Auflösung von Singularitäten

Auflösung von Singularitäten

Wintersemester 2014/15

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 8

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 16.12.2014

Aufgabe 1.(Stabile Einbettung in den affinen Raum)

Sei k ein Körper, X eine affine Varietät über k und i₁ : X ,→ Aⁿk sowie i₂ : X ,→ A^mk zwei abgeschlossene Immersionen in affine Räume über k. Sei j₁ = (id,0) : Aⁿk → A^n+mk (bzw.

j₂ = (0,id) : A^mk → A^n+mk ) die abgeschlossene Immersion auf die ersten n (bzw. die letzten m) Koordinaten. Zeige, dass es einen Automorphismusϕ∈Aut(A^n+mk )gibt, derj₁◦i₁ in j₂◦i₂ überführt.

Hinweis.Zeige zunächst, dassi1überX ,→ⁱ² A^mk f2

−→A^mk undi2überX ,→ⁱ¹ Aⁿk f1

−→A^mk faktorisiert.

Konstruiere dannϕ1, ϕ2∈Aut(A^n+mk ), so dassϕ1◦j1◦i1=ϕ2◦j2◦i2.

Aufgabe 2.(Funktorielle Auflösung durch affine Überdeckungen)

Sei X eine Varietät und {Ui}i eine endliche offene affine Überdeckung von X. Sei X⁰ die affine Varietät`

iU_i mit dem surjektiven glatten Morphismusσ:X⁰→X, gegeben durch die Inklusio- nenU_i,→X. Daneben sei X⁰⁰ die affine Varietät`

i,jU_i∩U_j mit den beiden surjektiven glatten Morphismenh₁, h₂:X⁰⁰→X⁰, wobeih₁|_Ui∩Uj :U_i∩U_j→U_i undh₂|_Ui∩Uj :U_i∩U_j →U_j jeweils die üblichen Inklusionsabbildungen sind. Sei

B⁰ Π : X_m⁰ −−−→^πm−1 X_m−1⁰ −−−→^πm−2 . . . −→^π1 X₁⁰ −→^π0 X₀⁰ = X⁰

∪ ∪ ∪

Z_m−1⁰ Z₁⁰ Z₀⁰

eine Aufblasungsfolge zu X⁰ mit h^∗₁B⁰ = h^∗₂B⁰. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Aufbla- sungsfolgeBzuX gibt, so dassB⁰=g^∗B.

Zur Erinnerung: Ein Morphismus vom endlichen Typ f : Y → X von Schemata ist glatt (der relativen Dimensionr), wenn es zu jedem Punkty∈Y offene affine UmgebungenU = SpecA⊂X von f(y)und V = SpecA[T1, . . . , Tn]/(P1, . . . , Pm) ⊂Y von y mit n =m+r gibt, so dass das von denm×m-Minoren von(^∂P_∂Tⁱ

j)ij erzeugte Ideal nirgendwo inV verschwindet.

Aufgabe 3.(Glatte Morphismen und abgeschlossene Immersionen)

Seih:Y →X ein glatter Morphismus von Varietäten über einem Körperk undi:X →W eine abgeschlossene Immersion von X in eine glattek-Varietät W. Zeige, dass man für jeden Punkt y∈Y nach Einschränken vonY, X undW auf lokale Umgebungen vony,h(y)undi(h(y))eine glattek-VarietätV sowie eine abgeschlossene Immersionj:Y →V und einen glatten Morphismus g:V →W finden kann, so dass das Diagramm

Y

h

j //V

g

X

i //W

kartesisch ist.

Hinweis.Seien oBdAV = SpecB,X = SpecAundY = SpecA[T1, . . . , Tn]/(P1, . . . , Pm)affin wie oben. Wähle RepräsentantenQi∈B[T1, . . . , Tn]derPi und konstruiere damit die VarietätW.

Aufgabe 4.(Auflösung von Singularitäten für Flächen in beliebiger Charakteristik II)

Benutzen Sie die Methoden von Aufgabe 4 vom letzten Blatt, um die Aussage von Aufgabe 4 vom Blatt 5 über beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körpern zu beweisen:

Sei V eine glatte dreidimensionale Varietät über einem algebraisch abgeschlossenem Körper k, S ⊂ V eine Fläche und r = max-ordS > 1. Es sei Z entweder eine irreduzible glatte Kurve C⊂Sing_r(S)oder ein abgeschlossener Punkt inSing_r(S). Seiπ: ˜V →V die Aufblasung entlang Z, S˜ die strikte Transformierte von S in V˜ und E der exzeptionelle Divisor von π. Dann ist Sing_r( ˜S)∩Eentweder eine glatte Kurve oder eine endliche Menge von abgeschlossenen Punkten.

Sind sowohl Z =C als auchSing_r( ˜S)∩E = ˜C Kurven, so ist π|C˜: ˜C → C ein Isomorphismus.

Für jeden Punktq∈Sing_r( ˜S)∩Egiltτ(q)≥τ(π(q)).

Hinweis. Für einen Punkt p ∈ Z betrachte man die Aufblasung π⁰: V⁰ → Vˆp entlang Zˆp und nutze die Notation aus Aufgabe 4 vom letzten Blatt. Beim Beweis ersetze man die formale Fläche maximalen Kontakts durch die formale approximierende Mannigfaltigkeit N =V(M)⊂Vˆ_p und zeige: Es gilt Zˆ_p ⊂ N; ist N⁰ bzw. S⁰ die strikte Transformierte von N bzw. Sˆ_p in V⁰ und E⁰ = π⁰⁻¹(p), so gilt Sing_r(S⁰)∩E ⊂ N⁰ ∩E. Dabei hat N⁰ ∩E Dimension 2−τ(p), falls dimZ <dimN = 3−τ(p)bzw. ist leer, fallsZˆ_p=N.