Auflösung von Singularitäten

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Auflösung von Singularitäten

Wintersemester 2014/15

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 10

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 27.01.2015

Aufgabe 1.(Invarianz von Idealen unter Morphismen nahe der Identität)

Sei K|k eine endliche Erweiterung von Körpern der Charakteristik 0, R = KJx1, . . . , xnK der formale Potenzreihenring in n Variablen über K mit Maximalidealm und I ⊂ R, B ⊂ m zwei Ideale. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a) B·D(I)⊂I,

(b) B^j·D^j(I)⊂I für allej∈N,

(c) I ist invariant unter jedem k-Automorphismus von R der Form 1+B, d. h. für jeden k- Automorphismus φ:R→R mitφ(xi)−xi=bi∈B füri= 1, . . . , ngiltφ(I) =I.

Hinweis:Benutze die Taylorentwicklung von Elementen inIund den Krull’schen Durchschnittsatz.

Aufgabe 2.(Koeffizientenideale)

SeiW eine glatte Varietät über einem Körper der Charakteristik0,I eine Idealgarbe auf W mit max-ordI = r. Ist s eine natürliche Zahl, so ist dasKoeffizientenideal der Ordnung s zu I die Idealgarbe

Ws(I) :=

r−1

Y

j=0

D^j(I)^cj

X

j

(r−j)cj≥s

!

⊂ OW.

(a) Zeige: Fürs, t∈Ngiltmax-ordW_s(I) =sund

(1) Ws+1(I)⊂Ws(I) (3) D(Ws+1) =Ws(I)

(2) Ws(I)·Wt(I)⊂Ws+t(I) (4) M C(Ws(I)) =W1(I) =M C(I) Folgere, dass alle Koeffizientenideale M C-invariant sind.

Hinweis: Für die schwierigere Richtung von (3) wähle man lokal bei einem abgeschlossenen Punkt p∈V(I, r)ein Element x1 ∈M C(I)mit ordpx1= 1und zeige per Induktion über t, dassx^s−t₁ Wt(I)p ⊂D(Ws+1(I))p fürt≤s.

(b) Seim= kgV(2, . . . , r). Zeige mittels Schubfachprinzip, dassWs+m(I) =Ws(I)·Wm(I)für alles≥(r−1)mgilt. Folgere: Fürs=lmmitl≥r−1giltWs(I)ⁱ=Wis(I)für allei∈N; insbesondere istWs(I)D-ausgewogen.

Aufgabe 3.(Tuning von Idealgarben)

SeiW eine glatte Varietät über einem Körper der Charakteristik0,I eine Idealgarbe auf W mit max-ordI=r. Seis∈NundJ eine Idealgarbe aufW mitI^s⊂ J ⊂Wrs(I). Zeige per Induktion überm: Eine glatte Aufblasungsfolge

Π :W^(m)−−−→^π^m−1 W^(m−1)−−−→^π^m−2 . . .−→^π¹ W⁽¹⁾ −→^π⁰ W⁽⁰⁾=W

ist genau dann eine glatte Aufblasungsfolge der Ordnungrzu(W,I), wenn sie eine glatte Aufbla- sungsfolge der Ordnungrszu(W,J)ist. In diesem Fall gilt

Π⁻¹_∗ (I)^s⊂Π⁻¹_∗ (J)⊂W_rs(Π⁻¹_∗ (I)) und daher insbesondereV(Π⁻¹_∗ (I), r) =V(Π⁻¹_∗ (J), rs).

Hinweis:Benutze Aufgabe 2, Lemma 8.3 aus der Vorlesung und die offensichtliche Transformations- regelπ⁻¹_∗ (˜I1I˜2) =π⁻¹_∗ I˜1·π_∗⁻¹I˜2 für markierte Ideale I˜i = (Ii, ri) mit max-ordIi ≥ri, i= 1,2 (unter der Konvention(I1, r1)(I2, r2) = (I1I2, r1+r2)).

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Aufgabe 4.(Etale Äquivalenz)

SeiX eine Varietät der Dimensionn über einem perfekten Körperk, x∈X ein abgeschlossener nichtsingulärer Punkt und f1, . . . , fn ∈Γ(X,OX) globale Schnitte, die ein reguläres System von Parametern vonX beixbilden. Zeige:

(a) Der durchTi7→fi,i= 1, . . . , n,induzierte Morphismusφ:X→Aⁿk = Speck[T1, . . . , Tn]ist étale oberhalb einer Umgebung des Ursprungs von Aⁿk.

(b) Sei Y eine weitere Varietät der Dimension n überkund g₁, . . . , g_n globale Schnitte auf Y, die ein reguläres System von Parametern bei einem abgeschlossenen Punkt y ∈Y bilden.

Setze

Z =V(pr^#₁(f₁)−pr^#₂(g₁), . . . ,pr^#₁(f_n)−pr^#₂(g_n))⊂X×_kY.

Zeige, dasspr₁|Z:Z→X undpr₂|Z :Z →Y étale Morphismen sind.

Hinweis: Zeige, dassZ=X×_Aⁿ

k Y, wobeiφ⁰:Y →Aⁿk durchT_i7→f_i definiert ist.

Folgere: Sindp∈X, p⁰ ∈Y zwei beliebige nicht-singuläre Punkte der gleichen Kodimension, so sind sie étale äquivalent, d. h. es gibt eine k-Varietät Z, einen Punkt q ∈ Z und endliche étale Morphismenψ:Z →X,ψ⁰: Z→Y, so dassψ(q) =pundψ⁰(q) =p⁰.