Vorlesung 23
Isolierte Singularitäten komplexer Funktionen
Seien eine offene Menge U C, ein Punkt z0 2 C sowie Radien r0, r1 2 R mit 0 < r0 < r1gegeben, so daß derabgeschlossene Kreisring˚
z 2Cjr0 jz z0j r1
um den Mittelpunktz0 2 Cmit dem inneren Radiusr0 und dem äußeren Radiusr1
inU liegt. Ferner definiert man die beiden Kreislinien0,1 WŒ0; 2!CinU durch 0.t / Dz0Cr0Exp.it /und1.t / Dz0Cr1Exp.it /fürt 2Œ0; 2.
Integralformel von Cauchy für Kreisringe. Istf WU !Ceine analytische Funk- tion, so ist die für einen beliebig gegebenen Punktz 2Cmitr0<jz z0j< r1durch
g./D 8
<
:
f . / f .z/
z für2 U mit¤z;
Df .z/ für2 U mitDz;
definierte FunktiongWU !Canalytisch. Man erhält vermöge
'.t; /Dz0C.1 /r0Exp.it /C r1Exp.it / fürt 2Œ0; 2, 2 Œ0; 1;
einegeschlossene Deformation' W Œ0; 2Œ0; 1 !Cvon0in1innerhalb vonU. Nach dem Integralsatz von Cauchy gilt somitR
1g./ d D R
0g./ d . Da sowohl ind.1; z/D1als auch ind.0; z/D0gilt, liefert die Darstellung
g./D f ./
z
f .z/
z für 2Cmitj z0j Dr0 oderj z0j Dr1
dieIntegralformel von Cauchy f .z/D 1
2i Z
1
f ./ d
z
1 2i
Z
0
f ./ d
z für jedesz 2Cmitr0 <jz z0j< r1: Nebenteil der Laurent-Entwicklung. Ist f W U ! C eine analytische Funktion, so erhält man wegen der gleichmäßigen Konvergenz der geometrischen Reihe
1
z D 1
z0 1
X
kD0
z z0
z0
k
für,z 2Cmitjz z0j<j z0j Dr1
durch Integration längs1 die Konvergenz desNebenteils Pn
kD0ak.z z0/k gegen 1
2i Z
1
f ./ d
z D 1
2i Z
1
f ./
z0 1
X
kD0
z z0
z0
k d D
1
X
kD0
ak.z z0/k
fürjz z0j< r1, wobei die Koeffizienten.ak/durch ak D 1
2i Z
1
f ./. z0/ k 1d 2 C fürk2 N[ f0ggegeben sind:
2
Hauptteil der Laurent-Entwicklung. Istf W U ! C eine analytische Funktion, so ergibt sich wegen der gleichmäßigen Konvergenz der geometrischen Reihe
1
z D 1
z z0 1
X
kD1
z0
z z0
k 1
für alle,z 2Cmitr0 D j z0j<jz z0j
durch Integration längs0die Konvergenz desHauptteils Pn
kD1a k.z z0/ k gegen 1
2i Z
0
f ./ d
z D 1
2i Z
0
f ./
z z0 1
X
kD1
z0
z z0
k 1 d D
1
X
kD1
a k.z z0/ k
fürjz z0j> r0, wobei die Koeffizienten.a k/durch a k D 1
2i Z
0
f ./. z0/k 1d 2 C fürk 2N gegeben sind:
Laurent-Entwicklung in Kreisringen. Seif WU !Ceine analytische Funktion.
1. Dann konvergiert die aus Neben- und Hauptteil zusammengesetzte Laurent- Reihe Pn
kDmak.z z0/k
von f aufgrund der Integralformel von Cauchy für jedes z 2Cmitr0 <jz z0j< r1im Grenzprozeßn! 1,m! 1gegen den Wert
f .z/ D
1
X
kD 1
ak.z z0/k D
1
X
kD0
ak.z z0/k C
1
X
kD1
a k.z z0/ k 2C:
2. Sind außerdem Koeffizienten bk 2 C für k 2 Z gegeben, so daß die Laurent- Reihe Pn
kDmbk.z z0/k
für jedesz 2 C mitr0 < jz z0j < r1 im Grenzprozeß n! 1,m! 1ebenfalls gegen den Wertf .z/2 Ckonvergiert, dann giltak Dbk
für jedesk2Z.
3. Seien Grenzena,b 2Rdes IntervallsX D Œa; bRmita < bgegeben. Dann gilt für jeden geschlossenen Weg WX !Cin˚
z 2 Cjr0 jz z0j r1 stets ind.; z0/ak D 1
2i Z
f ./. z0/ k 1d für jedesk 2Z:
Laurent-Entwicklung in der Umgebung isolierter Punkte. Seien eine offene Teil- menge U C sowie eine analytische Funktion f W U ! C, ferner ein isolierter Punktz0vonCnU, ein Radiusr > 0mit˚
z 2C j 0 <jz z0j r U sowie die Kreislinie WŒ0; 2!Cdurch.t /Dz0CrExp.it /fürt 2Œ0; 2gegeben.
1. Dann konvergiert dieLaurent-Reihe Pn
kDmak.z z0/k
vonf umz0mit ak D 1
2i Z
f ./. z0/ k 1d 2C fürk2 Z
für jedesz 2C,0 <jz z0j< r im Grenzprozeßn! 1,m! 1gegen den Wert f .z/ D
1
X
kD 1
ak.z z0/k D
1
X
kD0
ak.z z0/k C
1
X
kD1
a k.z z0/ k 2C:
3
2. Das Infimum!f.z0/D inf˚
k 2 Zj ak ¤0 2 Z[ f 1;1gwird alsOrdnung der Singularität des isolierten Punktesz0 2CnU vonf bezeichnet.
2.1. Im Falle!f.z0/D 1besitztf inz0 2CnU einewesentliche Singularität.
2.2. Im Falle 1 < !f.z0/ < 0 hat f in z0 2 CnU eine Polstelle der Ordnung kD j!f.z0/j 2N. Dabei gilt limz!z0.z z0/kf .z/Da k ¤0.
2.3. Im Falle !f.z0/ 0besitztf inz0 2 CnU einehebbare Singularität. Wegen limz!z0f .z/Da0tritt gar keine Singularität auf: Der Nebenteil Pn
kD0ak.z z0/k konvergiert im ganzen Kreis˚
z 2Cj jz z0j< r gegen die Fortsetzung vonf. 2.4. Im Falle 0 < !f.z0/ < 1 istz0 2 CnU eine Nullstelle vonf der Ordnung kD!f.z0/2 N. Dabei gilt limz!z0.z z0/ kf .z/Dak ¤0.
2.5. Im Falle!f.z0/D 1istf D0die Nullfunktion.
Residuensatz. Seien U C einfach zusammenhängend und offen,a,b 2 RInter- vallgrenzen vonX D Œa; b Rmita < b und W X ! Cein geschlossener Weg inU. Seien fernerz1; : : : ; zn2 Un ŒX Mittelpunkte sowier1; : : : ; rn > 0Radien der abgeschlossenen KreiseB` D ˚
z 2 C j jz z`j r` sowie` W Œ0; 2 !C jeweils die Kreislinie`.t / Dz`Cr`Exp.it /fürt 2Œ0; 2und`2 f1; : : : ; ng.
1. Sind die KreiseB`zueinanderpaarweise disjunktund giltB`U n ŒX für alle
`2 f1; : : : ; ng, dann ergibt sich für jede analytische Funktionf WUnfz1; : : : zng !C die Integralformel
1 2i
Z
f .z/ dzD
n
X
`D1
ind.; z`/ 2i
Z
`
f .z/ dz:
2. Da für` 2 f1; : : : ; ngdie Laurent-Reihe Pn
kDmak`.z z0/k
vonf umz`mit ak` D 1
2i Z
`
f ./. z`/ k 1d 2 C fürk 2Z
für jedesz 2 C,0 < jz z`j< r`im Grenzprozeßn! 1,m ! 1gegen den Wert f .z/D
1
X
kD 1
ak`.z z0/k D
1
X
kD0
ak`.z z0/kC
1
X
kD1
a k`.z z0/ k 2C
konvergiert, liefert die obige Integralformel die alternative Darstellung 1
2i Z
f .z/ dzD
n
X
`D1
ind.; z`/a 1`:
