Auösung von Singularitäten
Wintersemester 2014/15
Universität Heidelberg
Mathematisches Institut Übungsblatt 4
Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Montag, 17.11.2014
Aufgabe 1. (Ordnungen und Aufblasungen von Kurven)
SeiSeine nicht-singuläre Fläche über einem Körperk,C⊂Seine Kurve undp∈Sein Punkt. Sei π: ˜S→Sdie Aufblasung vonSinp,C˜ die strikte Transformation vonCundEder exzeptionelle Divisor vonπ. Zeige:
X
q∈C∩E˜
[k(q) :k(p)] ordqC˜ ≤ordpC.
Aufgabe 2. (Auösung von Singularitäten für Kurven über beliebigen Körpern) Seikein Körper undX eine Kurve überk. Zeige:
(a) Istπ: ˜X→Xdie Aufblasung vonX in einem abgeschlossenen Punktp, so istπein endlicher und damit aner Morphismus. Der Garbenhomomorphismus OX →π∗OX˜ ist injektiv; er ist genau dann ein Isomorphismus, wenn π dies ist, und letzteres ist genau dann der Fall, wennpein nicht-singulärer Punkt von X ist.
(b) Wir denieren den Auösungsalgorithmus fürX0=X rekursiv wie folgt: IstXn−1singulär, so sei πn : Xn → Xn−1 die Aufblasung von Xn−1 im singulären Ort. Zeige, dass Fn :=
coker(OXn−1 → πn∗OXn) eine Wolkenkratzergarbe ist. Folgere, dass die Folge der Euler- Charakteristikenχ(Xn,OXn)monoton wachsend und nach oben beschränkt ist, und benutze nun (a), um zu folgern, dass die Aufblasungen nach endlich vielen Schritten mit einer nicht- singulären Kurve abbrechen.
In den folgenden beiden Aufgaben verstehen wir unter einer Auösung von Singularitäten einer Varietät X über einem Körper k einen eigentlichen birationalen Morphismus X˜ →X von einer nicht-singulären VarietätX˜ überkauf X.
Aufgabe 3. (Auösung von Unbestimmtheiten)
Seiφ:X 99KY eine rationale Abbildung zwischen eigentlichen Varietäten über einem Körperk. Unter einer Auösung von Unbestimmtheiten vonφverstehen wir eine eigentliche nicht-singuläre k-VarietätX0 zusammen mit einem birationalen Morphismusψ:X0→X und einem Morphismus λ:X0 →Y, so dass λ=φ◦ψ. Benutze den Graphen vonφ, um zu zeigen, dass aus der Auö- sung von Singularitäten für Varietäten überkdie Auösung von Unbestimmtheiten für rationale Abbildungen zwischen eigentlichenk-Varietäten folgt.
Aufgabe 4. (Hyperächen, Prinzipalisierung und Auösung von Singularitäten)
SeiW eine nicht-singuläre Varietät über einem KörperkundI eine Idealgarbe aufW. Unter einer Prinzipalisierung von I verstehen wir einen eigentlichen birationalen Morphismus φ:W0 →W, so dassW0 nicht-singulär undφ−1I · OW0 lokal von einem Element erzeugt ist.
Seikein perfekter Körper undn∈N0. Angenommen, die Auösung von Singularitäten existiere für projektive Hyperächen überkder Dimensionn, und die Prinzipalisierung von Idealen sei für nicht-singuläre Varietäten überk der Dimension n möglich. Zeige, dass dann die Auösung von Singularitäten für beliebige quasi-projektivek-Varietäten der Dimensionnmöglich ist.
Hinweis. SeiV eine quasi-projektivek-Varietät der Dimensionn. Zeige zunächst, dass manV oBdA als irreduzibel und projektiv annehmen kann. Wähle dann man eine separable Transzendenzbasis von k(V) und benutze den Satz vom primitiven Element, um eine zu V birationale projektive Hyperäche V ⊂ Pn+1k zu nden. Sei Γφ der Graph der birationalen Abbildung φ : V 99K V. Verwende nun obige Annahmen und Satz 2.9, um eine Auösung von Singularitäten für Γφ und damit fürV zu nden.
