Deformierbare Modelle

zur Bestimmung des minimalen Integrals berechnet den optimalen Pfad durch Lösung der Ei-konal Gleichung mit einem schnellen Marching-Algorithmus. Das Ergebnis dieser Art der Be-rechnung ist ein Subpixel-genauer Pfad, wobei jedoch eine höhere Rechenzeit als beim Dijk-stra-Algorithmus aufgewendet werden muss. Außerdem wird eine Verbesserung des „Pfad-Einfrierens“ eingeführt, indem ein Kosten-abhängiger Faktor nicht additiv sondern multiplikativ in die Gleichung, die die Veränderung über die Zeit misst, eingebracht wird.

Schließlich wird auch ein neuer Trainingsansatz vorgestellt, der jeweils positive und negative Trainingsgebiete betrachtet. So werden für die optimale Anpassung der Kostenfunktion so-wohl Bereiche auswertet, die die Kontur enthalten als auch welche, die sie nicht enthalten.

Die verbesserte Methode wird in dem Artikel zur Segmentierung von Brusttumoren in Ultra-schallbildern und zur Detektion des linken Ventrikels in echokardiographischen Bildern be-nutzt.

Zusammenfassend kann man feststellen, dass zur Ermittlung optimaler Kantenzüge ähnlich wie bei der Kantenfilterung die Informationen über die Abgrenzbarkeit von Objekten eine wesentliche Rolle spielen. Das Modellwissen über die Lage der Kante im Bild muss durch die Eingabe von Start- und Endpunkt interaktiv von Seiten des Benutzers in den Segmentierungs-algorithmus eingebracht werden. Außerdem können noch zusätzliche Annahmen, durch Fest-legung der Berechnung der Pfadkosten und kumulativen Kosten direkt in den Algorithmus in-tegriert werden.

aktiven Konturen bzw. Oberflächen, mit Ballonmodellen oder als Segmentierung mit defor-mierbaren Kurven bzw. Oberflächen bezeichnet. Die verwendeten defordefor-mierbaren Modelle lassen sich in zwei unterschiedliche Basistypen unterscheiden: in die parametrischen defor-mierbaren Modelle und in die geometrischen defordefor-mierbaren Modelle [Sonk00]. Bei Ersteren werden die Kurven und Oberflächen bei der Deformation explizit in ihrer parametrischen Form dargestellt. Dadurch ist eine direkte Interaktion mit dem Modell möglich, und es lässt sich aufgrund der kompakten Repräsentation eine schnelle Berechnung der Verformung für Echtzeitanwendungen realisieren. Eine Veränderung der Modelltopologie hingegen, wie das Zerteilen oder Verschmelzen von Kontur- bzw. Oberflächenbereichen, ist bei den parametri-schen deformierbaren Modellen kaum zu verwirklichen. Wenn derartige Anforderungen be-stehen, sind geometrische deformierbare Modelle besser geeignet, da sie mit topologischen Veränderungen natürlich umgehen können. Bei diesen Modellen, die auf der Theorie der Kurvenentwicklung und auf der Level-Set-Methode beruhen, werden Kurven und Oberflä-chen implizit als eine Menge unterschiedlich abgestufter Kurven- oder OberfläOberflä-chen darge-stellt, die von einer höherdimensionalen skalierbaren Funktion abgeleitet wurden [Sonk00].

Trotz dieser Unterschiede sind die Grundprinzipien die beiden Methoden sehr ähnlich.

Im Folgenden soll exemplarisch nur der Ansatz der parametrischen deformierbaren Model-le genauer betrachtet werden. Eine ausführliche Darstellung der geometrischen deformierba-ren Modelle findet sich in [Sonk00], [Mall95] und [Case95]. Weiterhin wird in diesem Ab-schnitt noch auf zwei Erweiterungen der deformierbaren Modelle, auf die aktiven Gestaltmo-delle (active shape models, ASM) und auf die aktiven ErscheinungsmoGestaltmo-delle (active appearan-ce models, AAM) genauer eingegangen. Abschließend werden einige typische Anwendungen von deformierbaren Modellen in der medizinischen Bildanalyse besprochen.

7.4.1.1 Parametrische deformierbare Modelle

Parametrische deformierbare Modelle lassen sich durch zwei unterschiedliche Ansätze be-schreiben:

• durch die Darstellung der Kurve oder Oberfläche als energieminimierende parametrisierba-re Kurve- bzw. Oberfläche oder

• durch ein dynamisches System [McIn95b].

Der erste Ansatz hat den Vorteil, dass die Lösung das Minimum-Prinzip erfüllt. Beim zweiten Ansatz ist dagegen günstig, dass allgemeinere Formulierungen für die externe Kraft benutzbar sind. In den nachfolgenden Ausführungen soll zur Vereinfachung von 2D-Objekten ausge-gangen werden. Dies stellt jedoch keine Einschränkung dar, da eine Erweiterung der einzel-nen Ansätze und Gleichungen auf 3D-Objekte sehr einfach möglich ist.

Bei der Darstellung des parametrischen deformierbaren Modells als Energie minimierende parametrisierbare Kurve wird die gewichtete Summe von interner Energie Eint und externer Energie Eext zur Berechnung der optimalen Position und Gestalt des Segmentierungsergebnis-ses herangezogen. In sehr vielen Anwendungen wird die Repräsentation der Kurve durch eine b-Spline-Funktion realisiert, wobei jedoch auch andere Darstellungsformen, wie z.B. die Dar-stellung durch einen Polygonzug, über finite Elemente, über finite Differenzen oder durch Fourier-Basen, möglich sind. Die parametrische Beschreibung der Kurve erfolgt über v(s)=(x(s), y(s))^T, wobei x(s) und y(s) die Koordinaten entlang der Kurve sind und s∈[0, 1].

Somit ergibt sich die Energiefunktion als:

( )

( )

^{v s E}

( )

^v

( )

^{s ds}

E

E_Kontur ⁼

∫

¹₀ ^{int +} _ext ^{. (7.67)}

Die interne Energie, die die Spannung und Glattheit der Spline-Kurve spezifiziert, kann über die Gleichung

( ) ² ( ) ²₂ ²

int ds

v s d ds

s dv

E =α + β (7.68)

definiert werden, wobei α(s) und β(s) zwei frei wählbare Parameter sind. Diese können dazu genutzt werden, die Stärke der Elastizität und der Steifheit der Kurve festzulegen. Ein großer Wert für α(s) bewirkt ein Zusammenziehen der Kurve und ein großer Wert für β(s) das Stre-ben hin zu einer kreisförmigen Gestalt. In der Praxis werden sehr häufig konstante Werte verwendet. Möglichkeiten zur Auswahl einer geeigneten Parametrisierung werden in [Lehm03] dargelegt. Der internen Kraft wirkt die externe Kraft entgegen, die sich aus dem Bild ableiten lässt. Im einfachsten Fall setzt sie sich wie folgt zusammen:

( ) 2 ( ( ))²

1f x,y w G (x,y) f x,y w

E_ext = − ∇ _σ ∗ , (7.69)

wobei w1 und w2 Wichtungsfaktoren sind, die den Einfluss des Grauwertes und des Gra-dienten bewerten. Bei der Festlegung der äußeren Kräfte muss darauf geachtet werden, dass sich ihre kleinsten Werte jeweils im Bereich der zu segmentierenden Strukturgrenze ergeben.

Außerdem ist für das Ergebnis auch noch die Wahl der Größe der Standardabweichung der Gauß-Funktion σ entscheidend. Bei dieser muss berücksichtigt werden, dass ein zu großer Wert die Anpassung der Kurve an die Objektgrenze verhindern kann. Wird der Wert jedoch zu klein gewählt, muss das deformierbare Modell sehr dicht an der tatsächlichen Objektgrenze platziert werden, da sich die höheren Gradientenwerte, die eine Anziehungskraft auf die Kur-ve ausüben, dann nur in unmittelbarer Nähe der Objektgrenze ergeben.

Die Kurve, welche die unter Gleichung 7.67 definierte Energiefunktion minimieren soll, muss bei Verwendung von Gleichung 7.68 die folgende Euler-Lagrange-Gleichung erfüllen [Sonk93]:

0 )) ( ( )

( )

( ²₂ ²₂ +∇ =







 + 



 



−  E v s

ds v s d ds

d ds s dv ds

d

β ext

α . (7.70)

Eine Lösung dieser Gleichung kann z. B. mit dem Gradienten-Abstiegsverfahren bestimmt werden. Mit diesem energieminimierenden Ansatz lassen sich jedoch nur statische Segmentie-rungsaufgaben bearbeiten.

Für Aufgabenstellungen, bei denen Bewegung eine Rolle spielt, kann die zweite Variante der dynamischen Formulierung der Kraft genutzt werden. Hierbei wird ein dynamisches Sys-tem konstruiert, indem die Prinzipien der Lagrangschen Mechanik angewandt werden [McIn95b]. Dies führt zu einem dynamischen deformierbaren Modell, welches die Beschrei-bung von Gestalt und Bewegung in sich vereinigt. Solche Modelle sind in der medizinischen Bildanalyse sehr hilfreich, da sich die anatomischen Strukturen, wie z. B. das Herz, kontinu-ierlich verformen können. Im einfachsten Fall kann ein dynamisch deformierbares Modell durch folgende Gleichung beschrieben werden:

)) , (

2 (

2 2 2

2 2 1

2

t s v E s

w v s s

w v s t v t

v

−∇ ext

=













∂

∂

∂ + ∂



 





∂

∂

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

∂ γ

µ , (7.71)

wobei die zeitabhängige Kontur v(s,t)=(x(s,t), y(s,t))^T, µ(s) die Massendichte und γ(s) die Dämpfung ist. Die Lösung der Gleichung erfolgt durch Diskretisierung und numerische Simu-lation und ist in [McIn95b] genauer beschrieben.

Neben den bisher verwendeten einfachen externen Kräften können in beiden Ansätzen auch kompliziertere Beschreibungen dieser Kräfte verwendet werden. Diese ergeben sich dann aus der Überlagerung von verschiedenen Einzelkräfte. Dies ist günstig, da damit das Problem der Wahl eines optimalen Wertes für die Standardabweichung der Gauß-Funktion σ entfällt. Durch die eingeführten zusätzlichen Kräfte kann der Wert von σ zum Erreichen einer optimalen Anpassung der Kurve an die Objektgrenze klein gewählt werden, ohne dass die Ini-tialisierung in unmittelbarer Nähe der zu segmentierenden Grenze erfolgen muss. Diese zu-sätzlichen Kräfte können z.B. die Multiskalen-Gauß’sche-Potentialkraft [Kass87], die Druck-kraft [Cohe91], die Distanz-PotentialDruck-kraft [Cohe93], der Gradienten-Vektor-Fluss [Xu98], der dynamische Distanz-Fluss [Deli01] oder eine interaktive Kraft (Feder- und Abstoßungskräfte) [Kass87] sein.

7.4.1.2 Active Shape Models

Die Segmentierung unter Verwendung von Active Shape Models (ASM) erlaubt im Vergleich zu den parametrischen deformierbaren Modellen noch eine genauere Vorgabe der zu erwar-tenden Gestalt des Objekts. Dadurch kann zum einen Rechenzeit eingespart werden und zum anderen wird eine bessere Performance bei der Segmentierung gewährleistet. Das verwendete Gestaltmodell wird konstruiert, indem zuerst in einer Trainingsmenge von ähnlichen Bildda-ten die gesuchte Struktur manuell markiert wird. Die selektierte Punktemenge wird anschlie-ßend mit Hilfe von Translation, Rotation und Skalierung zueinander ausgerichtet, und die Gestaltobjekte werden in ein gemeinsames Koordinatensystem überführt. Hierzu kann die ite-rative Procrustes Methode ([Li94], [Luo01], [Duta99]) benutzt werden. Nachdem die Ausrich-tung erfolgt ist, existiert jedoch immer noch eine Variabilität in der Lage der einzelnen Punkte in den unterschiedlichen Gestaltobjekten. Zur kompakten Beschreibung dieser Variabilität wird ein Punktverteilungsmodell abgeleitet, indem zuerst die mittlere Gestalt S entsprechend der folgenden Gleichung berechnet wird:

∑

=

= ^N

i

Si

S N

1

1 , (7.72)

mit der in einer Schicht selektierten Punktmenge Si=(x_i0, y_i0, ..., x_in-1, y_in-1)^T. Basierend auf dieser mittleren Gestalt wird die Kovarianzmatrix C durch

( )

( )

∑

=

− −

= ^N

i

T

i S

N S C

1

2

1

1 (7.73)

bestimmt. Die am meisten signifikante Variation der einzelnen Punkte spiegelt sich in den zu den größten Eigenwerten der Kovarianzmatrix C korrespondierenden Eigenvektoren wieder.

Zur Charakterisierung der Gestaltvariabilität werden deshalb m Eigenvektoren ausgewählt, wobei in der Praxis m wesentlich kleiner als die Anzahl der Trainingsobjekte N gewählt wird.

Durch die Verwendung der Hauptkomponentenanalyse (Principal Component Analysis, PCA) lässt sich nun jede Objektgestalt in der Trainingsmenge durch

S Sb P S

S ≈ + , (7.74)

approximieren, wobei Ps die Matrix der m ersten Eigenvektoren ist und bs ein Vektor mit Ge-wichten ist, der sich auf die Gestaltparameter bezieht.

Die Schlüsselidee bei der Segmentierung mit Hilfe von ASM ist, das Verhalten des defor-mierbaren Modells durch die Nutzung des Punktverteilungsmodells zu beeinflussen. So wird

bei jedem Iterationsschritt die Verformung des parametrischen deformierbaren Modells durch die Einstellung sowohl der Lage- als auch der Gestaltparameter des Modells gesteuert. Dabei sind nur Gestalten erlaubt, die eine Ähnlichkeit zu der Trainingsmenge aufweisen. Wenn die Veränderung in den beiden Parameterarten insignifikant ist, wird der iterative Algorithmus beendet. Einzelheiten sind dazu in [Sonk00] nachzulesen.

7.4.1.3 Active Appearance Models

Eine Einschränkung bei der Nutzung der Segmentierung mit ASM ist, dass in dem anhand der Trainingsdaten ermittelten Gestaltmodell nur die Gestalt- aber nicht die Grauwertvariation zwischen den einzelnen Bilddaten erfasst wurde. Dieser Mangel wird mit der Nutzung des Active Appearance Models (AAM) aufgehoben, da in diesem Modell sowohl die Gestalt- als auch die Grauwertinformation enthalten ist. Dadurch ist im Vergleich zu den anderen beiden zuvor erläuterten Methoden häufig eine robustere Segmentierung von Strukturen möglich. Bei der Konstruktion des AAM wird nun so vorgegangen, dass zuerst die Gestaltunterschiede zwischen den einzelnen manuell markierten Beispielobjekten durch Nutzung des Punktvertei-lungsmodells aus dem ASM ausgeglichen werden, indem jedes dieser Objekte auf die mittlere Gestalt abgebildet wird [Edwa98]. Dazu wird ein Warping-Algorithmus [Book89] verwendet.

In den resultierenden gestaltnormalisierten Bildern kann anschließend die Variation der Grauwerte untersucht werden, indem eine zweite PCA nun für die Grauwerte durchgeführt wird. Die Grauwertvariation der einzelnen Beispielobjekte kann dann analog zu Gleichung 7.74 durch

g gb P g

g ≈ + (7.75)

approximiert werden, wobei Pg wiederum die Matrix der m ersten Eigenvektoren ist und bg

ein Vektor mit Gewichten, die sich auf die Grauwerte beziehen [Coot98a]. Da jedoch auch ei-ne Korrelation zwischen den Gestalt- und den Grauwertparametern auftreten kann, wird eiei-ne dritte PCA auf den kombinierten Vektor b=[Wsbs, bg]^T ausgeführt, wobei Ws eine Diagonal-matrix ist, welche die Größenordnungsunterschiede zwischen den Gestalt- und den Grauwert-parametern kompensiert. Als Ergebnis erhält man nach [Coot98b]

Q c b Q

g S



= , (7.76)

mit Qs und Qg als den korrespondierenden Untermatrizen für die Gestalt- und Grauwertpara-meter und c als dem ParaGrauwertpara-meter für das Erscheinungsbild des Objekts (Appearance-Parameter), der sowohl die Gestalt- als auch die Grauwertvariationen reguliert. Damit lassen sich die Gestalt und die Grauwerte endgültig in Abhängigkeit von c durch die folgenden Glei-chungen

c Q W P S

S = + _{S S}⁻¹ _S , (7.77)

c Q P g

g = + _{g g} (7.78)

repräsentieren [Coot98a].

7.4.1.4 Einsatzgebiete deformierbarer Modelle

Der Einsatz von deformierbaren Modellen hat im Bereich der medizinischen Bildverarbeitung eine große Bedeutung erlangt. Dies wird vor allem dadurch hervorgerufen, dass mit diesen

Methoden auch durchgehende Strukturen in stark gestörten Bilddaten detektiert werden kön-nen. So benutzt Cohen [Cohe91] eine energieminimierende deformierbare Kurve für die De-tektion des linken Ventrikels in Echokardiogrammen und in MR-Bildern. Um eine möglichst große Flexibilität bei der manuellen Initialisierung der Kurve zu gewährleisten, wurde in dem Beitrag als externe Kraft eine Kombination aus der herkömmlichen, aus dem Bild abgeleiteten Kraft und einer zusätzlichen Druckkraft verwendet. Dieser Ansatz, bei dem 3D-Objekte durch die Segmentierung von 2D-Kurven in den einzelnen Schichten der MR-Bilder erzeugt wur-den, wurde in [Cohe93] hinsichtlich einer echten 3D-Segmentierung erweitert. Die Repräsen-tation der 3D-Objekte erfolgte hierbei mittels Finite Elemente Methode (FEM).

In [Herl92] wird eine einfache deformierbare Kurve gleichfalls zur 2D-Segmentierung des linken Ventrikels in Echokardiogrammen eingesetzt. Da in dem Beispiel jedoch die Herzbe-wegung über einen gewissen Zeitraum verfolgt werden soll, wird die temporäre Kohärenz zwischen aufeinanderfolgenden Zeitframes ausgenutzt, indem das vorhergehende Segmentie-rungsergebnis als Initialisierung für den nächsten Frame genutzt wird.

Bei der Verfolgung von Herzgefäßen über mehrere Zeitframes von Angiogrammen wird in [Dubu01] gleichfalls die Kohärenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Aufnahmen ausge-nutzt. Um zu gewährleisten, dass auch immer tatsächlich das globale Minimum der Energie-funktion gefunden wird, wurde in dem Beispiel eine Graphen-Suche mit dem kürzesten Pfad-Algorithmus anstelle des Gradienten-Abstiegsverfahrens eingeführt. Weiterhin wurde zur Verbesserung der Segmentierung zusätzliches gestaltbasiertes Wissen in Form eines defor-mierbaren Templates in den Algorithmus integriert.

Gupta [Gupt94], der sich mit der Segmentierung des linken Ventrikels in Cine MR-Daten und CT-Bildern beschäftigt, nutzt zur besseren Gestaltapproximation eine deformierbare Su-perquadrik und verwendet im Gegensatz zu den bisher betrachteten Arbeiten nicht den ener-gieminimierenden sondern den dynamischen Berechnungsansatz. Außerdem wird zusätzlich zu der Bildkraft noch eine Orientierungskraft eingeführt, um den Anpassungsprozess des Mo-dells an die Daten zu unterstützen. Von Bardinet [Bard98] wird ebenfalls zur Segmentierung des linken Ventrikels in SPECT-Daten eine deformierbare Superquadrik eingesetzt. Die An-passung des Modells an die Bilddaten erfolgt hier jedoch mittels Frei-Form-Deformation (FFD). In beiden Fällen erwies sich die Verwendung von Superquadriken zur Gestaltbe-schreibung als günstig, da für die Anpassung des Modells an die Bilddaten nur wenige Para-meter variiert werden mussten.

Gleichfalls ein dynamisches deformierbares Modell wird von McInerney [McIn95a] zur Segmentierung von Blutgefäßen in retinalen Angiogrammen und zur Segmentierung von CT-Bildern des Herzens [McIn96] verwendet. In dem zuerst genannten Beitrag wurde zur Anpas-sung des Modells an die Bilddaten noch eine zusätzliche topologische Transformation einge-führt, die jeweils dann ausgeführt wird, wenn z.B. die aktive Kontur mit sich selbst kollidiert oder wenn sie sich in zwei oder mehr Teile aufgliedert. In dem Fall erfolgt eine Entscheidung über das Auftrennen oder Verschmelzen der Verbindung zwischen den entsprechenden Stütz-punkten. Im zweiten Beitrag wurde wiederum eine FEM-Repräsentation gewählt und zur bes-seren Anpassung des Modells an die Daten eine externe Druckkraft genutzt.

In [Deli01] werden die Ansätze der parametrischen und der geometrischen deformierbaren Modelle für das Beispiel der Segmentierung von Gefäßen in Ultraschall-Bildern miteinander verglichen. Hierbei konnte festgestellt werden, dass der Vorteil der parametrischen Kontur in der Effizienz, in der Einfachheit der Implementation, in der Möglichkeit des Handlings von offenen Konturen und in der guten Interaktivität liegt. Die implizite Repräsentation dagegen erwies sich immer dann als vorteilhaft, wenn topologische Änderungen im Modell notwendig waren. Deshalb wurden verschiedene topologische und physikalische Bedingungen in den

Ansatz der parametrischen deformierbaren Modelle eingeführt, um die Vorteile beider Vorge-hensweisen miteinander zu kombinieren.

Malladi [Mall95] verwendet in seinen Untersuchungen zur Gestaltmodellierung die Level-Set-Technik. Er zeigt anhand der Segmentierung von CT-Bildern des Abdomens und von Di-gitalen Subtraktions-Angiographien, dass mit diesem Ansatz sehr komplexe Gestalten erkannt werden können, wobei das Endergebnis relativ unabhängig von der Initialisierung ist.

Weiterhin wird in zahlreichen Arbeiten der Einsatz von ASMs zur Segmentierung in ver-rauschten Bilddaten untersucht. So setzen Cootes und Parker ([Coot94], [Park94]) die Ges-taltmodelle zur Erkennung des linken Ventrikels in Echokardiogrammen ein. Die Segmentie-rung von MR-Aufnahmen des Gehirns mittels ASM wird in [Duta98] und [Hama03] be-schrieben. Andere Anwendungsbeispiele sind noch die Segmentierung der Wirbelkörper in Röntgenbildern [Hill96] und die Erkennung von Strukturen in CT-Datensätzen [Fens00b].

Schließlich wird in [Coot99] und [Coot98] die Verbesserung der Segmentierungsergebnis-se durch die Nutzung von AAM im Vergleich zu ASM für die Erkennung von Strukturen in MR-Aufnahmen des Knies und des Gehirns nachgewiesen. Die genauere Detektion konnte zu einem großen Teil dadurch erreicht werden, dass nicht nur die Bildtextur in schmalen Regio-nen rund um die Modellstützpunkte untersucht wurde, sondern die Grauwerteigenschaften der gesamten Region in das Appearance-Modell einflossen.

Bei den Segmentierungsansätzen mit deformierbaren Modellen werden hauptsächlich In-formationen über die Abgrenzbarkeit von Objekten ausgenutzt. An Bildpositionen, wo diese Informationen nicht zur Verfügung stehen, können teilweise auch Meta-Informationen, wie z. B. das Wissen über die Form des zu segmentierenden Objekts mit ausgenutzt werden. Das Modellwissen über die Gestalt und die Lage des gesuchten Objekts im Bild muss bei diesen Verfahren interaktiv eingegeben werden. Bei den Verfahren, die einen ASM- oder AAM-Ansatz verwenden, ist hierzu ein relativ großer Aufwand von Seiten des Benutzers notwendig.

Diese Verfahren setzen außerdem die Verfügbarkeit eines großen Trainingsbilddatensatzes voraus. Für häufig wiederkehrende Fragestellungen, z. B. aus dem Bereich der Vorsorgeun-tersuchung, lohnt sich jedoch dieser Mehraufwand, da im Allgemeinen zuverlässigere Ergeb-nisse erzielt werden können.

Im Dokument Computerunterstützte Bildanalyse zur Auswertung medizinischer Bilddaten (Seite 155-161)