c : M −→ Σ ∗ gibt mit den

Dipl.-Math. D. Andres

1. Übung

zur Informations- und Kodierungstheorie

Abgabe amDonnerstag, den 12.4.2007 in der Übung

Aufgabe 1: (Existenz von Kodierungen) 5+5 Punkte

Sei

Σ = {0, 1}

M = {m ¹ , m 2 , m 3 }

(a) Zeigen oder widerlegen Sie, dass es eine Kodierung

c : M −→ Σ ^∗

Eigenshaften

c(m ¹ ) ⊗ c(m ² ) = c(m ³ ) ⊗ c(m ¹ ) und c ( m 2 ) ⊗ c ( m 3 ) = c ( m 1 ) ⊗ c ( m 2 ) .

(b) Zeigen oder widerlegen Sie, dass es eine Kodierung

c : M −→ Σ ^∗

Eigenshaften

c(m ¹ ) ⊗ c(m ² ) ⊗ c(m ³ ) = c(m ³ ) ⊗ c(m ¹ ) ⊗ c(m ² ) und c(m ¹ ) ⊗ c(m ² ) = c(m ² ) ⊗ c(m ¹ ).

Geben Sie ggf.jeweils drei solhe Kodierungen an!

Aufgabe 2: (Präxodes und eindeutig dekodierbare Codes) 2+2+3+3+3+2 Punkte

Ein Code heiÿt eindeutig dekodierbar, wenn die Codewörter aus jeder Konkatenation von

Codewörternwiederrekonstruiertwerdenkönnen(nihtzwangsläugdurheinfahesLesen

vonLinksnahRehts).EntsheidenSie,welhederfolgendenCodeseindeutigdekodierbar

oder sogar Präxodes sind.

(a)

C ¹ = {0, 010}

(b)

C ² = {0, 001, 100, 110}

()

C ³ = {00, 10, 11, 011, 010}

(d)

C ⁴ = {00 , 10 , 11 , 110 , 100}

(e)

C ⁵ = {00, 11, 11011, 00100, 1001, 101}

(f)

C ⁶ = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}

Aufgabe 3: (Maximale Präxodes) 15Punkte

Ein Präxode

C

Σ

jedes

w ∈ Σ ^∗ \ C

C ∪ {w}

Sei

C

{0 , 1}

n

Präxodes

C 1 , . . . , C k

C =

\ k

i=1

C i ,

wobei diemaximalen Codewortlängen der

C i

n + 1

sogar für

k ≤ 2

Aufgabe 4: (Prolvektoren) 2+2+1+3+2Punkte

Welhe der folgenden Prolvektoren

(γ ⁰ , γ 1 , . . . , γ ℓ )

phabet

Σ = {0, 1}

(a)

(1)

(b)

(0 , 1 , 0 , 3)

()

(0, 0, 3, 2, 1)

(d)

(0, 0, 3, 0, 3, 0, 3, 0, 3, 0, 3, 0, 3)

(e)

(0, 1, 5, 4, 1, 0, 0, 2)