Exkurs: Vereinfachte Darstellung durch Linearisierung

Die am Schluss des vorangegangenen Kapitels III.5.1. formulierten Thesen über die Verhältnisse der optimalen Clubgrößen und verwirklichten Nettonutzen bei selbstverwalteten Clubs und Managerclubs beruhen auf der Maximierung der jeweiligen Nettonutzen NNi (3) und NNm (4). Bei der Bestimmung der Netto-nutzen aus individueller Sicht kann die entstehende kubische Gleichung mit Hil-fe der Cardanischen Lösungsformel gelöst werden. Zimmermann/Schemm-Gregory (2005) umgehen in ihrem Modell diese Schwierigkeit, indem sie durch eine Linearisierung der Nutzenfunktion das Entstehen einer kubischen Glei-chung bei der späteren Nutzenmaximierung vermeiden. So gehen sie zur Dar-stellung der Nutzenseite in ihrem gewählten Ansatz von einem individuellen Grundnutzen a bei einer Mitgliederzahl s von Null aus. Dieser Grundnutzen ver-ringert sich linear mit und im Ausmaß der zunehmenden Mitgliederzahl s eines Clubs. Die Autoren stellen die Künstlichkeit dieser mathematischen Formulie-rung deutlich heraus: „Ohne Individuen kann es keinen (weder positiven noch negativen) Nutzen geben. Im betrachteten Modell kann a als die Intensität eines

118 Vgl. Kap. II.3.

119 Neben dieses Aspekten geht Siqueira (2001) davon aus, dass ein Clubmanagement zu höheren Kosten C des Clubs führt, da die Manager entsprechend entlohnt werden müs-sen. Eine größere Clubmitgliederanzahl entsteht hier durch das gemeinsame Ziel der Senkung der Kosten pro Kopf. Die Größe der Clubs wird bei Siqueira (2001) also vor allem über die Kostenseite und nicht durch die Motive der Manager bestimmt. Siehe Kap. III.3.

Mangelgefühls verstanden werden, wenn das Clubgut nicht zur Verfügung steht.

Der Grundnutzen a drückt aus dieser Perspektive somit den Anreiz eines Indivi-duums zur Clubgründung bzw. zum Clubbeitritt aus, obwohl im hier gewählten linearen Modell das Nutzenniveau von a nie voll erreicht werden kann, da be-reits ab einer Mitgliederzahl von s=1 der Congestion-Effekt eintritt. Dass dies

‚stylized facts‘ sind und somit der direkten empirischen Anwendung des Modell entgegenstehen, ist offensichtlich“ (Zimmermann/Schemm-Gregory 2005, S.

234). Insgesamt ergibt sich nach erfolgter Linearisierung für den Nutzen eines Individuums:

(1*) Ni=a−s.

Für die Kostenseite wird bei Zimmermann/Schemm-Gregory (2005) die identi-sche Kostenfunktion angenommen:

(2*) = (2) s i C C = .

„Mit diesem einfachen formalen Ansatz verschenkt man keine wesentlichen In-formationen: Bei Annahme von (2) ist die Steigung der Kosten pro Kopf immer negativ. Auch wenn man für den Nutzenverlauf eine inverse U-Funktion anneh-men würde, könnte der maximale Nettonutzen immer nur im abfallenden Ast auftreten – weshalb man dann auch problemlos (und der Einfachheit halber) gleich einen mit steigender Mitgliederzahl linear fallenden Nutzen annehmen kann“ (Zimmermann/Schemm-Gregory 2005, S. 235). Durch diese Linearisie-rung der Nutzenfunktion maximiert ein einzelnes Clubmitglied seinen individu-ellen Nettonutzen nach:

Wie bereits dargelegt handelt jedoch ein beauftragtes Clubmanagement aufgrund anderer Motive. Es möchte den Nettonutzen des Clubs insgesamt maximieren, so dass aus dieser Perspektive das Kalkül gemäß (4*) entsteht:

(4*) s as s C

Nach bekannter Manier lassen sich die optimalen Mitgliederzahlen der beiden unterschiedlichen Clubperspektiven bestimmen. Dies führt bei individueller Maximierung zu:

(6*) 2 m a s = .

Durch die Vereinfachung des Modells mit Hilfe der Linearisierung der Nutzen-seite lassen sich ebenfalls die Größenrelationen der optimalen Mitgliederzahlen feststellen. Die optimale Clubmitgliedschaft aus individueller Sicht ist immer dann kleiner als die optimale Mitgliederanzahl, die sich aus Sicht der Manager ergeben würde (si < sm), wenn folgende Bedingung gegeben ist:

(12*) a>2 C.

„Diese Bedingung […] ist aber gleichzeitig die Bedingung für positive Netto-nutzen der Clubs insgesamt, die ja die Vorbedingung dafür sind, dass Clubs überhaupt zustande kommen“ (Zimmermann/Schemm-Gregory 2005, S. 236).

So lassen sich analog zu dem bisherigen Verfahren die Nettonutzen des jeweili-gen Clubs insgesamt errechnen. Bei individueller Maximierung gilt [(5*) in (3*) und anschließend Multiplikation mit si]:

(7*) C a C C

Aus Managersicht beträgt der Nettonutzen des Clubs insgesamt hingegen [(6*) in (4*)]:

Aus den beiden Ausdrücken (7*) und (8*) lässt sich jeweils die Bedingung si <

sm, die für einen positiven Nettonutzen der Clubs gegeben sein muss, herleiten.

Liegt ein solcher positiver Nettonutzen vor – es gilt also a>2 C bzw. si < sm – dann gilt wiederum, dass die Nettonutzen für den Clubs insgesamt aus Manager-sicht größer sind als die Nettonutzen des Clubs bei individueller Sichtweise [(8*) > (7*)], d.h. es gilt auch hier: C

NNm> C NNi .

Im nächsten Schritt werden die jeweiligen Nettonutzen pro Kopf bestimmt. Im individuellen Ansatz gilt:

„Ist die notwendige Bedingung [12*] positiver Nettonutzen der Clubs erfüllt, so übersteigt der Nettonutzen pro Kopf in selbstverwalteten Clubs [9*] den der Mitglieder in managergeführten Clubs [10*]“ (Zimmermann/Schemm-Gregory 2005, S. 237).

Um abschließend die sozialen Nettonutzen bei den jeweiligen Clubvarianten

be-rechnen zu können, muss die Gesamtgesellschaft B in bekannter Weise mit in die Betrachtung des Modells einbezogen werden. Dabei gilt wieder die Annah-me, dass die betrachtete Gesamtgesellschaft B aus dem Produkt der optimalen Mitgliederzahlen aus individueller und Managersicht definiert ist, d.h.:¹²⁰

(16*)

Es ergibt sich für die selbstverwalteten Clubs zur Berechnung des sozialen Net-tonutzens [(7*) (6*)]:

Der soziale Nettonutzen bei ausschließlich managergeführten Clubs beträgt [(8*) (5*)]:

Erneut lässt sich zeigen: „Bei Geltung der Bedingung [12*] ist der soziale Net-tonutzen bei ausschließlich selbstverwalteten Clubs [17*] größer, als wenn die Gesellschaft nur aus managergeführten Clubs [18*] bestehen würde (NNsi>

NNsm)“ (Zimmermann/Schemm-Gregory 2005, S. 238).

Insgesamt bestätigt das Zimmermann/Schemm-Gregory – Modell mit der linea-risierten Nutzenfunktion die Schlussfolgerungen, die am Ende des vorangegan-genen Kapitels II.5.1. gezogen worden sind. Zwar ergeben sich durch die Linea-risierung der Nutzenseite neue Nettonutzenfunktionen, nach denen die Wirt-schaftssubjekte handeln, dennoch bleibt das Modellergebnis in seinen grundle-genden Aussagen unverändert.

Natürlich kann man den von Zimmermann/Schemm-Gregory (2005) ge-wählten Ansatz auch „umdrehen“ und bei der ursprünglichen Nutzenfunktion eines Individuums nach Gleichung (1) bleiben. Dies bietet sich vor allem des-halb an, da durch die Linearisierung der Nutzenseite die Interpretation des Grundnutzens a doch sehr „künstlich“ wird. Es gilt dann zur Umgehung der ku-bischen Gleichung, die Kostenfunktion eines Individuums zu linearisieren. Es ergibt sich bei dieser Vorgehensweise folgende Ausgangssituation:

(1**) = (1) Ni=−s2+2s a und (2**) Ci =

(

C+1

)

−s.

Die linearisierte Kostenfunktion stellt hier eine Gerade mit der Steigung -1 dar.

Sie kann erstellt werden, wenn man bei der ursprünglichen Kostenfunktion (2) die Fälle s =1 und s = C bedenkt und diese beiden Punkte in einem Koordinaten-system unter Berücksichtigung des Ordinatenschnittpunktes verbindet. Es

120 Erneut wird das Clubteilbarkeitsproblem ausgeschlossen.

stehen die bekannten Maximierungskalküle NNi und NNm: (3**) NNi=−s2+2s a−C−1+s max, sowie

(4**) NNm=−s3+2s2 a+s2 −sC−s max.

Die Bestimmung der optimalen Mitgliederzahlen über die ersten Ableitungen von (3**) und (4**) ergibt:

Somit ergibt sich für die Nettonutzen der jeweiligen Clubs:

(7**) = (5**) in (3**); multipliziert mit si:

Für die jeweiligen Nettonutzen pro Kopf gilt dann entsprechend:

(14*) C s_i

NNi / aus der Perspektive der Selbstverwaltung und (15*) NN_m^C/s_m aus der Managerperspektive.¹²¹

Die Bevölkerung wird kann ebenfalls wie gewohnt berücksichtigt werden, so dass letztlich wiederum die sozialen Nettonutzen für die beiden unterschiedli-chen Clubperspektiven bestimmt werden können. Dieser kostenlinearisierte An-satz erscheint auf den ersten Blick vergleichsweise komplex. Dennoch darf man sich von den unzugänglich wirkenden mathematischen Ausdrücken nicht blen-den lassen.

121 Aufgrund der mangelnden Ausdrucksfähigkeit wird hier auf die Darstellung der kom-plexen mathematischen Ausformulierungen verzichtet.

(18**) NNsm= 



 



 +

2 1 27

1 a

[

^{−7+16a a+8a}

(

^{3+ −2+4 a+4a−3C}

)

^{+2 a}

(

^{−3+4 −2+4 a+4a−3C −9C}

)

^{−4 −2+4 a+4a−3C}

⁻³

(

^{3+2 −2+4 a+4a−3C}

)

^C

^]

.

Der Ansatz der Kostenlinearisierung bestätigt in seiner Auswertung die Aussa-gen über die Strukturen der Nutzengewinne und –verluste des Nutzenlinearisie-rungsansatzes, die durch Wahl des Clubmanagements entstehen können. In die-sem Zusammenhang ist besonders auf die Analyse von Rucht (2007) zu verwei-sen, in der durch einen Korrelationsvergleich untersucht wird, welcher der bei-den Linearisierungsansätze deutlichere Abweichungen von bei-den von Rucht (2007) geschätzten Optimalwerten zeigt. Seine Analyse ergibt, dass die optimale Clubmitgliederanzahl nach dem Ansatz der Kostenlinearisierung den überwie-gend besseren Schätzwert darstellt. Diese Diskussion soll jedoch hier nicht in-tensiver verfolgt werden. Die beiden Linearisierungsmodelle werden hier nur im Rahmen eines Exkurses vorgestellt, um eine grundsätzliche Alternative aufzu-zeigen, wie das Modell der kubischen Gleichung vereinfacht werden kann. Im weiteren Verlauf dieser Arbeit besteht keine theoretische Notwendigkeit, die li-nearisiernden Annahmen weiter zu betrachten. Das in dieser Arbeit vorgestellte Modell einer Welt voller Clubs bietet eindeutige Lösungen, so dass es einen hö-heren Erkenntniswert enthält, als die aufgezeigten Alternativen enthalten kön-nen.

Im Dokument Europa als ein Club voller Clubs W S W (Seite 81-86)