J. Cuntz und T. Timmermann SS 14 Ubung zur K-Theorie¨
Blatt 5
Aufgabe 1. Wir setzen die Aufgabe 4 vom letzten Blatt fort. Sei also A eine unitale C∗-Algebra. Wir sahen, dass jedes Element von K1(S(A)) durch als Differenz von zwei invertierbaren Elementen der Form a0z + a1 mit a0, a1 ∈ Mm(A) unda1+a0 = 1m dargestellt werden kann, wobei z in der Unitalisierung S(A) =] C((0,^1);A) gegeben ist durcht7→e2πit. Zur Vereinfachung der Notation nehmen wir nunm= 1 an (sonst k¨onnen wir einfach zuMm(A) ¨ubergehen) und setzen
X :={a∈A :az + 1−a invertierbar in S(A)}.]
(a) Zeige: a ∈ A liegt in X genau dann, wenn das Spektrum vonσ(a) keinen Punkt von{1/(1−z) :z ∈T, z 6= 1} enth¨alt.
(b) Seia∈X. Zeige mit Hilfe des holomorphen Funktionalkalk¨uls, dass es eine stetige Abbildung b: [0,1] → X gibt mit b(0) = a und σ(b(1)) ⊆ {0,1}, also b(1) =b(1)∗ =b(1)2.
(c) Sei a ∈ X. Zeige, dass es eine Projektion p ∈ A mit [az + (1−a)] = [pz+ (1−p)]∈K1(S(A)) gibt.
Zusammen mit der Aufgabe 4 vom letzten Blatt erhalten wir somit die Surjek- tivit¨at der Bott-Abbildungβ: K0(A)→K1(S(A)).
Aufgabe 2. Bestimme die 6-Term-Sequenzen der K-Theorie (d.h. die K-Gruppen und Homomorphismen) f¨ur folgende exakte Sequenzen:
(a) C0((0,1)),→C([0,1]) C⊕C;
(b) A ,→A˜C, wobei ˜A die Unitalisierung von A bezeichne;
(c) C0((0,1)),→C(T)C, wobei T=∂D mit D={λ∈C:|λ| ≤1};
(d) C0(intD),→C(D)C(T).
Aufgabe 3. Sei A die universelle C∗-Algebra, die von zwei Projektionen p, q erzeugt wird. Im letzten Semester sahen wir ( ¨Ubungsblatt 1, Aufgabe 2), dass wir A mit der C∗-Algebra
{f ∈C([0,1];M2(C)) :f(0), f(1) sind diagonal}
identifizieren k¨onnen, wobei pund q den Funktionen t7→
1 0
0 0
, t7→
c2(t) c(t)s(t) c(t)s(t) s2(t)
mit c(t) = cos(πt/2), s(t) = sin(πt/2)
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entsprechen. Wir wollen die K-Gruppen von Abestimmen und betrachten dazu die kurze exakte Sequenz
C((0,1);M2(C)),→A π C2 ⊕C2, wobei π(f) = (f(0), f(1)) f¨ur alle f ∈A.
(a) Bestimme die Bilder von [1A], [p] und [q] in unter der Abbildungπ∗:K0(A)→ K0(C2⊕C2)∼=Z2⊕Z2.
(b) Zeige, dass die Rand-Abbildung K0(C2 ⊕C2) → K1(C(0,1);M2(C)) der zugeh¨origen 6-Term-Sequenz die Form
Z2⊕Z2 3(a, b, c, d)7→(a+b)−(c+d)∈Z hat.
(c) Zeige, dass K0(A) von [1A], [p] und [q] als abelsche Gruppe frei erzeugt wird und insbesondere isomorph zu Z3 ist und dass K1(A) = 0.
Aufgabe 4. (a) Wir betrachten eine kurze exakte Sequenz I ,→Aπ B, wobei A, B unital sind. Sei u ∈ Mn(B) unit¨ar und bezeichne πn: Mn(A) → Mn(B) die induzierte Surjektion. Zeige:
i) es gibt eina ∈Mn(A) mit kak= 1 undπn(a) =u;
ii) v :=
a 0
(1−a∗a)1/2 0
∈M2n(A) ist eine partielle Isometrie;
iii) die Indexabbildung δ: K1(B) → K0(I) schickt [u] auf [12n−v∗v]− [12n−vv∗].
(b) Wir betrachten die 6-Term-Sequenz zu der kurzen exakten FolgeC0(intD)→ C(D)→C(T). Verwende (a), um explizit die Bilder von [zm]∈K1(C(T)) f¨urm ∈Z unter der Randabbildung zu berechnen.
Aufgabe 5. Seien a, b∈N und ιa: Ma(C)→ Mab(C) und ιb: Mb(C)→Mab(C) definiert durch T 7→diag(T, . . . , T). Berechne die K-Gruppen der C∗-Algebra
{f ∈C([0,1];Mab(C)) :f(0) ∈ιa(Ma(C)), f(1)∈ιb(Mb(C))}.
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