7 SEGMENTIERUNGSVERFAHREN FÜR MEDIZINISCHE BILDDATEN
7.2 Segmentierungsverfahren mit einfachem Modellwissen
7.2.6 Segmentierung mit Markov Random Fields (MRF)
Das Modellieren von Markov Random Fields (MRF) selbst stellt noch keine Segmentie-rungsmethode dar, sondern es handelt sich hierbei nur um ein statistisches Modell, dass im
Rahmen von Segmentierungsverfahren eingesetzt werden kann. So können MRFs u.a. in Clusteranalyse- und Klassifikationsalgorithmen integriert werden, wie z. B. in das Nearest-Mean-Clusteranalyseverfahren [Pham99a]. Die Vorgehensweise bei der Segmentierung mit MRFs wird im nächsten Abschnitt erläutert, bevor dann konkret auf einige Anwendungen im Bereich der medizinischen Bildanalyse eingegangen wird.
7.2.6.1 Vorgehensweise
Durch das Einbringen der MRFs wird beim Segmentierungsvorgang der Zusammenhang der Grauwerte zwischen benachbarten oder in der Nähe befindlichen Pixeln berücksichtigt. Damit kann eine Segmentierung unterschiedlich texturierter Bereiche im Bild ermöglicht werden.
Die Wahrscheinlichkeit für den Grauwert eines Bildpunktes wird in diesem Fall durch eine Funktion beschrieben, die nicht nur von den Störungen bei der Aufnahme abhängt, sondern auch von den Grauwerten der Nachbarbildpunkte. Damit ergibt sich die bedingte Wahrschein-lichkeit für ein Segmentierungsergebnis X an einer Bildposition bei einer gegebenen a priori Information Y als
) , (
)
| ( ) ) (
|
( P Y
X Y P X Y P
X
P = ⋅ (7.57)
wobei P(X) die Wahrscheinlichkeit für das Segmentierungsergebnis, P(Y|X) die Wahrschein-lichkeit für das Bild bei der gegebenen Störung und P(Y) die WahrscheinWahrschein-lichkeit für die a pri-ori Information sind. Da die a pripri-ori Information einmal gegeben ist und nicht vom jeweiligen Segmentierungsergebnis abhängt, kann die Berechnung wie folgt vereinfacht werden:
)
| ( ) ( )
|
(X Y P X P Y X
P ∝ ⋅ . (7.58)
Aufgrund der Proportionalität zwischen beiden Seiten muss zum Bestimmen des wahrschein-lichsten Segmentierungsergebnisses auch der rechte Teil der Gleichung maximiert werden:
)
| ( ) ( max )
| (
maxP X Y P X P Y X
X
X = ⋅ . (7.59)
Um diese Gleichung lösen zu können, muss eine Berechnungsvorschrift für die Ausdrücke P(X) und P(Y|X) angegeben werden. Die Wahrscheinlichkeit für das Segmentierungsergebnis P(X) lässt sich durch die Auswertung des Nachbarschaftszusammenhangs ermitteln. Das Nachbarschaftssystem C wird dabei durch sogenannte Cliquen, die ein Ensemble von benach-barten Bildpunkten darstellen, modelliert. In Abb. 7.33 ist ein Beispiel für eine solche Clique zweiter Ordnung zu sehen. Durch die Festlegung der Art der Cliquen hat der Entwickler des Segmentierungsalgorithmus die Möglichkeit, verschiedene Bildeigenschaften zu modellieren.
Um die Wahrscheinlichkeit P(X) bestimmen zu können, werden den einzelnen Cliquen Poten-tiale VC zugeordnet. Diese Potentiale geben an, wie wahrscheinlich das gerade aktuelle Seg-mentierungsergebnis XS für den Bereich der betrachteten Clique ist. So besagen z. B. hohe Po-Abb. 7.33: Cliquen zweiter Ordnung im Achternachbarschaftskonzept
tentialwerte, dass viele benachbarte Pixel das gleiche Klassenlabel erhalten haben. Für die Be-rechnung von P(X) ergibt sich somit die folgende Gleichung:
=e− s∑∈XVC XS X
P
)
) (
( β , (7.60)
wobei β ein Parameter ist, der die Stärke des räumlichen Zusammenhangs zwischen den Pi-xeln angibt. Typischerweise kann man in medizinischen Bildern davon ausgehen, dass die meisten Pixel derselben Klasse wie ihre Nachbarn angehören. Durch die Einführung der Be-wertung des Nachbarschaftszusammenhangs werden anatomische Strukturen, die nur aus ei-nem einzigen Pixel bestehen, sehr unwahrscheinlich.
Wenn man das Rauschen des Bildes als eine Störung mit einer Gauß-Verteilung N(0,σ) annimmt, dann lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(Y|X) für ein Bild mit der folgenden Glei-chung bestimmen:
( )
2 . ) 1
|
( 2
2
2 )
∑ (
= ∈
− −
X s
xs
f
e X
Y
P σ
µ
π
σ (7.61)
Ein Einsetzen von Gleichung 7.60 und Gleichung 7.61 in Gleichung 7.59 ergibt damit:
( )
( )
. min
)
| ( max
bzw.
max )
| ( max
2 2
2 2
2 ) ) ( (
2 ) ) (
(
+ −
− −
−
= ∑
∑
= ∑
∈
∈
∈
X s
s S C
X s
s X
s S C
x X f V X
X
x X f
V X
X
Y X P
e Y
X P
σ β µ
σ β µ
(7.62)
Die Berechnung der Lösung erfolgt in einem iterativen Algorithmus z.B. durch Nutzung des Iterated Conditional Mode (ICM) [Besa86] oder des Simulated Annealing Verfahrens [Ge-ma84]. Die Schwierigkeit bei der Nutzung von MRFs zur Segmentierung liegt darin, geeigne-te Cliquenargeeigne-ten auszuwählen. Außerdem ist auch die Festlegung des Paramegeeigne-ters β, welcher die Stärke der räumlichen Interaktion zwischen den Pixeln kontrolliert, problematisch. Er muss optimal auf die Bildeigenschaften abgestimmt werden, um ein korrektes Ergebnis zu ga-rantieren. Denn eine zu hohe Gewichtung der Abhängigkeit kann dazu führen, dass das Er-gebnis zu stark geglättet wird und dadurch bedeutende strukturelle Details im Bild verloren gehen. Nachteilig sind außerdem die sehr hohen Rechenzeiten bei beiden iterativen Berech-nungsansätzen.
7.2.6.2 Beispiele zur Verwendung von Markov Random Fields
Ein wichtiges Einsatzgebiet für die Verwendung von MRFs stellt die Tumordetektion in Mammographien dar. In [Li95] wird dazu ein mehrstufiger Algorithmus vorgestellt, bei dem zuerst über eine einfache Schwellenwertentscheidung das Gebiet, in dem sich die Brust befin-det, extrahiert wird. Die Segmentierung der Tumore erfolgt anschließend in einer Pyramiden-datenstruktur. Diese Pyramide wird erzeugt, indem ausgehend vom Original-Mammogramm jeweils für die nächste Ebene die Auflösung in beiden Richtungen halbiert wird. Die Segmen-tierung der Tumore beginnt dann in der Ebene mit der geringsten Auflösung. Hier wird mit Hilfe einer adaptiven Schwellenwertmethode, die als Schwellenwert jeweils den mittleren Grauwert in der Nachbarschaft des gerade betrachteten Pixels verwendet, die Initialsegmen-tierung ermittelt. Diese wird anschließend durch den Einsatz von MRFs mittels ICM-Algorithmus verbessert, bis die optimale Lösung für die entsprechende Ebene vorliegt. Nach der Vergrößerung des Ergebnisses auf die Größe des Bildes in der nächsthöheren
Pyramiden-stufe wird wiederum die Optimierung mit dem ICM-Ansatz durchgeführt. Der Wechsel zwi-schen Vergrößerung und Optimierung wird so lange fortgesetzt, bis das optimale Ergebnis für die Originalauflösung vorliegt. Da die Tumoranzeigen im Allgemeinen sehr klein sind, wer-den in dem beschriebenen Ansatz bei wer-den Nachbarschaftsbetrachtungen von wer-den Cliquen zweiter Ordnung nur die mit einem oder zwei Pixeln Größe bei der Bestimmung der Cliquen-potentiale berücksichtigt. In [Come94] und [Come96] wird gleichfalls ein Algorithmus zur Segmentierung von Mikroverkalkungen in Mammogrammen vorgeschlagen, der darauf be-ruht, dass das Bild in Bereiche mit homogenen Texturregionen zerlegt wird. In dem Ansatz wird für jeden Pixel im Mammogramm jeweils eine Zugehörigkeitsfunktion zu den einzelnen vorher festgelegten Klassen ermittelt, die abhängig von den statistischen Eigenschaften so-wohl des Pixels als auch seiner Nachbarn ist. Diese individuelle Pixelklassifikation führt zu einem zweidimensionalen Feld, welches die wahrscheinlichsten Klassenlabel enthält. Dieses Labelfeld wird durch ein MRF modelliert, wobei als Cliquen alle vertikalen und horizontalen Pixelanordnungen der Cliquen zweiter Ordnung zugelassen werden. Die endgültige Klassen-zuordnung eines Pixels wird dann durch die Minimierung des Erwartungswertes für die Fehl-klassifikationen mit dem Optimierungsverfahren zur Maximierung des Erwartungswertes (EM-Algorithmus) bestimmt.
In [Pham99b] wird ebenfalls ein allgemeiner EM-Ansatz verwendet, der zur unüberwach-ten Gewebeklassifikation in MR-Aufnahmen des Gehirns genutzt wird. Die Robustheit der Klassifikation gegenüber Rauscheinflüssen und Gewebeinhomogenitäten wird durch Nutzung eines MRFs erreicht. Ebenfalls ein statistisches Modell wird in [Raja97] zur Segmentierung des Gehirns in drei Gewebeklassen (weiße und graue Substanz sowie CSF) verwendet. Dieses Modell berücksichtigt ebenfalls zufälliges Rauschen, auftretende Inhomogenitäten des Mag-netfeldes und die biologische Variation des Gewebes. Während die Intensitätsmessung durch eine Gauß-Funktion nachgebildet wird, wird die Glattheit und stückweise kontinuierliche Na-tur der Gewebsregionen durch ein 3D-MRF modelliert. Der Segmentierungsalgorithmus, der auf diesem statistischen Modell beruht, ermittelt die maximale a posteriori Wahrscheinlichkeit und schätzt die Modellparameter anhand des Bildes. Die Berechnung erfolgt in diesem Fall wiederum mit dem ICM-Ansatz. Zur Vereinfachung der Berechnung werden auch in diesem Fall nur ein- und zweiseitige 3D-Cliquen zweiter Ordnung genutzt. Ein drittes Beispiel zur Segmentierung von multimodalen MR-Gehirnbildern ist in [Alzu02] zu finden. Ziel bei dieser Arbeit ist es jedoch, nicht die Gewebeklassen sondern Multiple Sklerosis-Läsionen in der weißen Substanz zu detektieren. Hierzu wurde ein dreistufiger Segmentierungsansatz entwi-ckelt, der im ersten Schritt zur Initialsegmentierung einen Bayes-Klassifikator einsetzt, wobei die Parameter der Verteilungsfunktion (Mittelwert und die Standardabweichung) von einer manuellen Markierung abgeleitet werden. Im zweiten Schritt erfolgt eine Verbesserung der Initialsegmentierung durch den Einsatz eines MRFs und die Verwendung des ICM-Algorithmus. Der dritte Schritt wird schließlich zur Reduktion von Falschanzeigen benutzt, indem die Registrierung der segmentierten Daten mit einem Atlas vorgenommen wird. Durch ein nochmaliges Anwenden von MRFs und dem ICM-Algorithmus auf die Segmente, die als Läsionen gelabelt wurden, konnte zwischen falschen und wahren Anzeigen unterschieden werden. Als letzter Nachverarbeitungsschritt erfolgt die Anwendung eines gestaltbasierten MRFs auf die Daten, um abschließend eventuelle falsch positive Anzeigen zu eliminieren.
Die Segmentierung von CT-Bildern des Kopfes zur Verbesserung der quantitativen Analy-se von spontanen interzerebralen Gehirnblutungen wurde von Loncaric [Lonc98] untersucht.
Die vorgeschlagene Methode basiert auf einer Maximum a posteriori Schätzung der unbe-kannten Pixelklassen unter Verwendung eines MRFs. Zur Berechnung der Lösung wurde hier der Simulated Annealing-Ansatz genutzt. Um die Berechnungsgeschwindigkeit zu erhöhen wurde, wie im ersten Beispiel, ein Multiresolution-Ansatz zugrundegelegt.
Schließlich finden sich in der Literatur zum Einsatz von MRFs im Bereich der medizini-schen Bildverarbeitung auch noch Beispiele zur Segmentierung echokardiographischer Bilder [Herl94]. In dem Beitrag wurden unterschiedliche stochastische Modelle (Grauwerthomogeni-tätsmodelle, räumlich-zeitliche Modelle) untersucht, wobei zum Finden der optimalen Lösung der ICM-Algorithmus favorisiert wurde.
Zusammenfassend kann festgestellt werden, dass bei der Segmentierung medizinischer Da-ten mit Markov Random Fields sowohl Grauwertinformationen als auch Texturinformationen benutzt werden. Diese Verfahren kommen ohne Benutzerinteraktion aus, da alle wichtigen Modellannahmen in den Algorithmus integriert werden können. Nachteilig ist jedoch die gro-ße Rechenzeit, die von den Algorithmen beansprucht wird.