t 0 präpariert. Wird das System niht durh weitere Messungen oder andere äuÿere Einüsse gestört, dann ist seine Zeitentwiklung durh die lineare

Zeitentwiklung und Bilder

Zeit ist, was verhindert, dass alles auf einmal passiert!

John A. Wheeler

Durh Messungen eines vollständigen Satzes verträgliher Observablen seiein reiner Zu-

stand

|ψ(t 0 )i

t ₀

Shrödingergleihung bestimmt,

i ~ d

dt |ψi = H|ψi .

Der Zustandsvektor zu späteren Zeiten hängt oensihtlih linear vom anfänglihen Zu-

standsvektor

|ψ(t ₀ )i

|ψ(t)i = U (t, t 0 )|ψ(t 0 )i.

DerOperator

U(t, t 0 )

so versteht man das betrahtete System oenbar vollständig. Man überlässt das System

zur Anfangszeit

t 0

t

daraus geworden ist.

Für die Wahrsheinlihkeitsinterpretation ist es unumgänglih, dass die Norm eines

Zustandes zeitlihkonstant ist,

hψ(t)|ψ(t)i =

ψ(t 0 )|ψ(t 0 )

,

und wir erwarten, dass der Zeitentwiklungs-Operator

U

Propagator genannt) unitär sein sollte,

U ^† (t, t ₀ ) = U ⁻¹ (t, t ₀ ).

Warten wir von

t 0

t 1

t 1

t

t ₀

t

U (t, t ₁ ) U(t ₁ , t ₀ ) = U (t, t ₀ ).

Wenn wir gar niht warten, soändert sih das System niht,

U(t ₀ , t ₀ ) =

.

Die beiden letzten Bedingungen lassensihwie folgtzusammenfassen:

U (t, t 0 ) = U ⁻¹ (t 0 , t).

ImfolgendenAbshnitt werdenwir denZusammenhangzwishen demselbstadjungierten

Hamilton-Operator

H

U (t, t 0 )

5.1 Dysons Lösung der Shrödingergleihung

Setzen wir (5.2) in die zeitabhängige Shrödingergleihung (5.1) ein, so erhalten wir fol-

gende Gleihung für den Zeitentwiklungs-Operator

i ~ d

dt U (t, t ₀ ) = H(t)U (t, t ₀ ).

Diese lässt sihmit der Anfangsbedingung (5.6) formalintegrieren

U(t, t 0 ) =

+ 1 i ~

Z t

t

dt 1 H(t 1 )U (t 1 , t 0 ).

Diese Volterrashe Integralgleihung zweiter Art lösen wir mittels Iteration. Setzen wir

für

U(t 1 , t 0 )

U (t, t 0 ) =

+ 1 i ~

Z t

t

dt 1 H(t 1 ) + 1 (i ~ ) ²

Z t

t

dt 1 t

Z

t

dt 2 H(t 1 )H(t 2 )U (t 2 , t 0 ).

Dies lässt sih oenbar fortsetzen und führtshlieÿlihauf dievonNeumannshe Reihe

U (t, t 0 ) =

+

∞

X

n=1

U ⁽ⁿ⁾ (t, t 0 )

U ⁽ⁿ⁾ (t, t 0 ) = 1 (i ~ ) ⁿ

t

Z

t

dt 1 t

Z

t

dt 2 . . .

t

Z

t

dt n H(t 1 )H(t 2 ) . . . H(t n ).

Es ergibt sih eine formale Potenzreihe in

H

U ⁽ⁿ⁾

n

H

zur tiefsten Approximation

U ⁽⁰⁾ =

U ⁽ⁿ⁾

meinennihtvertaushen.DerOperatorzur frühestenZeitstehtrehts,derzur spätesten

Zeit links.

Zur weiterenUmformungdes Zeitentwiklungsoperatorsführenwir denZeitordnungs-

operator ein:

T A(t 1 )B (t 2 )

=

A(t 1 )B (t 2 )

t 1 > t 2

B(t 2 )A(t 1 )

t 2 > t 1

(5.11)

Die Zeitordnung des Produktes vonmehr alszwei Operatoren wird analog deniert: Der

Operator zur spätesten Zeit steht links, der zur zweitspätesten Zeit rehts daneben usw.

und der Operator zur frühsten Zeit steht ganz rehts. Wegen

Z

t>t

>...>t

>t

dt ₁ . . . dt _n H(t 1 ) · · · H(t n )

=

Z

t>t

>...t

>t

dt _σ(1) . . . dt _σ(n) H(t _σ(1) ) · · · H(t _σ(n) )

=

Z

t>t

>...t

>t

dt _σ(1) . . . dt _σ(n) T (H(t 1 ) · · · . . . H (t n ))

fürjedePermutation

σ

1, . . . , n

tationendie Dyson-Reihe

U ⁽ⁿ⁾ (t, t 0 ) = 1 n!

1 (i ~ ) ⁿ

t

Z

t

dt ₁ dt ₂ . . . dt _n T (H(t 1 )H(t 2 ) . . . H (t n )) .

Setzt man dieses Ergebnisin (5.10) ein, so resultiert diekompakte Darstellung des Zeit-

entwiklungsoperators im Shrödinger-Bild:

U (t, t 0 ) = T exp − i

~

t

Z

t

dt ^′ H(t ^′ )

!

.

DiesesResultatfür

U(t, t 0 )

zeitabhängigenStörungenuntersuht.FürkonkreteAnwendungenbenutztmanallerdings

nihtdieseeleganteForm,sondern dieDysonreihe(5.10).FürkonservativeSysteme ist

H

zeitunabhängig und

U (t, t 0 ) = e ^−iH(t−t

^{)/ ~} = U (t − t ₀ )

hängtnurvonder Zeitdierenz

t −t 0

Bei vielen Anwendungen mit zeitunabhängigem

H

expliziteZeitabhängigkeitzunden. ManentwikeltdenAnfangszustand

|ψ(0)i

Eigenzuständen

|ni

|ψ(0)i = X

n

α n |ni, H|ni = E n |ni.

Dann lautetdie Lösungder Shrödingergleihung

|ψ(t) = X

n

α _n e ^−iE

^{t/ ~} |ni.

Dies bedeutet, dass der Evolutionsoperator folgende Spektraldarstellunghat,

U(t) = X

n

e ^−iE

^{t/ ~} P n , P n = |nihn|.

Manbeweist leiht,dass derZustand (5.16)dieShrödingergleihung(5.1) erfülltundfür

t = 0

|ψ(0)i

H

Energie

E

|ψ(t) = e ^{−iEt/ ~} |ψ(0)i.

DieMultiplikationeine Vektors miteinerZahl ändertdendurhden Vektor repräsentier-

ten Zustand niht. Ist ein konservatives System in einem Eigenzustand der Energie, so

ändert sihdieser Zustand unter der Zeitevolutionniht.

5.2 Die Bilder der Quantenmehanik

Bisher haben wir ausshlieÿlih im sogenannten Shrödinger-Bild gearbeitet, in dem die

Zustandsvektorenzeitabhängigund dieden Observablenentsprehenden Operatoren (ge-

nerish) zeitunabhängig sind. Wir können mit Hilfe einer zeitabhängigen unitären Ähn-

lihkeitstransformationdieZeitentwiklungvondenZustandsvektorenaufdieOperatoren

überwälzen.

5.2.1 Der Übergang vom Shrödinger- zum Heisenbergbild

Der Erwartungswert einer Observablen beziehungsweise des entsprehenden Operators

A

ändert sihmit der Zeit gemäÿ

hAi(t) =

ψ (t)|A|ψ(t)

.

Die Zeitabhängigkeit rührt von der Evolution des Zustandsvektors. Wir setzen dessen

Zeitentwiklung (5.2) einund nden

hAi(t) = U (t, t ₀ )ψ(t ₀ )|A|U (t, t ₀ )ψ(t ₀ )

=

ψ(t ₀ )|U ^† (t, t ₀ )AU(t, t ₀ )|ψ(t ₀ ) .

Denierenwirnundenzeitabhängigen Operator

A H (t)

|ψ H i

A _H (t) = U ^† (t, t ₀ )A U(t, t ₀ )

|ψ H i = U ^† (t, t 0 )|ψ(t)i = |ψ(t 0 )i,

dann shreibt sih der Erwartungswert wie folgt,

hAi(t) =

ψ _H |A H (t)|ψ H i.

Die Umkehrung von(5.20) lautet

A = U (t, t 0 )A H (t)U ^† (t, t 0 )

|ψ (t)i = U (t, t ₀ )|ψ _H i.

In (5.21) haben wir die Zeitabhängigkeitvon Erwartungswerten auf die Zeitentwiklung

der Operatoren

A _H (t)

gigunddieOperatorenzeitabhängig.Indembetrahteten Shrödinger-Bild sind dagegen

die Zustände zeitabhängig und dieOperatoren zeitunabhängig. Man kann entweder ver-

suhen, die Zeitabhängigkeitder Zustände im Shrödinger-Bild oder der Operatoren im

Heisenberg-Bildzulösen.Zur anfänglihen Zeit

t ₀

in beidenBildern überein.

Beim Übergang vomShrödinger-zum Heisenberg-Bild istdieFormel

(f(A, B, . . .)) _H = f (A _H , B _H , . . .)

sehr nützlih.Wegen

U U ^† =

(A ⁿ ) H = U ^† A ⁿ U = U ^† AU U ^† A · · · AU ^† U AU ^† = U ^† AU n

= (A H ) ⁿ ,

und ebensofür Monome

A ⁿ B ^m . . .

A, B, . . .

auh für allgemeine Funktionen der Operatoren

A, B, . . .

[A, B] _H = [A _H , B _H ].

Ist

[A, B ]

[A H , B H ] = [A, B]

umgekehrt.

5.2.2 Heisenberg-Gleihung und Ehrenfest-Theorem

Im Heisenberg-Bild sind die Operatoren zeitabhängig und gehorhen einer Dierential-

gleihung erster Ordnung in der Zeit. Diese Bewegungsgleihung für Operatoren ersetzt

die Shrödingergleihung für Zustandsvektoren im Shrödinger-Bild. Um sie abzuleiten,

benötigen wir dieZeitableitung des zu

U

d

dt U ^† (t, t 0 )U (t, t 0 )

= 0 = ˙ U ^† (t, t 0 )U (t, t 0 ) + U ^† (t, t 0 ) ˙ U (t, t 0 ),

durh Auösung nah

U ˙ ^†

A H

i ~ dA _H (t)

dt = −i ~ U ^† U U ˙ ^† AU + i ~ U ^† ∂A

∂t U + i ~ U ^† A U , ˙

wobei wir eine explizite Zeitabhängigkeit von

A

A =

· t

i ~ dA H (t)

dt = −U ^† HU U ^† AU + i ~ U ^† A, t U + U ^† AU U ^† HU,

alsodie Heisenberg-Gleihung für Operatoren,

i ~ dA H (t)

dt = [A H (t), H H (t)] + i ~ (A, t ) H .

KommutierteinOperator

A

[A, H] = 0 = [A H , H H ]

A

vableeineKonstantederBewegungundalleErwartungswertevon

A

d

dt hψ H |A H |ψ H i = 1

i ~ hψ H |[A H , H H ]|ψ H i = 0

[A, H] = 0.

Für einkonservatives System vertausht der zeitunabhängige Hamilton-Operatormit

U = e ^−iH(t−t

^{)/ ~}

und deshalb ist

H H = U ^† HU = H

Beispiel:Wir betrahten das Potentialproblem

H =

2

2m + V (

)

mitzeitunabhängigem Potential. Wirtransformieren insHeisenberg-Bild

H −→ H _H = 1

2m

2 + V (

)

H

=

H 2

2m + V (

_H ) ,

wobei wir von (5.23) Gebrauh mahten. Um die Notation zu vereinfahen, werden wir

die Zeitabhängigkeit der Operatoren im Heisenberg-Bild niht mehr explizit shreiben.

Für das betrahtete konservative System ist

H _H =H

H

V (

_H )

[x _iH , p _jH ] = i ~ δ _ij

x

H ,

H 2

2m

= i ~

^H

m

und damit lautet dieHeisenbergshe Bewegungsgleihung (5.25) für den Ortsoperator

d

H

dt = 1 i ~

x

H , H H

=

^H

m ,

eine aus der klassishen Hamiltonshen Mehanik wohlbekannte Beziehung. Da x

H

p

H

[

_H , V (

_H )] = −i ~ ∇V (

_H ) ,

und der Impulsoperatorim Heisenberg-Bildgehorht der Bewegungsgleihung

d

H (t) dt = 1

i ~

p

H , H _H

= −∇V (

_H ).

Wir können den Ausdruk

−∇V (

H )

kenden Kraftoperator interpretieren. In (5.29) und (5.30) erkennen wir die klassishen

Bewegungsgleihungen für diekanonish konjugierten VariablenOrt und Impuls.

DaimHeisenberg-BilddieZuständezeitunabhängigsind,erfüllendiemittlerePosition

und der mittlere Impuls eines Teilhens dieBewegungsgleihungen

d

dt h

H i = 1

m h

H i

d

dt h

H i = −h∇V (

H )i,

wobei

hA H i = hψ H |A H |ψ H i

A _H

shen Hamiltonshen Bewegungsgleihungen erfüllen. Diese Eigenshaft der Mittelwer-

te wurde von Ehrenfest abgeleitet und heisst entsprehend Ehrenfest-Theorem. Wäre

h∇V (

H )i = ∇V (h

H i)

∇V (

H )

− ∇V h

H i

(5.32)

vershwindetnurfürsehreinfaheSysteme,wiezumBeispieldenharmonishenOszillator.

5.2.3 Das Wehselwirkungsbild und die Streumatrix

Wir zerlegen den Hamilton-OperatorimShrödinger-Bild gemäÿ

H = H 0 + V,

wobeiinvielenAnwendungen

H 0

V

eine kleineStörung ist.Oftistauh

H

H ₀

H

zeitunabhängigenModell-Hamilton-Operators

H ₀

H ₀

V

vonder Zeit abhängen.

Da

V

i ~ d

dt |ψ(t)i = H 0 + V )|ψ(t)i

bestimmt ist, von

H ₀

|ψ W (t)i = e ^i(t−t

^)H

^{/ ~} |ψ(t)i = U ₀ ^† (t − t 0 )|ψ(t)i.

DamitdieErwartungswertedieselbenbleiben,müssendieOperatorenentsprehendtrans-

formiert werden

A W (t) = U ₀ ^† (t − t 0 )AU 0 (t − t 0 ).

Insbesondere ist

H _0W (t) = H ₀

t = t ₀

zeigt man leiht, dass

dA _W dt = i

~ [H 0 , A _W ] + (A, t ) W

i ~ d

dt |ψ _W i = V _W |ψ _W i

ist.Dies sind die beiden Dirashen Gleihungen.

Die zweite Diragleihung kann ähnlih wie die Shrödingergleihung iterativ gelöst

werden. Die Lösung istwieder durh diezeitgeordnete Exponentialfunktion gegeben,

|ψ _W (t)i = S(t, t ₀ )|ψ _W (t ₀ )i,

S(t, t 0 ) = T exp

− i

~ Z t

t

dt ^′ V _W (t ^′ )

.

WieimShrödinger-BildistdierehteSeitedurhdieReihenentwiklung deniert.Inder

entsprehenden Dyson-Reihe sind in jedem Term die Produkte von

V W (t)

rie. Fermis goldene Regel, die Berehnung von Übergangswahrsheinlihkeiten und viele

anderephysikalishwihtigeFormelnundGröÿenkönnen(meiststörungstheoretish)aus

ihrabgeleitet werden.

Der unitäre Operator

S = lim

t0→−∞

t→∞

S(t, t 0 ) = T exp

− i

~ Z ∞

−∞

dt ^′ V W (t ^′ )

,

istdiesogenannteStreumatrix.Ohne Wehselwirkung ist

S =

ung statt. Sind

|ψ _ein i = |ψ _W (−∞)i

|ψ _aus i = |ψ _W (∞)i

die kräftefreien Lösungen, die zu sehr frühen und sehr späten Zeiten gegen

|ψ W (±∞)i

konvergieren (die einlaufenden und auslaufenden freien Lösungen), dann vermittelt die

Streumatrix zwishen diesen asymptotishen Zuständen:

|ψ aus i = S|ψ ein i.

5.3 Zeitentwiklung von Gemishen

Es sei

ρ

ρ = X

p n P n = X

p n |nihn|

mit zeitunabhängigen Wahrsheinlihkeiten

p _n

|ni

statistishenOperatorsändernsihohneäuÿereEinüssegemäÿderShrödingergleihung

und als Folge ergibtsih dieZeitentwiklung

ρ(t) = X

p _n |n, tiht, n| = U (t, t 0 )ρ(t 0 )U ^† (t, t 0 ).

Dies istdie Lösungder LiouvillevonNeumann-Gleihung im Shrödinger-Bild,

i ~ d

dt ρ(t) = [H, ρ(t)].

FürzeitunabhängigeWahrsheinlihkeiten

p _n

†

und erfülltdie Dierentialgleihung

i ~ d

dt ρ W = U ₀ ^† (H − H 0 )ρ(t)U 0 − U ₀ ^† ρ(t)(H − H 0 )U 0

=

U ₀ ^† V U 0 U ₀ ^† ρ(t)U 0

−

U ₀ ^† ρ(t)U 0 U ₀ ^† V U 0

.

Auf der rehten Seite stehendieWehselwirkung und DihtematriximWehselwirkungs-

bildund deshalb ndenwir dieLiouville-vonNeumannGleihung

i ~ dρ _W

dt = [V _W , ρ _W ],

inEinklangmitder Zeitentwiklung(5.35)derZustände indiesemBild.Erwartungswerte

sind natürlih unabhängigvomgewählten Bild,

hAi ρ =

ρA =

ρ W A W