 + V (r) p r = ∂v ∂L r = µv r , L = T − V

p r = µ dr dt

kanon. Impuls zur

L ~ 2

auszudrükendurh

r, θ, ϕ

und

p r , p θ , p ϕ

d.h.

L ~ 2 = p 2 θ + sin 1 2 θ p 2 ϕ

2. QM:

EW-Glg. desHamiltonoperators/Shrödingergleihung

h

− 2µ ~ 2 ∆ + V (r) i

ϕ (~r) = Eϕ (~r)

Vnurabh. vonr

Kugelkoordinaten. Mit

∆ = 1 r ∂r 2 2 r + r 1 2

2

∂θ 2 + tan 1 θ ∂θ + sin 1 2 θ

2

∂ϕ 2

L ~ 2

inKugelkoordinaten:

~ L 2 = − ~ 22

∂θ 2 + 1 tan θ

∂θ + 1 sin 2 θ

2

∂ϕ 2

H = − ~ 2 2µ 1 r

2

∂r 2 r + 1

2µr 2 L ~ 2 + V (r)

8.2 Separation der Variablen

L i

wirkennur

θ, ϕ

vertaushenmitjedemOperatordernuraufrwirkt.

h H, ~ L i

= 0 → L i

KonstantederBewegung

ebenso

h H, ~ L 2 i

= 0

.

Da die

L i , ~ L 2

niht alle untereinander vertaushen, verwenden wir nur

~ L 2 , L z

.

H, ~ L 2 , L z

vertaushenpaarweise.

Möglih Basis des Zustandsraumszu nden, derenElemente gleihzeitig Eigenfunktionenzudiesen3Observablensind.

Hϕ(~r) = Eϕ(~r)

L ~ 2 ϕ(~r) = ~ 2 l(l + 1)ϕ(~r) L z ϕ(~r) = ~ mϕ(~r)

D.h.Niveauswerdennah E,l,mklassiziert.Suhen LösungenderForm:

ϕ(~r) = R(r)Y l m (θ, ϕ)

EnergieEhängtabvonlundeinemweiterendiskreten(Bindungszustände)

oderkontinuierlihen(Streuzustände)Indexk:

E kl

ÜbergangzuFunktion u:

R(r) = 1 r u(r)

DieseGleihungistanalogzudereineseindimensionalenProblems,beidem

siheinTeilhenderMasse

µ

ineinemeektivenPotential

V ef f (r) = V (r) + l(l+1) 2µr 2

bewegt.

Ahtung:

r ≥ 0

! und

| u (r) | 2

integrabelbzgl. dr.

Verhaltender Lösungen beikleinemr: Annahme:

V (r)

beir

0

reguläroderwenigersingulärals

1

− 4πδ (r)

nihtLösungenderShrödingerglg.

Bleibt nur Lösung

R (r) ∼ r l .

Also vershwindet

u (r)

beir=0.

u (r) ∼ r 1

(fürl=0).

R (r)

gehtgegeneineKonstante(fürl=0)odervershwindetfürl>0.

AlsofügeDGL dieBedingunghinzu

u kl (0) = 0.

Wellenfkten von H eines Teilhens in einem Zentralpotential

V (r)

hängen

von3Indizes ab:

ϕ klm (r, θ, ϕ) = R (r) Y l m (θ, ϕ)

DieEnergieniveaus

E kl

sind

(2l + 1)

-fahentartet:

zufesetemk,l:

m = − l, − l + 1, ..., +l

DieseEntartungexistiertfüralleFormendesPotentials:wesentlihe

Entar-tung.Möglih,dassEW

E k,l

derRadialgleihungzugegebenenlnohmalsals EW

E k ,l

derdurh

l 6 = l

harakterisiertenRadialgleihungauftritt:zufällige Entartungen (z.B.beiH).

Die Radialgleihung hatfürgegebenesl hähstenseinephysikalish

akzep-tableLösung.

ZurEindeutigkeit:

MitEW von

L 2

Gleihung fürRadialfunktionEW vonHlegt diese Ra-dialfunktioneindeutigfest. Zu gegebenemPaar(l,m) existiertnur eine

Kugel-ähenfunktion

Y l m (θ, ϕ)

.

8.4 System aus 2 Teilhen

2TeilhenohneSpin,Massen

m 1 , m 2

,Ortsvektoren

~r 1 , ~r 2

V = V (~r 1 − ~r 2 )

Klassish:

L(~r 1 , ~r 2 , ~ ˙ r, 1 ~ ˙ r, t) = 2 T − V = 1 2 m 1 ~ ˙ r 2 1 + 1 2 m 2 ~ ˙ r 2 2 − V (~r 1 − ~r 2 )

KonjugierteImpulse:

~ p 1 = ∂L

∂ ~ r 1 =m 1 ~ ˙ r 1 , ~ p 2 = m 2 ~ ˙ r 2

Massenmittelpunkt:

~r G = m 1 m ~ r 1 1 +m +m 2 2 ~ r 2

und

~r = ~r 1 − ~r 2

~r 1 = ~r G + m 1 m +m 2 2 ~r, ~r 2 = ~r G − m 1 m +m 1 2 ~r L(~r G , ~ ˙ G r, ~r, ~r, t) = ˙ 1 2 M ~ ˙ 2 G r + 1 2 µ ~ ˙ r 2 − V (~r)

mitderGesamtmasse

M = m 1 + m 2

undderreduziertenMase

µ = m m 1 1 +m m 2 2

KonjugierteImpulse

~ p G = ∂L

∂ ~ ˙ G r = M ~ ˙ G r = m 1 ~ ˙ r+m 1 2 ~ ˙ r 2 = ~ p 1 +~ p 2

Gesamtipuls

~ p = ∂L

∂ ~ r ˙ = µ ~r ˙ = m 2 m ~ p 1 m 1 p ~ 2

1 +m 2

Relativimpuls

KlassisheHamiltonfunktion

H = P

i=G,rel ~ p i ~ ˙ r i − L H (~r G , ~ p G , ~r, ~ p, t)stem = 2M p ~ 2 G + p ~ 2 + V (~r)

Bewegungsgleihungen

p ~ ˙ i = − ∂H ∂~ r i

~ ˙ G p = − ∂~ ∂H r G = ~ 0

RuhesystemdesMassenmittelpunktsMMP

~ ˙

p = − ∂H ∂~ r = − ∇ ~ V (~r)

WählendasRuhestystemdesMMP:Hamiltonfunkton:

H r = ~ r 2 + V (~r)

QM:Operatoren

R ~ 1 , ~ P 1 , ~ R 2 , ~ P 2

mit

[X 1 , P 1X ] = i ~

[X 2 , P 2X ] = i ~

analog....?

Observablen

R ~ G , ~ R : R ~ G = m 1 m R ~ 1 1 +m +m 2 2 R ~ 2 , ~ R = R ~ 1 − R ~ 2

unddieObservablen

P ~ G = P ~ 1 + P ~ 2 p ~ = m 2 m ~ p 1 1 +m m 1 2 ~ p 2

ManndetdieKummutator-Relationen:

[X G , P GX ] = i ~ [X, P X ] = i ~

{ R, P ~ }

vertaushtmit

{ R ~ G , ~ P G }

Hamilton-Operator:

H = 2M P ~ G 2 + ~ p 2 + V ( R) ~

d.h.

H = H G + H r

mit

H G = 2M P ~ G 2

und

H r = P ~ 2 + V ( R) ~

und

[H G , H r ] = 0

dasheiÿtesgibteineBasisausEVzu H,diegleihzeitig EVzu

H G

und

H r

sind.WirsuhendieLösungendesSystems

H G | ϕ >= E G | ϕ > H r | ϕ >= E r | ϕ >

mit

E = E G + E r

8.5 Das Wasserstoatom

besteht aus einem Proton mit

m P = 1, 7 · 10 27 kg

und einem Elektron mit

m e = 9, 1 · 10 31

kg mitderLadung

q P/e = ± 1, 6 · 10 19 C

WWelektrostatish,potentielle Energie

V (r) = − 4πǫ q 0 1 r = − e r 2

r:Abstandzwishenp und

e e 2 = 4πǫ q 0 2

Überlegungenaus(Systemaus2Teilhen)BeshränkgungaufRuhesystem

desMMP.Auÿerdem:

µ = m m e e +m m p p = m e (1 − m m p e )

InderOrtsdarstellunghabenwirdieEW-GleihungdesHamiltonOperators:

h

~2 ∆ − e r 2 i

ϕ(~r) = Eϕ(~r)

WirhabeneinZentralpotential:

ϕ klm (~r) =

R kl (r)

z }| { 1

r u kl (r) · Y l m (θ, ϕ)

 

  − 2µ ~ 2 d 2

dr 2 + l(l + 1) ~ 2 2µr 2 − e 2

r

| {z }

V ef f (r)

 

 

u kl (r) = E kl u kl (r)

(*)

und

u kl (0) = 0

(bildvonnemPotential)

E > 0

kontinuierlihesSpektrum

E < 0

diskretesSpektrum

Dividieren (*)durh

µe 4

2~ 2 = E I =

Ionisierungsenergie wählendimensionsloseVariablen:

ρ = a r

0

mitBahn-Radius

a 0 = µe ~ 2 2

wirbetrahten

E kl < 0

und

λ kl = q

E E kl I h d 2

2l(l+1) ρ 2 + 2 ρ − λ 2 kl i

u kl (ρ) = 0

LösungderRadialgleihung:VerhaltenfürgroÿeAbstände

ρ : h d 2

2 − λ 2 kl i

u kl (ρ) = 0

Lösungenhiervonsind

u kl (ρ) ∼ e ( ± kl ρ

modulo Polynomin

ρ

,+wirdausgeshlossenwegenNormierbarkeit.

Ansatzfür

u kl (ρ) = e λ kl ρ Y kl (ρ)

DGLfür

Y kl :

u ′′ kl = λ 2 kl e λ kl ρ Y kl + ( − 2λ kl )e λ kl ρ y kl + e λ kl ρ Y kl ′′

h d 2

2 − 2λ kl d

dρ − l(l+1) ρ 2 + 2 ρ i

Y kl (ρ) = 0

und

Y kl (0) = 0 ( △ )

Potenzreihenansatz:

Y kl (ρ) = ρ S P

q=0

c 1 ρ q

und

c 0 6 = 0

vorausgesetzt.

( △ ) ⇒ s > 0

Ableitungen:

d

dρ Y kl (ρ) = P

q=0

(q ± s)c q ρ q+s 1

d 2

2 Y kl (ρ) = P

q=0

(q + s)(q + s − 1)c 1 ρ q ± s 2

Einsetzen inDGLfür

ρ :

AlleKoezientenmüssengleihnullsein.

TerminniedrigsterOrdnungin

ρ ∼ ρ s 2

:

Koe=0

[ − l(l + 1) + s(s − 1)] c 0 = 0

-(Rehnung)

s = l − 1

oder

s = − l

nihtakzeptiert.

Mit

s = l + 1

undForderungKoezientenvon

ρ q+s 2 = 0

Rekursionsformel:

q(q + 2l + 1) = 2 [(q − l)λ kl − 1] c q − 1

Verhaltenfürgroÿe

q : c q c q

− 1 = 1 q 2 [(1 + l)λ kl − 1]

q + 2l + 1

| {z }

2λ kl

−→ q →∞ 2λ kl

q → 0

Wirhabenalsofür

[(q + l)λ kl − 1] 6 = 0

:

c q c q

− 1 ∼ q →∞ q kl

PotenzreihenentwiklungderFunktion

e 2ρλ kl e 2ρλ kl = P

q=0

dqρ q

mit

d q = (2λ q! kl ) q

Hieraus.

d q

d q−1 = 2 λ q kl

VLG: Betrahte Reiheverhält sihfürgroÿe

ρ

wie

e 2ρλ kl

physikalishniht sinnvoll

Alle Fälleauszushlieÿen,fürdiedieReihenihtabbriht

einzig

möglihen Werte von

λ kl

sind die, für die die Reihe nur eineendlihe Anzahl

vonTermen hat,d.h.

Y kl (ρ)

sihauf ein Polynomreduziert. Suhen alsok, so

dassfür

q = k

.

(k + l)λ kl − 1 = 0 ⇒ λ kl = k+l 1 k ≥ 1

DieeinzigmöglihendiskretenEnergieEW sindalso

λ kl = q

E E kl I

E kl = − (k+l) E I 2 , k = 1, 2, ....; l = 0, 1, ...

______Vorlesung 18.und21.Junifehlen(Southside)______________

B ~

konstant

⇒ H = H 0 + H 1 + H 2

H 0 = ~ p 2 + V ( R ~

);

H 1 = − µ ~ B ~ L · B ~ µ B = ~ q

H 2 = q 2 B ~ 2 R ~ 2 ; ∆E 0 ≫ ∆E 1 ≫ ∆E 2

InterpretationdesparamagnetsihenTerms

magnetishesMoment

M ~ ,

daszueinerLadungqaufeinerKreisbahngehört:

M ~ = 2m q e ~ L ⇒

QM:Operatorgleihung

M ~ 1 = 2m q e ~ L

sodass:

H 1 = − M ~ · B ~

H 1

entspriht also der Kopplung zwishen dem magnetishen Feld

B ~

und

dematomarenmagnetishenMoment

H 1

paramagntish Kopplungsterm:

ˆ DieEWeinerjeden Komponentedesmagnetishen Moments

µ B

gibtdie GröÿenordnungdeszurBahnbewegunggehörenden ma-gnetishenMomentes

ˆ Elektron hat auh einen inneren Spin

M ~ S = 2 µ ~ B S ~

, 2=g,

gyroma-gnetsihesVerhältnis

InterpretationdesdiamagntetishenTerms

Sei Drehimpuls=0(Grundzustand)

H 1 = 0.

Bleibt

H 2

. Homogenes

Ma-gnetfeldmodiziertWahrsheinlihkeitsstrom.MitzugehörigemelektrishenStrom

istmagnetishesMoment

D M ~ dia

E

antiparallelzu

B ~

verbunden

positive

Kol-lungsenergie.

M ~ dia

istproportionalzurGröÿedesmagnetishenFeldes.Eshandeltsihum dasdurh

B ~

induziertemagnetsiheMomentimAtom.Entgegen

B ~ −

Rihtung

B ~

wirdgeshwäht(LenzsheRegel).

Kopplungsenergiemit

B ~

(

B ~

langsamangeshaltet)

9 Streutheorieinder niht-relativistishen

Quan-tenmehanik

Streuexperimente:Information über Wehselwirkung (WW) zwishen

(funda-mentalen)Teilhen.

ˆ VerhalteninStreuexperimenten

1. Hohenergiephysik

L<1fm

∼ 10 5 A

°

E>16eV

Streuproben

Bsp:

e + e : LEP (CERN ) ∼

200GeV

PP:LHC14TeV

P P

Tevatron2TeV

2. Kernphysik

L

∼ 10f m

(atomkern)

E

∼ 1M eV

Bsp:Gold-GoldKollisionen

∼ 100GeV

Quark-GluonPlasma 3. Atomphysik

L

∼ 1

E

∼ eV

Bsp:OptisheSpektroskopie

4. PhysikderkondensiertenMaterie

L ∼ → ∞ E ∼ meV − eV

Bsp: Röntgenstreuung, Photoemission, Optishe Spektroskopie,

Neutro-nenstrahlung

9.0.1 Strahl von Teilhen auf Stationäres Target

skizze)

Vorteil:BeigenügenderDihtedesTargetsvollerGebrauhdeseinlaufenden

Strahls

Nahteil:EnergieimShwerpunktsystemreduziert

Laborsystem:

E = 1 2 mv 2

Shwerpunktsystem:

E = 1 2 m v 4 2 · 2 = 1 4 mv 2

Vorteil:EnergieimShwerpunktsystem

E = P

Strahlenergien

Nahteil:StarkeFokussierungamWW-Punkterforderlih,umgenügend

ho-heRatenzuerziehlen

Wir betrahten nur elastishe Streuung: Innere Zustände der Teilhen

un-verändert

Potentialstreuung: FolgendeAnnahmenfürStreuungamtarget

1. TeilhenhatkeinSpin

2. InnereStrukturderTeilhenunberüksihtig

3. Target istsehrdünn,Mehrfahstreuprozessesindvernahlässigbar

4. KeineKohärenzzwishenanvershiedenenTarget-Teilhen

gestreu-tenWellen

5. WW zwishen Teilhen durh

V (~r 1 − ~r 2 )

beshreibbar

im

Ruhe-systemdes Shwerpunkts: Streuung eines Teilhens mitredzuzierter

Masse

µ

amPotential

V = V (~r), ~r = ~r 1 − ~r 2

Niht-relativistisheBehandlung

9.1 Stationäre Streuzustände

ZweiBeshreibungsmöglihkeiten:

1. Wellenpakete(einzelnesTeilhen)

2. StationäreStreuwelle(Teilhenstrahl)

Beideäquivalent.2.meistenseinfaher.Zu2.:

H = H 0 + V (~r) H 0 = ~ p 2

Annahme:

V (~r)

fallefür

| ~r | → ∞

shnellerabals

| ~ 1 r |

.

SuheLösungen

ψ(~r, t) = ϕ(~r)e iEt/~

mit

Hϕ = Eϕ

,

E > 0

(E=kinetisheENergieweitwegvomSteuzentrum)

△ + k 2 − V (~r)

ϕ(~r) = 0 ( ∗ )

mit

U (~r) := ~ 2 V (~r)

und

E := ~ 2 k 2

ImAllgemeinen:

vieleLösungenvon(*)zugegebenemE!

Idee:RandbedingungenentsprehndderphyiskalishenSituation.

Ansatz:WeitwegvomStreuzentrum

V ⋍ 0 H ⋍ H 0

fürgroÿe

| ~r |

:

ϕ (dif f k ) (~r) ⋍ e ikz

|{z}

einlauf end

+ f k (θ, ϕ) · e ikr

| {z r }

auslauf end

ˆ

e ikz ,

EbeneWellein z-Rihtung

ˆ

e ikz ,

Teihenstrahlinz-Rihtung löst(*)fürgroÿe

| ~r |

ˆ

e ikr

r ,

Kugelwelle

△ + k 2 e ikr

r = 0

f k (θ, ϕ) e ikr r ,

KugelwellemitrihtungsabhängigerIntensität.

,

GestreuterStrahl

löst(*)ebenfallsfürgroÿe

| ~r |

ˆ

f k (θ, ϕ)

löstStreuamplitude

ˆ Experiment:Bestimmungvon

| f k (θ, ϕ) | 2

Theorie:Zusammenhang

f k (θ, ϕ) ↔ V (~r)

ˆ Kannzeigen:DieseRandbedingungenxierenLösungeindeutig!

(An-nahmean

V (~r)

wihtig!)

BeshreibungdurhWellenpakete:(ZurVereinfahungnur inz-Rihtung)

ψ(~r, t) = ˆ ∞

0

A(k)ϕ (dif f) k (~r)e iE k t/ ~ dk

Amit Maximumbei

k 0

(bildmit peakank_0,kx-ahse,Ay-ahse)

ψ(~r, t) ⋍ ˆ

0

dkA(k)e ikz e iE k t/hbar + ˆ

0

A(k)f k (θ, ϕ) e ikr

r e iE k t/~

BewegungdeMaxima: MIt

v g = ~k µ 0

undrgroÿ,

Z einl. (t) = v g t, r ausl. (θ, ϕ, t) = − α k (θ, ϕ)

| {z }

<0

+v g t

t < 0

keinMaximumin auslaufenderWelle.

(bildvonWellewihesihinz-Rihtungfortbewegt;beiErreihendes

Streu-zentrums hatdie Welle eineForm,die sih niht so leiht interbretierenlässt;

theta=WinkelvomStreuzentrumaus,Peaksineinembest.Abstandvom

Streu-zentrum)

9.2 Stromdihten, Streuquershnitt

InterpretationderStreuwellenalsTeilhenströme:

ZurWellenfunktion

ϕ(~r)

gehörigerStrom:

J ~ (~r) = 1 µ Re

ϕ ~

i ∇ ~ ϕ

ϕ (dif f ) ,

rgroÿ:

DenitiondesStromquershnitts

Wirkungsquershnitts

dΩ := J a · ( J e Ωr 2 ) 1 = | f (θ, ϕ) | 2

=(ZahlbeobahteterTeilhenimDetektor/

△ Ω

/Zeiteinheit)/(ZahleinlaufenderTeilhen/FläheF/Zeiteinheit) Dimension:

f ∼ L, dΩ ∼ F l¨ ache!

σ total := ´

dΩ dΩ

=totalerWirkungsquershnitt

ImExperimentmisstmanZählraten,diezu

J e

sowiezurAnzahlder

Streu-zentrenproportionalsind.

WiederholungderletzetenVorlesung:

Stromdihten,Streuquershnitt

r 2

nurin auslaufenderradialerRihtung StromdurhFläheFnahauÿen

´

F dF ~ j e = 0

ˆ

SheinbarerKoniktmitStromerhaltung!

Lösung.INterferenztermzwisheneinfallender

(φ k (~r))

undgestreuter

(ψ k (~r))

Welle.

+h..=dasgleihenohmalnurhermitishkonjugiert

Ziel:Zeige,dassderInterferenztermeinennegativenBeitraginVorwärtsrihtung(

θ = 0)

liefert.

Fürbeliebige

cosθ 6 = 1

liefertdershnelloszillierendePhasenfaktor

e ikr

nah

FaltungmitdemWellenpaket

A k 0

~k

Null.

DerBeitragnurimBereih

1 ≧ cosθ ≧ 1 − ǫ, ǫ ≪ 1

ˆ

d ~ F ~ J int (~r) = ´

dΩr 2 ~e r J ~ int (~r) = N 2 ~ k 2mr r 2 N 2 π ~ r

m 2

ikr e ikrx + 1 ikr

1 ikr − x

e ikrx

ǫ 0

· f (0) + h.c.

Termmit

e ikrǫ

shnelloszillierend:trägtfürgroÿernahFaltungmit

A k 0 (~k)

nihtbei.StationärePhasenurbeix=0.(VernahlässigenTerm

∼ r 1 2

gegenüber

1

r

,da

r ≫ 1

)

.... = N 2 π ~ kr m

− 2

ikr f (θ = 0) + h.c.

= N 2 4π ~

m Im (f (θ = 0))

= − 4π J ~ e

k Im (f (θ = 0))

⇒ J ~ e

σ tot −

J ~ e

k Im (f (θ = 0)) = 0

OptishesTheorem.

σ tot = k Im (f (θ = 0))

Anmerkungen

1. BisGesagtesgiltnurfürPotentialemitendliherReihweite.

Insesonderemuss

σ tot

endlih sein.(Giltalsonihtfür

V (r) ∼ 1 r

)

Umgekehrt:PotentialunendliherReihweiter

σ tot = ∞

2. OptishesTheoremgiltauh, wennTeilhenbeiderStreuung

vershwin-den

3. fhatimmerImaginärtiel,wennStreuungauftritt

4. Für

k → 0

muss

Im (f (θ = 0)) ∼ k

,damit

σ tot

nihtdivergiert.

9.4 Integralgleihung für die gestreute Welle

AufstelleneinerIntegralgleihung,derenLösungdieWellenfktenensind.diezu

denStreuzuständengehört.

EW-GleihungvonH:

∆ + k 2

ϕ(~r) = U (~r)ϕ(~r); V (~r) = ~ 2

2µ U (~r) ( ∗ )

Annahme:esgibteineGreensheFkt.

G(~r)

desOperators

∆ + k 2

,so dass

(∆ + k 2 )G(~r) = δ(~r)

ϕ(~r) = ϕ 0 (~r) + ˆ

d 3 r G(~r − ~r )U (~r )ϕ(~r ) ( △ )

mit

ϕ 0 (~r)

LösungderhomogenenGleihung

∆ + k 2

ϕ 0 (~r) = 0

ErfülltdieDGL.(Anm:

wirktnurauf Variable

~r

.)

Denn

∆ + k 2

ϕ 0 (~r) = ∆ + k 2 ˆ

d 3 r G(~r − ~r )U (~r )ϕ(~r )

= ˆ

d 3 r δ(~r − ~r )U (~r )ϕ(~r ) = U (~r)ϕ(~r)

Umgekehrt kann man zeigen, dass jede Lösung von (*) die Gleihung

( △ )

erfüllt.

MitderrihtigenWahlvon

ϕ 0 (~r)

und

G(~r)

kanndasasymptotisheVerhalten

ψ k (~r) ∼ r →∞ e ikz + f (θ, ϕ) e ikr r

in dieGleihungeingebautwerden.

Die

G ± (~r) = − 4π 1 · e ± r ikr

sindLösungenvon

(∆ + k 2 )G(~r) = δ(~r)

.

_______Vorlesung7.Julifehlt__

Vorlesung09.Juli

V ≡ 0

AsymptotisheVerhalten

ϕ (0) klmkr →∞ − r 2k 2

π Y l m (θ, ϕ) e ikr e il π 2 e ikr e il π 2 2ikr

e ikz = X ∞ i=0

i l p

4π(2l + 1)j l (kr)Y l 0 (θ)

= X ∞ l=0

i l (2l + 1)j l (kr)P l (cosθ)

9.4.1 Partialwellen im Potential V(r)

ϕ klm (~r) = R kl (r)Y l m (θ, ϕ) = 1

r u kl (r)Y l m (θ, ϕ)

mit

u kl (r)

LösungderRadialgleihung

− ~ 2

d 2

dr 2 + l(l + 1) ~ 2

2µr 2 + V (r)

u kl (r) = ~ 2 k 2 2µ u kl (r)

mitBedingung

u kl (0) = 0

Fürgroÿerndetman

u kl (r) ≅ r →∞ C · sin(kr − l π 2 + δ l )

Pasenvershiebung

δ l

heiÿt Streuphase.

PhysikalisheBedeutungderStreuphase

ϕ klm (~r) ≅ r →∞ C sin(kr − l π 2 + δ l )

r Y l m (θ, ϕ)

= − CY l m (θ, ϕ) e ikr e i(l π 2 δ l ) − e ikr e i( π 2 δ l ) 2ir

Vergleihmit freierKugelwelle:Modikationvon

ϕ (r) klm

˜

ϕ klm (~r) ≅ r →∞ − Y l m (θ, ϕ) e ikr e il π 2 − e ikr e il π 2 e 2iδ l 2ikr

9.4.2 Streuquershnitt als Funktion der Streuphasen

RotationssymmetrieumStreuahsebedeutetkeineAbhängigkeitvon

ϕ ψ k (~r) =

X ∞ l=0

˜ ϕ kl

BestimmungderKoezienten

c l :

Herleitungintuitiv:

V (r) ≡ 0 : ψ k (~r) = e ikz

undPartialwellen=freieKugelwellen

e ikz = X ∞ i=0

i l p

4π(2l + 1)j l (kr)Y l 0 (θ) ( ∗ ) V (r) 6 = 0 : ψ k (~r)

ψ k (~r) = P

l=0 i l p

4π(2l + 1) ˜ ϕ klo (~r) ( △ )

Herleitungexplizit:Zeigen,dass

( △ )

diegesuhteEntwiklungist

X ∞

l=0

i l p

4π(2l + 1) ˜ ϕ klo (~r)

r →∞ − X ∞ l=0

i l p

4π(2l + 1)Y l 0 (θ) e ikr e il π 2 − e ikr e il π 2 e 2iδ l 2ikr

Mit

e 2iδ l = 1 + 2ie l sinδ l

⇒ X ∞ l=0

i l p

4π(2l + 1) ˜ ϕ klo (~r)

r →∞ − X ∞ l=0

i l p

4π(2l + 1)Y l 0 (θ)

e ikr e il π 2 − e ikr e il π 2 2ikr − e ikr

r 1

k e il π 2 e l sinψ

k 2 (2l + 1)

Partialwellenunitarität PartialwellenundStreuphasenbestimmung

Beitragvon

δ 0 :

isotrop

Beitragvon

δ 1 : ∼ cos 2 θ ⇒

Messung

⇒ δ 0 , δ 1

Intferenzterm:

∼ cosθ

Konstistenztest:TauhenhöherePotenzenin

cosθ

auf?

Wirhatten

f k (θ, ϕ) = P

l (2l + 1)f l P l (cosθ)

mit

f l = 1 k e i sinδ l P l (cosθ = 1) = 1

⇒ f k (θ, ϕ) = 1 k P

l (2l + 1)e l sinδ l

und

Im f k (0, ϕ) = 1 k P

l (2l + 1)sin 2 δ l

Mit

σ l = k 2 (2l + 1)sin 2 δ l

und

σ tot = P

l σ l

σ tot = k Im f k (0, ϕ)

OptishesTheorem

10 Stationäre (zeitunabhängige) Störungstheorie

10.1 Problemstellung

Störungstheorieanwendbar,wennHamiltonoperator vonderForm

H = H 0 + W

EigenzuständeundEWvon

H 0

bekannt,und

W ≪ H 0

H 0 :

ungestörterHamiltonoperator, W:Störung;

SeiWunabhängigvonderZeit:stationäreStörung

W = λ W λ ˆ ≪ 1

(daW

≪ H 0 ) λ

=Entwiklungsparameter

W ˆ =

Matrixelementevergleihbarmitdenenvon

H 0

Eigenwertgleihungvon

H 0 :

H 0 | ϕ i p >= E 0 p | ϕ i p >

p:zählt Niveaus(Annahme:diskretesSpektrum)

i:zählt Entartung

0 ,

ungestörtesProblem

| ϕ i p >

orthonormiert,vollständig

D ϕ i p | ϕ i p

E

= δ pp δ ll

orthonormiert

P

p,i

ϕ i p ih ϕ i p

= 1

vollständig

Mit Störung:Suhe EW und EZ als Funktion von

λ,

ausgedrükt

E p 0

und

| ϕ i p >

Hamilton-Operator mitStörung:

H(λ) = H 0 + λ W ˆ

(Skizzemit

E i 0

aufdery-Ahseund

λ

auf derx-Ahse)

__________Vorlesung14.Julifehlt___________

vorlesung16.juli

E n (λ) = E n 0 + h ϕ n | W | ϕ n i + X

p,i;p 6 =n

ϕ n | W | ϕ p ϕ p | W | ϕ n

E n 0 − E p 0 + O (λ 3 )

| ψ n (λ) >= | ϕ n > + X

p 6 =n

ϕ p | W | ϕ n

E n 0 − E p 0 | ϕ i p > + O (λ 2 )

E n 0

sei

g n −

fahentartete(

g n ≥ 1, < ∞ )

Prtoblem:

| 0 >

ist niht mehr eindeutig festgelegt

ǫ 0 = E 0 n

da

H 0 | 0 >=

ǫ 0 | 0 >

kann durh jedeLinearkombinationder

g n

Vektroen

| ϕ i n > (i = 1, ...g n )

enfülltwerden.

Störung:

E n 0

spaltet in mehrereUnterniveaus auf Anzahl der Unterniveaus

f n : 1 ≤ f n ≤ g n

f n < g n

einigeUnterräumeentartet

Ausgangspunkt:

H 0 | 1 > + ˆ W | 0 > − (ǫ 1 | 0 > +ǫ 0 | 1 >) = 0

Projektionauf

| ϕ i n >, i = 1, ...., g n :

* ϕ i n | H 0

| {z }

E 0 ni n |

| 1 +

+ D

ϕ i n | W ˆ | 0 E

− (ǫ ϕ i n | 0

+ ǫ 0 ϕ i n | 1

= 0

(H 0

isthermitesh)

D

ϕ i n | W ˆ | 0 E

= ǫ 1 ϕ i n | 0

( ∗ )

| 0 >= P g n

j=1 | ϕ i n ih ϕ i n | 0 >

( ∗ )

g n

X

j=1

D ϕ i n | W ˆ | ϕ i n E

| {z } g n + g n M atrixel.

| {z }

≡( ˆ W (n)

ϕ j n | 0

| {z }

V ek − el.d.Dim g n

= ǫ 1

ϕ i n | 0

⇒ w ij ϕ j = ǫ 1 ϕ i

EW-Gleihung

h . | W | . i

10.3 Gestörter harmonisher Oszillator

10.3.1 Störungdurh ein linearesPotential

H 0 = p 2 2m + 1

2 mω 2 X 2

mitdenEV

| ϕ n >

undEW

E n 0 = (n + 1 2 ) ~ ω

Störung:

W = λ ~ ω X ˆ = λ ~ ω r ωm

~ X λ ≪ 1, ~ ω X ˆ ∼ O (H 0 )

H = H 0 + W

V 0 + H = 1

W = 1

2 ρ ~ ω X ˆ 2 = 1

2 ρmω 2 X 2 ρ ≪ 1 H = H 0 + W = p 2

2m + 1

2 mω 2 (1 + ρ)X 2 | · 1

2 mω 2 X 2 ω 2 = ω 2 (1 + ρ)

E n = (n + 1

2 ) ~ ω = (n + 1 2 ) ~ ω p

1 + ρ

EntwiklungderWurzel:

E n = (n + 1 2 ) ~ ω

1 + ρ

2 − ρ 2 8 + ...

Störungstheorie:

W = 1

4 ρ ~ ω(a + + a) 2

= 1

4 ρ ~ ω(a +2 + a 2 + a + a + aa + )

= 1

4 ρ ~ ω(a +2 + a 2 + 2a + a + 1)

niht-vershwindendeBeiträge:

h ϕ n | W | ϕ n i = 1

4 ρ ~ ω(2n + 1) h ϕ n+2 | W | ϕ n i = 1

4 ρ ~ ω p

(n + 2)(n + 1)

h ϕ n − 2 | W | ϕ n i = 1 4 ρ ~ ω p

n(n − 1)

E n = E n 0 + ρ

2 ~ ω(n + 1 2 ) + ρ 2

16 ~ 2 ω 2 (n + 2)(n + 1)

− ~ ω + ρ 2

16 ~ 2 ω 2 n(n − 1) 2 ~ ω

= E 0 n + ρ

2 ~ ω(n + 1

2 ) − (n + 1 2 ) ~ ω ρ 2

ρ + ....

= (n − 1 2 ) ~ ω

1 + ρ

2 − ρ 2 ρ + ...

Wasserstoatominstatishemel.Feldparallelzurz-Rihtung.

W s = qǫZ

;

ǫ =

El.Feld

1. quadratisherStark-Eekt

Niveaun=1,l=0,m=0Grundzustand

1.Ordung:

h n = 1, l = 0, m = 0 | n = 1, l = 0, m = 0 i ψ ψ 100 ∼ Y 0 0 = √ 1

W ∼ z, ψ 100

rotationssymm.

= − qǫ ´

d 3 r | f (r) | 2 z = 0

2.Ordnung

q 2 ǫ 2 P

n 6 =1;l ,m |h n l m | z | n=1,l=0,m=0 i| 2

(E 1 − E n′ ) 6 = 0

dennesgibt

n l m >

mitentgegengesetzeterParitätzu

| 100 >

Im Dokument Ψ( ~r,t =0) | | = ~k 2 πλ (Seite 58-0)