Auflösung von Singularitäten

Auflösung von Singularitäten

Wintersemester 2014/15

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 7

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 09.12.2014

Aufgabe 1.(Keine Funktorialität für beliebige Morphismen)

Sei k ein Körper der Charakteristik 0. Zeige: Es ist nicht möglich, jeder k-Varietät X einen bi- rationalen Morphismus f_X:X⁰ → X von einer glatten k-Varietät zuzuweisen, der in folgendem Sinne funktoriell ist: FürjedenMorphismusφ:X →Y vonk-Varietäten gibt es einen eindeutigen Morphismusφ⁰:X⁰→Y⁰, so dass das Diagramm

X^{0 φ}

0 //

fX

J

Y⁰

fY

X φ //Y.

kartesisch ist.

Hinweis.Benutze das BeispielY =A²k →X =V(y²−xz)⊂A³k,(s, t)7→(s², st, t²).

Aufgabe 2.(Funktorialität und Gruppenwirkung)

Seikein algebraisch abgeschlossener¹ Körper der Charakteristik 0.

Einealgebraische Gruppe oderGruppenvarietät überkist ein Gruppenobjekt in der Kategorie derk-Varietäten, also einek-VarietätGzusammen mit Morphismen µ:G×G→G,ρ:G→G und einem rationalen Punkte∈G(k), so dassG(k)mit der Verknüpfungµ:G(k)×G(k)→G(k) und der Inversenabbildungρ:G(k)→G(k)zu einer Gruppe mit neutralem Elementewird. Eine algebraische GruppeGist automatisch glatt überk(dies gilt nur in Charakteristik0).

Sei G eine algebraische Gruppe über k und X eine k-Varietät. Sei α:G×k X → X eine GruppenwirkungvonGaufX, d. h.G(k)→AutX,g7→α(g,·), sei ein Gruppenhomomorphismus.

Zeige, dass αglatt ist, und folgere, dass für eine funktorielle Auflösung f_X:X⁰ →X wie im 5.

Ansatz aus der Vorlesung eine eindeutige Gruppenwirkung α⁰:G×kX⁰ → X⁰ existiert, so dass f_X G-äquivariant ist, d. h. es giltf_X◦α⁰=α◦(id_G×f_X) :G×_kX⁰→X.

Aufgabe 3.(Basiswechsel von Aufblasungsfolgen)

Seih:Y →X ein flacher Morphismus von noetherschen Schemata und B: X_m−−−→^πm−1 X_m−1−−−→^πm−2 . . .−→^π1 X₁−→^π0 X₀=X

eine Folge von Aufblasungen mit ZentrenZ_i⊂X_i füri= 0, . . . , m−1. Sei

h^∗B: X_m×_XY −−−−−−→^πm−1×id X_m−1×_XY −−−−−−→^πm−2×id . . .−−−−→^π1×id X₁×_XY −−−−→^π0×id X₀×_XY =Y

die basisgewechselte Kette von Morphismen. Zeige:

(a) h^∗Bist eine Folge von Aufblasungen mit ZentrenZi×XY ⊂Xi×XY,i= 0, . . . , m−1.

(b) Isthsurjektiv, so istB eindeutig durchh^∗Bbestimmt.

Hinweis.Bestimme rekursiv Z_i ausZ_i×_XY.

1Die Aufgabe funktioniert genauso über einem beliebigen Körper der Charakteristik0. Die Annahme, dass k algebraisch abgeschlossen ist, dient lediglich der Vereinfachung der Notation.

Aufgabe 4.(Auflösung von Singularitäten für Flächen in beliebiger Charakteristik I)

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper beliebiger Charakteristik,V eine glatte dreidimen- sionale Varietät über k, S ⊂ V eine singuläre Fläche und r = max-ordS > 1. Sei p ∈ S ein abgeschlossener Punkt,f = 0die lokale Gleichung vonS beipundx, y, z formale lokale Koordi- naten vonOˆV,p. Zu der Potenzreihenentwicklung

f = X

i+j+k≥r

aijkxⁱy^jz^k

wählen wir den HauptteilL(x, y, z) =P

i+j+k=raijkxⁱy^jz^k und definierenτ(p)als die Dimension des minimalen Unterraumes vonkx⊕ky⊕kz, so dassL∈k[M]. Zeige:

(a) τ(p)hängt nicht von der Wahl der formalen lokalen Koordinaten ab. Es gilt1≤τ(p)≤3.

(b) Seiτ(p) = 3. Dann gibt es keine glatte KurveCinSing_r(S), diepenthält. Istπ: V₁→V die Aufblasung vonV inpundS₁ die strikte Transformierte vonS inV₁, dann giltord_qS₁< r für jeden Punktq∈π⁻¹(p).