Auflösung von Singularitäten

Auflösung von Singularitäten

Wintersemester 2014/15

Universität Heidelberg

Mathematisches Institut Übungsblatt 5

Dr. A. Holschbach zu bearbeiten bis Dienstag, 25.11.2014

Aufgabe 1.(Weierstraß’scher Vorbereitungssatz)

Seikein Körper undf ∈kJx₁, . . . , x_n, zKeine Potenzreihe mit0< r= ord_z=0f(0, . . . ,0, z)<∞.

Zeige mit dem verallgemeinerten Hensel’schen Lemma denWeierstraß’schen Vorbereitungssatz: Es gibt eine invertierbare Potenzreiheu∈kJx1, . . . , xn, zK

× unda1, . . . , ar∈kJx1, . . . , xnK, so dass

f =u(z^r+a1z^r−1+. . .+ar).

Aufgabe 2.(Formale Hyperfläche maximalen Kontakts)

SeiW eine glatte Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körperkder Charakteristik0, X ⊂W eine Hyperfläche,n= dimX,r= max-ordX undp∈X mit ordpX =r. Zeige:

(a) Es gibt es formale lokale Koordinaten¹x1, . . . , xn, z vonOˆW,p, so dass OˆX,p∼=kJx1, . . . , xn, zK/(z^r+b2z^r−2+. . .+br)

mit Potenzreihenb2, . . . , br∈kJx1, . . . , xnK. Fürµp:= min{^ord_i^bi |i= 2, . . . , r}giltµp≥1.

(b) Für H = V(z) ⊂ Xˆp gilt Sing_r( ˆXp) ⊂H. Ist π: W⁰ → Wˆp eine Aufblasung mit glattem Zentrum Z ⊂Sing_r( ˆXp),E =π⁻¹(Z)undX⁰ ⊂W⁰ die strikte Transformierte vonXˆp, so liegt Sing_r(X⁰)∩Ein der strikten Transformierten H⁰ vonH in W⁰.

Aufgabe 3.(Formale Kurve maximalen Kontakts)

SeiW eine glatte Fläche über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kder Charakteristik 0, X ⊂ W eine eingebettete Kurve und p ∈ X ein Punkt mit ordpX = max-ordX =: r. Nach Aufgabe 2 gibt es formale lokale Koordinatenx, z vonOˆ_W,p, so dassOˆ_X,p= ˆO_W,p/(f)mit

f =z^r+b2z^r−2+. . .+br, b2, . . . , br∈kJxK.

Seiπ: ˜W →W die Aufblasung vonW inpundX˜ die strikte Transformierte von X inW˜. Zeige:

Istq∈π⁻¹(p), so hatOˆW ,q˜ formale lokale Koordinatenx1, z1, so dass entwederx=x1z1,z=z1

oderx=x1, z=x1(z1+α)mitα∈k. Im ersten Fall giltq /∈X˜, im zweiten hat OˆX,q˜ die Form OˆW ,q˜ /(f₁)mit

f1= (z1+α)^r+ b2

x²(z1+α)^r−2+. . .+ br

x^r.

Folgere: Für jeden Punkt q ∈ π⁻¹(p) gilt ord_qX˜ ≤ r, und für höchstens einen gilt Gleichheit (welchen?). Zeige zudem: Bläst man rekursiv stets in einem Punkt der Ordnungrim Urbild von pauf, so erhält man nachbµpc(s.o.) Schritten einen birationalen MorphismusW⁰→W, so dass die birationale TransformierteX⁰ vonX inW in jedem Punkt im Urbild vonpOrdnung< rhat.

Aufgabe 4.(Formale Fläche maximalen Kontakts)

SeiW eine glatte dreidimensionale Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körperkder Charakteristik0,X ⊂W eine Fläche undr= max-ordX. Seiπ: ˜W →W die Aufblasung entlang

(a) einer irreduziblen glatten KurveC⊂Sing_r(X), (b) eines abgeschlossenen Punktesp∈Sing_r(X).

Sei X˜ die strikte Transformierte von X in W˜ undE der exzeptionelle Divisor vonπ. Zeige mit den Methoden aus Aufgabe 3: In beiden Fällen istSing_r( ˜X)∩E entweder eine glatte Kurve oder eine endliche Menge von abgeschlossenen Punkten. Ist im Fall (a)Sing_r( ˜X)∩E =C⁰ selbst eine Kurve, so bildetπdie KurveC⁰ isomorph aufCab.

1d. h. ein reguläres System von Parametern des Maximalideals vonOˆW,p