Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher

Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Hausaufgabe 11

Abgabe am 23.6. oder am 25.6. in der Übung

Aufgabe 1. Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X, Y : Ω → N

Zufallsvariablen.

(a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen.

(i) Die Verteilung von X ist geometrisch mit geeignetem Parameter p ∈ [0, 1], d.h.

∀n ∈ N

: P (X = n) = (1 − p)

p.

(ii) Für ein geeignetes q ∈ [0, 1] gilt ∀n ∈ N

: P (X ≥ n) = q

. (iii) Die Verteilung von X ist gedächtnislos, d.h.

∀x, y ∈ N

: P (X ≥ x + y | X ≥ y) = P (X ≥ x).

(b) Beweisen Sie: Wenn X und Y unabhängig und geometrisch verteilt mit Parametern p

, p

∈ [0, 1] sind, dann ist Z := min{X, Y } ebenfalls geometrisch verteilt. Bestimmen Sie den Parameter von Z . Verallgemeinern Sie auf n unabhängige und geometrisch verteilte Zufallsvariablen und deren Minimum.

Aufgabe 2. Es seien λ > 0 und r ∈ N . Für n ∈ N , n > λ, sei T

eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Parameter p

:=

. Bestimmen Sie F (x) := lim

P (

T

≤ x) für alle x ∈ R . Welche Verteilung beschreibt F?

Aufgabe 3. Es sei (X

)

eine Folge von unabhängigen und identisch mit p =

Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen gegeben. Wir wählen α >

und setzen S

:= ^P

X

. Zeigen Sie, dass S

≥ αn fast sicher nur für endlich viele n ∈ N gilt.

Hinweis: Erinnern Sie sich an die Bernstein-Ungleichung.

Aufgabe 4. Seien X

, X

, . . . unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter λ > 0. Zeigen Sie lim sup

n→∞

X

log n = 1

λ P -fast sicher.