Auflösung von Singularitäten
Wintersemester 2014/15
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut Übungsblatt 2
Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 04.11.2014
Aufgabe 1.(Aufblasung und Faserprodukt)
Seif :X0 →X ein Morphismus von noetherschen Schemata, Y ⊂X ein abgeschlossenes Unter- schema undY0=f−1(Y)⊂X0. SeiX˜ →X die Aufblasung vonX entlangY,Z=X0×XX˜ das Faserprodukt vonX0 und X˜ überX mit kanonischem Morphismus pr1 : Z →X0. Zeige: IstW der Abschluss vonpr−11 (X0\Y0)inZ, so istpr1|W :W →X0 die Aufblasung vonX0 entlangY0. Aufgabe 2.(Aufblasung eines gewöhnlichen Doppelpunktes)
Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper mit char(k)6= 2 und X eine Varietät überk. Ein Punkt p∈ X heißt ein gewöhnlicher Doppelpunkt, falls die Vervollständigung des lokalen Rings OX,pvon der Form
OˆX,p∼=kJx0, . . . , xnK/(x20+. . .+x2n) mitn≥1
ist (im Fall n = 1 nennt man dies auch einen Knoten).1 Angenommen, X ist nicht-singulär außerhalbpund hat einen gewöhnlichen Doppelpunkt inp. SeiX˜ →X die Aufblasung vonX in p. Zeige:
(a) X˜ ist nicht-singulär.
(b) SeiY ⊂X ein beliebige nicht-singuläre Untervarietät der Dimensionn−1mitp∈Y. Dann ist die Aufblasung vonX entlangY nicht-singulär.
Aufgabe 3.(Aufblasung entlang eines Koordinatenkreuzes I)
Seik ein Körper mitchar(k)6= 2undL, M die Geraden V(x, y), V(x, z)inA3k = Speck[x, y, z].
SeiX →A3k die Aufblasung vonA3k entlangN =L∪M =V(x, yz). Zeige:
(a) Für jedesp∈N ist die FaserXp isomorph zuP1kp.
(b) X ist singulär: Es enthält einen gewöhnlichen Doppelpunkt.
Aufgabe 4.(Aufblasung entlang eines Koordinatenkreuzes II)
Wir benutzen weiter die Notation aus Aufgabe 3. SeiY →A3k die Aufblasung von A3k entlangL undX0→Y die Aufblasung von Y entlang der strikten TransformiertenM˜ ⊂Y vonM. Analog seiZ →A3k die Aufblasung vonA3k entlang M undX00 →Z die Aufblasung vonZ entlang der strikten TransformiertenL˜⊂Z von L. Zeige:
(a) Die zusammengesetzten MorphismenX0→A3k,X00→A3k faktorisieren über X→A3k. (b) X0 und X00 sind nicht isomorph als X-Schemata, d.h. die Kommutatorregel gilt nicht für
Aufblasungen entlang strikter Transformierten.
1Istk ein beliebiger Körper der Charakteristik 6= 2, so heiße p ∈ X gewöhnlicher Doppelpunkt, wenn alle darüberliegende Punkte in dem Basiswechsel X¯k über einem algebraischen Abschluss ¯kvonkdiese Eigenschaft haben.
