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Aufgabe 27. Zeige die Korrektheit von Dijkstra's Algorithmus auch für Kantenlängen ` : E → R

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Academic year: 2021

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Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2004/05

Theoretische Informatik I

Blatt 8, 07.12.2004, Abgabe 14.12.2004 in der Vorlesung

Aufgabe 27. Zeige die Korrektheit von Dijkstra's Algorithmus auch für Kantenlängen ` : E → R

≥0

, d.h. auch bei Kanten der Länge 0 . Beweise die Eigenschaften 1. und 2. der Vorlesung durch vollständige Induktion.

Aufgabe 28. Betrachte Dijkstra's Algorithmus im Fall von beliebigen reellen, positiven wie negativen Kantenlängen ` : E → R .

1. Gebe ein Gegenbeispiel für die Korrektheit des Algorithmus.

2. Zeige die Korrektheit falls stets `(u, w) ≤ `(u, v) + `(v, w) gilt.

Aufgabe 29. Der Graph G = (V, E) sei durch Adjazenzlisten L

v

, v ∈ V und Kantenlänge ` : E → R

>0

gegeben. Entwerfe einen Algorithmus zur Konstruktion zweitkürzester Wege von v

0

zu allen v ∈ V und ihrer Weglängen. Zeige Korrektheit und Laufzeit. Gegeben seien die minimale Distanz D

V

(v) von v

0

zu v und der Vorgänger Vor (v) von v auf einem kürzesten Weg seien gegeben.

Punktzahlen 4, 6, 8.

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