Auflösung von Singularitäten

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Auflösung von Singularitäten

Wintersemester 2014/15

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 9

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 20.01.2015

Aufgabe 1.(Vertauschungsregeln für strikte Transformationen von markierten Idealgarben) SeiW eine glatte Varietät,(I, j)eine markierte Idealgarbe aufWundπ:W⁰ →Weine Aufblasung mit glattem ZentrumZ ⊂V(I, j). Zeige:

(a) Es giltπ_∗⁻¹(Dⁱ(I, j))⊂Dⁱ(π_∗⁻¹(I, j))für alle0≤i≤j.

(b) Sei H⊂W eine glatte Hyperfläche mitZ(H,H⁰ die strikte Transformierte vonH inW⁰ undπH:H⁰ →H die eingeschränkte Aufblasung. Dann gilt

(πH)⁻¹_∗ (I|H, j) = (π⁻¹_∗ (I, j))|H⁰.

In den folgenden beiden Aufgaben seiW eine glatte Varietät,S ⊂W eine glatte Hyperfläche und I eine Idealgarbe aufW.

Die logarithmische Ableitung D(−logS)(I)von I entlang S ist die Idealgarbe, die von allen Bildern vonIunter k-Derivationend:OW → OW mitd(OW(−S))⊂ OW(−S)erzeugt wird. Die höheren logarithmischen Ableitungen von I entlang S definieren wir rekursiv durch

D^s(−logS)(I) :=D(−logS)(D^s−1(−logS)(I)) fürs >1.

Fürp∈W\S gilt offenbarD^s(−logS)(I)_p =D^s(I)_p für alles∈N. Aufgabe 2.(Logarithmisch abgeleitete Idealgarben I)

(a) Seip∈S ein abgeschlossener Punkt undx1, . . . , xn ein lokales System von Parametern bei p, so dassS in einer Umgebung vonpdurchx1= 0beschrieben wird. Für f ∈ OW,p setzen wir

∂_j^logf = (x₁_∂x^∂f

1 fürj= 1,

∂f

∂x_j für2≤j≤n.

Zeige, dassD(−logS)(I)_p= (∂_j^logf |f ∈ I_p,1≤j≤n). IstI_p= (f₁, . . . , f_r)undn >1, so wirdD(−logS)(I)_p von denf_i und den∂_j^logf_i erzeugt.

(b) Zeige, dass(D^s(−logS)(I))|_S =D^s(I|_S)für alles∈N.

Aufgabe 3.(Logarithmisch abgeleitete Idealgarben II)

Seij ∈N,π:W⁰ →W eine Aufblasung mit glattem Zentrum Z⊂S∩V(I, j)undS⁰ die strikte Transformierte vonS inW⁰. Zeige: Für alle0≤s < j gilt

π⁻¹_∗ (D^s(−logS)(I, j))⊂D^s(−logS⁰)(π_∗⁻¹(I, j))

und

D^sπ⁻¹_∗ (I, j) =

s

X

i=0

D^s−i(−logS⁰)(π⁻¹_∗ (Dⁱ(I, j))).

Hierbei seiD^s(−logS)(I, j) := (D^s(−logS)(I), j−s).

bitte wenden!

(2)

Hinweis: Die zweite Aussage ist nur auf S⁰ nicht-trivial. Sei p⁰ ∈ S⁰ ein abgeschlossener Punkt undy1, . . . , ynein lokales System von Parametern beip, so dassS in einer Umgebung vonpdurch y1= 0beschrieben wird. Zeige für(I⁰, j) =π⁻¹_∗ (I, j), dass

D^s(I_p⁰0) =D^s(−logS)(I_p⁰0) +D^s−1(−logS)(_∂y^∂

1I_p⁰0) +. . .+_∂y^∂^ss 1I_p⁰0, und verwende dann die Berechnungen aus Aufgabe 1.

Aufgabe 4.(Maximaler Kontakt in positiver Charakteristik)

SeiW =A⁴k = Speck[x, y, z, w]der affine vierdimensionale Raum über einem perfekter Körperk der Charakteristik 2,X die HyperflächeV(x²+yz³+zw³+y⁷w)⊂W undI =OW(−X). Zeige:

(a) Es gilt max-ord(I) = 2; der Ort maximaler Ordnung V(I,2) = Sing(X) wird als Menge durch die Gleichungen

x²+yz³+zw³+y⁷w=z³+y⁶w=yz²+w³=zw²+y⁷= 0

beschrieben und ist gerade die monomiale KurveC=im(t7→(t³², t⁷, t¹⁹, t¹⁵)).

(b) Es gibt keine Hyperfläche inW, dieC enthält und im Ursprung glatt ist. Insbesondere gibt es lokal um den Ursprung keine Hyperfläche maximalen Kontakts zuI (bzw.X).

Hinweis: Zeige und verwende, dass keine der Zahlen 32,7,19,15als nicht-negative Linear- kombination der anderen drei geschrieben werden kann.